第12讲 幂函数（思维导图+4知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第12讲 幂函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解幂函数的概念； 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象，掌握它们的性质； 3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小. 知识点 1 幂函数的概念 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 知识点 2 幂函数的图象与性质 1、五个具体幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示． 2、五个具体幂函数的性质 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3、一般幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减， 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点 3 作幂函数图象的步骤 第一步：画出第一象限的部分。幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象： （1）当时，以为代表，； （2）当时，以为代表； （3）当时，以为代表． 第二步：求幂函数的定义域。幂函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于定义域． 第三步：若幂函数在轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出轴左侧的图象． 知识点 4 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题。解题步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用。 考点一：判断是否为幂函数 例1．（23-24高一上·新疆·月考）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高一下·湖北·月考）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·四川广安·期中）（多选）下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·四川雅安·月考）（多选）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二：求幂函数的解析式 例2. （23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2-1】（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【变式2-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 考点三：求幂函数的定义域 例3. （23-24高一上·山西吕梁·月考）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 考点四：求幂函数的值域 例4. （23-24高一下·辽宁·月考）函数的值域为 . 【变式4-1】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 【变式4-2】（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . 考点五：幂函数的图象及应用 例5. （23-24高一下·海南省直辖县级单位·月考）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式5-1】（23-24高一上·浙江·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-3】（23-24高一上·重庆北碚·期末）（多选）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 考点六：幂函数过定点问题 例6. （22-23高一下·山西朔州·月考）幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【变式6-2】（23-24高一上·四川广安·期中）函数的图象过定点 ． 【变式6-3】（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 考点七：利用幂函数解不等式 例7. （23-24高一上·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23高一上·重庆万州·月考）若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点八：比较幂值的大小 例8. （23-24高一上·云南昆明·月考）若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（22-23高一上·江苏苏州·期中）不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川成都·期中）若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海·月考）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 4．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·福建漳州·期中）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 8．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．（22-23高一上·陕西渭南·月考）已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 . 10．（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 11．（23-24高一上·四川南充·期末）若，则实数的取值范围为 . 四、解答题 12．（23-24高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式． (2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减． (3)判断函数的奇偶性并说明理由． 13．（23-24高一下·辽宁·月考）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 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利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题。解题步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用。 考点一：判断是否为幂函数 例1．（23-24高一上·新疆·月考）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意.故选：D 【变式1-1】（22-23高一下·湖北·月考）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合.故选：A． 【变式1-2】（23-24高一上·四川广安·期中）（多选）下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数， 又，所以A项、C项正确.故选：AC. 【变式1-3】（23-24高一上·四川雅安·月考）（多选）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】根据幂函数的定义，幂函数的一般形式为， 是系数为5的正比例函数，不是幂函数，选项错误； 是幂函数，选项B正确； 是幂函数，选项C正确； 不是幂函数，选项错误；故选：BC. 考点二：求幂函数的解析式 例2. （23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】设，由，得， ，则.故选：D 【变式2-1】（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数，将点代入得，所以, 所以幂函数的解析式为.故选：B. 【变式2-2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【答案】16 【解析】设，由可得可得. 故，则. 故答案为：16 【变式2-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【答案】 【解析】设，由图像过点可得，解得. 故答案为： 考点三：求幂函数的定义域 例3. （23-24高一上·山西吕梁·月考）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是幂函数，设， 将代入解析式，得，解得， 故，则， 故，解得故选：B 【变式3-1】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得.故选：A 【变式3-2】（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是.故选：B 【变式3-3】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为幂函数的定义域为R，故，解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意．故选：C 考点四：求幂函数的值域 例4. （23-24高一下·辽宁·月考）函数的值域为 . 【答案】 【解析】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减，可得. 故答案为： 【变式4-1】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 【答案】B 【解析】因为，所以定义域为， 由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，.故选：B. 【变式4-2】（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立， 所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误.故选：C. 【变式4-3】（23-24高一上·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . 【答案】 【解析】设，则. 因为，所以. 当时，.所以函数的值域为. 故答案为： 考点五：幂函数的图象及应用 例5. （23-24高一下·海南省直辖县级单位·月考）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解析】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像， 当时，图像递增，且越大，图像递增速度越快， 由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，.故选：D. 【变式5-1】（23-24高一上·浙江·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】的定义域为R，又，故为偶函数， 当时，，结合幂函数的图象可知，C正确.故选：C 【变式5-2】（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到.故选：C. 【变式5-3】（23-24高一上·重庆北碚·期末）（多选）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，， 对于A，当时，，其图象开口向下，对称轴为， ，其图象关于原点对称，且在上单调递减，故A满足要求； 对于B，当开口向上时，， 此时在上单调递增，故B不满足要求； 对于C，当时，，其图象开口向上，对称轴为， ，其图象在上单调递增，且越来越缓，故C满足要求； 对于D，当开口向上时，， 此时其对称轴为，故D不满足要求.故选：BD. 考点六：幂函数过定点问题 例6. （22-23高一下·山西朔州·月考）幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点，故选：B 【变式6-1】（22-23高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【答案】 【解析】当时，，所以定点为.故答案为： 【变式6-2】（23-24高一上·四川广安·期中）函数的图象过定点 ． 【答案】 【解析】幂函数的图象过， 将代入，可得， 所以函数的图象过定点. 故答案为：. 【变式6-3】（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【解析】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 考点七：利用幂函数解不等式 例7. （23-24高一上·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确.故选：A. 【变式7-1】（22-23高一上·重庆万州·月考）若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数在上单调递增，值域为， 由，则， 又，所以.故选：D 【变式7-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即.故选：D. 【变式7-3】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以在上单调递增， 又因为， 所以， 所以.故选：C. 考点八：比较幂值的大小 例8. （23-24高一上·云南昆明·月考）若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知条件可得，解得，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得.故选：B. 【变式8-1】（22-23高一上·江苏苏州·期中）不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定义域为，且在与上均为减函数， 且当上，恒成立，当上，恒成立， 故①或②或③， 解①得：， 解②得：， 解③得：， 综上：不等式的解为.故选：D 【变式8-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 因为的定义域为关于原点对称，且， 所以是上的奇函数， 注意到幂函数都是上的增函数， 所以是上的增函数， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是.故选：A. 【变式8-3】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是增函数，故， ，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又，的定义域为， ，解得， 的取值范围是． 一、单选题 1．（23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设幂函数为，则，故，则， 所以的定义域为，故满足，解得.故选：B. 2．（23-24高一上·四川成都·期中）若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设幂函数，因为图像经过点， 所以，解得，则此幂函数的表达式为． 幂函数，函数定义域为，在上单调递减， ，函数为偶函数，图像关于轴对称， 只有D选项符合. 故选：D 3．（23-24高一上·上海·月考）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 【答案】A 【解析】令，解得或， 当时，，图象经过坐标原点，不合要求， 当时，，图象不经过坐标原点，满足要求.故选：A 4．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为幂函数在上是减函数， 所以，解得.故选：A 5．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由单调递增，则可知， 由单调递增， 又，可得 所以．故选：C． 6．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得.故选：C． 二、多选题 7．（23-24高一上·福建漳州·期中）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【解析】A选项，的定义域为，A正确； B选项，由于，故值域为，B错误； C选项，由于，故在区间上单调递减，C正确； D选项，因为的定义域为， 且，故为偶函数，故不关于原点对称，D错误.故选：AC 8．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】设幂函数，函数的图像经过点，则，， ，，所以，即； 由，所以函数为偶函数，所以B正确； 分析函数解析式可知：时，随着的增大，也增大，也增大， 所以时，单调递增； 又为偶函数，所以时，单调递减，所以A错误； 时，单调递增，又，所以时，，C正确； 大致画出函数图像如下， 为点与点两点中点的纵坐标， 为时的函数值， 观察图象可知选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．（22-23高一上·陕西渭南·月考）已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 . 【答案】 【解析】因为的图象恒过， 所以的图象恒过定点. 故答案为： 10．（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 【答案】 【解析】由函数为幂函数且在内单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 11．（23-24高一上·四川南充·期末）若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】考虑函数. 因为函数的单调递减区间为和. 所以不等式等价于 或者或者， 解得：或. 所以实数的取值范围为：. 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式． (2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减． (3)判断函数的奇偶性并说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)非奇非偶函数，理由见解析 【解析】（1）由题意，设，则，故，所以； （2）设任意且， 则， 而，，， 故，即 函数在上单调递减． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， 则函数为非奇非偶函数． 13．（23-24高一下·辽宁·月考）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1)；(2)且. 【解析】（1）由是幂函数，得，解得或， 由的图象与坐标轴无交点，得，则， 所以的解析式是. （2）显然函数是偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，解得且， 所以原不等式的解集为且. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$