5.5.1 第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 课标定位 素养阐释 1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将公式变形运用. 3.体会类比推理的过程,提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、二倍角公式的推导 1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样的结果? 2.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α或cos α表示cos 2α? 提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1; 或cos 2α=cos2α-sin2α=(1-sin2α)-sin2α=1-2sin2α. 3.倍角公式 以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系. 二、二倍角公式的变形 1.若将1±sin 2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,则1±sin 2α可化为什么形式? 提示:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2. 2.根据二倍角的余弦公式,sin α,cos α与cos 2α的关系分别如何? 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角. ( × ) (2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.( √ ) (3)对任意角α,cos 2α=2cos α都不成立.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 给角求值 分析:(1)逆用正弦二倍角公式求解;(2)用余弦二倍角公式求解; (3)转化为正切二倍角公式求解;(4)先分子、分母都乘 ,再利用正弦二倍角公式求解. 反思感悟 对于给角求值问题,一般有两种情况: (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式.在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 探究二 给值求值(角) 1.若本例条件不变,求sin 4α的值. 反思感悟 三角函数的条件求值问题常有两种解题途径 (1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢; (2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论. 答案:A 探究三 利用倍角公式化简、证明 分析:首先切化弦,然后利用二倍角公式统一角,最后化简得结果. 反思感悟 1.化简的方法 (1)弦切互化,异名化同名,异角化同角; (2)降幂或升幂. 2.证明恒等式,要观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次到低次,复角化单角;如果两端都比较复杂,那么将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. 易 错 辨 析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 防范措施 解决与三角函数有关的问题时,不能盲目地运用公式化简函数的解析式,要注意函数的定义域,熟练掌握角的终边所在象限的确定方法. 答案:0 随 堂 练 习 1.(多选题)下列各式中,值为 的是(　　) A.2sin 22.5°cos 22.5° B.cos222.5°-sin222.5° C.2sin222.5°-1 D.sin222.5°+cos222.5° 答案:AB 答案:B 答案:A 答案:6 提示:sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α,即sin 2α=2sin αcos α;cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α, 即cos 2α=cos2α-sin2α;tan(α+α)=,即tan 2α=. 记法 公式 S2α sin 2α=2sin αcos α C2α cos 2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1 T2α tan 2α= 4.(1)若cos α=,则cos 2α=　　　　;  (2)若tan α=,则tan 2α=　　　　　.  解析:(1)cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-. (2)∵tan α=,∴tan 2α=. 答案:(1)-　(2) 提示:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,sin2α=,cos2α=. 3.求下列各式的值. (1)2cos2=　　　　　;  (2)=　　　　　.  解析:(1)原式=1+cos=1+cos =1+. (2)原式=1+sin =1+. 答案:(1)1+　(2)1+ (4)对任意角α,tan 2α=.( × ) 【例1】 求下列各式的值: (1)sincos;　 (2)cos215°; (3); (4)coscoscos. 8sin 解:(1)sincossin. (2)cos215°=-(2cos215°-1)=-cos 30°=-. (3)=2·=2·=-2. (4)coscoscos =-. 【变式训练1】 求下列各式的值: (1)1-2sin2750°; (2); (3)cos 72°cos 36°. 解:(1)原式=1-2sin230°=cos 60°=. (2)原式=tan 30°=. (3)原式=. 【例2】 已知cos≤α<,求cos的值. 解:∵≤α<,∴≤α+. ∵cos>0,∴<α+. ∴sin=- =-=-. ∴cos 2α=sin =2sincos =2×=-, sin 2α=-cos=1-2cos2 =1-2×. ∴coscos 2α-sin 2α ==-. 解:由例题可知sin 2α=,cos 2α=-, 故sin 4α=2sin 2αcos 2α=2×=-. 2.将本例变为“已知sin,0<x<,求的值”. 解:∵0<x<,∴-x∈. 又sin,∴cos. 又cos 2x=sin=2sincos =2×, cos=sin=sin, ∴原式=. 【变式训练2】 若tan α=,则cos2α+2sin 2α等于(　　) A. B. C.1 D. 解析:因为tan α=, 所以cos2α+2sin 2α= =. 【例3】 化简:. 解:方法一: 原式====1. 方法二: 原式== ===1. 【变式训练3】 证明:=-4. 证明:因为左边= = = =-4=右边, 所以原等式成立. 忽略角的取值范围致错 【典例】 已知θ是第二象限角,化简. 错解:原式 = = =sin+cos+sin-cos=2sin. 提示:在去根号时,对sin±cos的符号未加以讨论,导致化简 错误. 正解:原式= = =. 因为θ是第二象限角, 即2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以kπ+<kπ+,k∈Z. 所以原式= 【变式训练】 若α为第三象限角,则= 　　　　　.  解析:∵α为第三象限角,∴cos α<0,sin α<0, ∴ ==0. 解析:2sin 22.5°cos 22.5°=sin 45°=,选项A正确; cos222.5°-sin222.5°=cos 45°=,选项B正确; 2sin222.5°-1=-(1-2sin222.5°)=-cos 45°=-,选项C错误; sin222.5°+cos222.5°=1,选项D错误. 2.sin4-cos4等于(　　) A.- B.- C. D. 解析:原式= =-=-cos=-. 3.+2的化简结果是(　　) A.2cos 4-4sin 4 B.2sin 4 C.2sin 4-4cos 4 D.-2sin 4 解析:原式=+2 =+2 =2|sin 4|+2|sin 4-cos 4|=2cos 4-4sin 4. 4.若sin α=3cos α,则=　　　　　.  解析:=6. 5.已知<α<π,cos α=-.求: (1) tan α的值; (2)sin 2α+cos 2α的值. 解:(1)因为cos α=-<α<π, 所以sin α=.所以tan α==-. (2)因为sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=2cos2α-1=, 所以sin 2α+cos 2α=-=-. $$