1.3探索三角形全等的条件AAS讲义2023-2024学年苏科版八年级数学上册

探索三角形全等的条件AAS 一、知识解读 全等三角形判定3——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：如果∠B=∠E，∠A=∠D,AC=DF，则△ABC≌△FEF 全等三角形的判定--前3个总结 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 （3）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 2、 典型例题 【例1】如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【解答】解：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， 即BF＝CE， ∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意； 当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意； 当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意； 当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 【变式1-1】如图，点B，C，E在同一直线上，且AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AC⊥CD，下列结论不一定成立的是（　　） A．∠A＝∠2 B．∠A+∠E＝90° C．BC＝DE D．∠BCD＝∠ACE 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】证明△ABC≌△CDE（AAS），由全等三角形的性质得出BC＝DE，∠1＝∠E，则可得出结论． 【解答】解：∵AC⊥CD， ∴∠ACD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠1+∠A＝90°， ∴∠2＝∠A， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（AAS）， ∴BC＝DE，∠1＝∠E， ∴∠A+∠E＝90°， ∵∠1≠∠2， ∴∠BCD≠∠ACE． 故A，B，C选项不符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明△ABC≌△CDE是解题的关键． 【变式1-2】如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF，要使得△DOE≌△FOE． （1）若以“SAS”为依据，则可添加的条件是 　OD＝OF　； （2）若以“ASA”为依据，则可添加的条件是 　∠OED＝∠OEF　； （3）若以“AAS”为依据，则可添加的条件是 　∠ODE＝∠OFE　． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据OB平分∠AOC，可得∠AOB＝∠COB，再结合OE＝OE，根据全等三角形的判定解答即可． 【解答】解：∵OB平分∠AOC， ∴∠AOB＝∠COB， ∵OE＝OE， （1）添加OD＝OF，利用SAS证得△DOE≌△FOE； （2）添加∠OED＝∠OEF，利用ASA证得△DOE≌△FOE； （3）添加∠ODE＝∠OFE，可利用AAS证得△DOE≌△FOE； 故答案为：OD＝OF；∠OED＝∠OEF；∠ODE＝∠OFE 【点评】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键． 【变式1-3】如图∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论： ①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】①由∠E＝∠F＝90°、∠B＝∠C，利用等角的余角相等可得出∠1＝∠2，结论①正确；②由∠B＝∠C、∠E＝∠F、AE＝AF，即可证出△BAE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得出BE＝CF，结论②正确；③由△BAE≌△CAF可得出AB＝AC，结合∠C＝∠B、∠CAN＝∠BAM即可证出△ACN≌△ABM（ASA），结论③正确；④通过证△BDN≌△CDM可得出DN＝DM，根据三角形外角的性质结合等腰三角形的性质即可得出CD≠DN，结论④错误．综上即可得出结论． 【解答】解：①∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵∠BAE＝∠BAC+∠2，∠CAF＝∠CAB+∠1， ∴∠1＝∠2，结论①正确； ②在△BAE和△CAF中，， ∴△BAE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF，结论②正确； ③∵△BAE≌△CAF， ∴AB＝AC． 在△ACN和△ABM中，， ∴△ACN≌△ABM（ASA），结论③正确； ④∵△ACN≌△ABM， ∴AN＝AM． ∵AB＝AC， ∴BN＝CM． 在△BDN和△CDM中，， ∴△BDN≌△CDM（AAS）， ∴DN＝DM． ∵∠CMD＝∠CAB+∠B，∠C＝∠B， ∴∠CMD≠∠C， ∴CD≠DM， ∴CD≠DN，结论④错误． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 【例2】如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，若AD＝3，BE＝1，则DE的长是（　　） A． B．2 C．3 D．4 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】根据已知条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值． 【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3． ∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型． 【变式2-1】如图，AB⊥CD，且AB＝CD；E、F是AD上的两点，连接CE，BF，CE⊥AD，BF⊥AD，若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（　　） A．a﹣b+c B．a+b﹣c C．a+c D．b+c 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由余角的性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，可得AD的长． 【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b， ∵EF＝c， ∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△CDE是解本题的关键． 【变式2-2】如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，EF⊥AC，BG⊥AC，DH⊥AC垂足分别是F、G、H，请按照图中所标注的数据：EF＝6，BG＝3，DH＝4．计算图中实线所围成的图形的面积S是　50　． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题． 【解答】解：∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠EAF+∠AEF＝90°， ∴∠BAG＝∠AEF， ∵在△AEF和△BAG中， ， ∴△AEF≌△BAG（AAS） 同理△BCG≌△CDH， ∴AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH， ∵梯形DEFH的面积＝（EF+DH）•FH＝80， S△AEF＝S△ABG＝AF•AE＝9， S△BCG＝S△CDH＝CH•DH＝6， ∴图中实线所围成的图形的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50， 故答案为：50 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，本题中求证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解题的关键． 【例3】已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，∠CDE+∠C＝180°． （1）求证：DE＝BC； （2）若DE＝12，点D为线段BC的中点，求AC的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）由∠CDE+∠BDE＝180°，∠CDE+∠C＝180°，得∠BDE＝∠C，而∠E＝∠ABC，BD＝AC，即可根据“AAS”证明△BED≌△ABC，则DE＝BC； （2）因为DE＝BC＝12，所以BD＝CD＝BC＝6，因为BD＝AC，所以AC＝6． 【解答】（1）证明：∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠CDE+∠C＝180°， ∴∠BDE＝∠C， 在△BED和△ABC中， ， ∴△BED≌△ABC（AAS）， ∴DE＝BC． （2）解：由（1）得DE＝BC， ∵DE＝12， ∴BC＝12， ∵点D为线段BC的中点， ∴BD＝CD＝BC＝×12＝6， ∵BD＝AC， ∴AC＝6， ∴AC的长是6． 【点评】此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质、线段中点的定义等知识，证明△BED≌△ABC是解题的关键． 【变式3-1】如图，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分别为E、D，CE，BD相交于O． （1）若∠1＝∠2，求证：OB＝OC； （2）若OB＝OC，求证：∠1＝∠2． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）由垂直的定义，对顶角性质，三角形的内角和定理求出∠B＝∠C，角角边证明△ABO≌△ACO，其性质得OB＝OC； （2）由角角边证明△BOE△COD，其性质得OE＝OD，角平分线性质求出∠1＝∠2． 【解答】证明：如图所示： （1）∵CE⊥AB，BD⊥AC， ∴∠BEO＝∠CDO＝90°， 又∵∠EOB＝∠DOC， ∠BEO+∠EOB+∠B＝180°， ∠CDO+∠DOC+∠C＝180°， ∴∠B＝∠C． 在△ABO和△ACO中， ， ∴△ABO≌△ACO （AAS）， ∴OB＝OC． （2）∵CE⊥AB，BD⊥AC， ∴∠OEB＝∠ODC＝90°， 在△BOE和△COD中， ， ∴△BOE≌△COD（AAS）， ∴OE＝OD， ∴AO是∠BAC的角平分线， ∴∠1＝∠2． 【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，对顶角性质，角平分线的性质等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质． 【变式3-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过点M作ME∥BC交AB于点E． 求证：△ABC≌△MED． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据平行线的性质可得出∠B＝∠MED，结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED． 【解答】证明：∵MD⊥AB， ∴∠MDE＝∠C＝90°， ∵ME∥BC， ∴∠B＝∠MED， 在△ABC与△MED中，， ∴△ABC≌△MED（AAS）． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，难度一般． 【变式3-3】如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O． （1）求证：AD与BE互相平分； （2）若BF＝5，FC＝4，直接写出EO的长． 【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）如图，连接BD，AE，根据已知条件得到BC＝EF，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，根据全等三角形的判定定理即可得到△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的性质得到AB＝DE，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据线段的和差得到BE＝BF+FC+CE＝14，根据线段中点的定义即可得到结论． 【解答】（2）证明：如图，连接BD，AE， ∵FB＝CE， ∴BC＝EF， 又∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE， 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AD与BE互相平分； （3）解：∵FB＝CE＝5，FC＝4， ∴BE＝BF+FC+CE＝14， ∵BO＝OE＝BE＝7． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论． 【例4】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F． （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝1时，求AC的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝1，求得AB＝AE+BE＝3，于是得到结论． 【解答】证明：∵CF∥AB， ∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）； （2）∵△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF＝1， ∴AB＝AE+BE＝2+1＝3， ∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AC＝AB＝3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式4-1】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在AD，BC上，AE＝CF，过点A，C分别作EF的垂线，垂足分别为点G，H． （1）求证：△AGE≌△CHF； （2）连接AC交EF于点M，求证：AC与EF互相平分． 【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）由垂线的性质得出∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG＝∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF； （2）连接AH、CG，由全等三角形的性质得出AG＝CH，证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF， ∴∠G＝∠H＝90°， ∴AG∥CH， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， ∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE， ∴∠AEG＝∠CFH， 在△AGE和△CHF中， ， ∴△AGE≌△CHF（AAS）； （2）证明：连接AH、CG，如图所示： 由（1）得：△AGE≌△CHF， ∴AG＝CH，GE＝HF， ∵AG∥CH， ∴四边形AHCG是平行四边形， ∴GM＝HM， ∴GM﹣GE＝HM﹣FH， 即EM＝FM， ∴AC与EF互相平分． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式4-2】阅读与证明：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图①，在△ABC中，如果∠B＝∠C，那么AB＝AC，这一结论可以说明如下： 解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD和△ACD中 ∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD ∴△ABD≌△ACD ∴AB＝AC 请你仿照上述方法在图②中再选一种方法说明以上结论． 操作：如图③，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，过点M、N作一组平行线分别与PQ交于点M′、N′，则线段MM′一定等于NN′．想一想，为什么？ 根据上述阅读与证明的结论以及操作得到的经验完成下列探究活动．探究：如图④，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并说明你的结论． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】阅读与证明：作∠BAC的平分线AD，然后利用“角角边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； 操作：根据两直线平行，内错角相等可得∠M＝∠N，然后利用“角边角”证明△MOM′和△NON′全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证； 探究：连接FE并延长交AB于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECF，然后利用“角边角”证明△BEG和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝EG，BG＝CF，延长AE到H，使AE＝EH，利用“边角边”证明△AEG和△HEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AG＝HF，全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠H，然后求出∠H＝∠EAF，再根据等角对等边求出AF＝HF，从而得到AG＝AF，然后求解即可． 【解答】解：阅读与证明：如图②，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD＝∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（AAS）， ∴AB＝AC； 操作：如图③，∵MM′∥NN′， ∴∠M＝∠N， ∵点O为线段MN的中点， ∴OM＝ON， 在△MOM′和△NON′中， ， ∴△MOM′≌△NON′（ASA）， ∴MM′＝NN′； 探究：如图④，连接FE并延长交AB于G， ∵AB∥DC， ∴∠B＝∠ECF， ∵E为BC边的中点， ∴BE＝CE， 在△BEG和△CEF中， ， ∴△BEG≌△CEF（ASA）， ∴EF＝EG，BG＝CF， 延长AE到H，使AE＝EH， 在△AEG和△HEF中， ， ∴△AEG≌△HEF（SAS）， ∴AG＝HF，∠BAE＝∠H， ∵∠BAE＝∠EAF， ∴∠H＝∠EAF， ∴AF＝HF， ∴AG＝AF， ∵AB＝AG+BG， ∴AB＝AF+CF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 探索三角形全等的条件AAS 一、知识解读 全等三角形判定3——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：如果∠B=∠E，∠A=∠D,AC=DF，则△ABC≌△FEF 全等三角形的判定--前3个总结 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 （3）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 2、 典型例题 【例1】如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 【变式1-1】如图，点B，C，E在同一直线上，且AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AC⊥CD，下列结论不一定成立的是（　　） A．∠A＝∠2 B．∠A+∠E＝90° C．BC＝DE D．∠BCD＝∠ACE 【变式1-2】如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF，要使得△DOE≌△FOE． （1）若以“SAS”为依据，则可添加的条件是 　 ； （2）若以“ASA”为依据，则可添加的条件是 　 　； （3）若以“AAS”为依据，则可添加的条件是 　 　． 【变式1-3】如图∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论： ①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，若AD＝3，BE＝1，则DE的长是（　　） A． B．2 C．3 D．4 【变式2-1】如图，AB⊥CD，且AB＝CD；E、F是AD上的两点，连接CE，BF，CE⊥AD，BF⊥AD，若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（　　） A．a﹣b+c B．a+b﹣c C．a+c D．b+c 【变式2-2】如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，EF⊥AC，BG⊥AC，DH⊥AC垂足分别是F、G、H，请按照图中所标注的数据：EF＝6，BG＝3，DH＝4．计算图中实线所围成的图形的面积S是　 　． 【例3】已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，∠CDE+∠C＝180°． （1）求证：DE＝BC； （2）若DE＝12，点D为线段BC的中点，求AC的长． 【变式3-1】如图，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分别为E、D，CE，BD相交于O． （1）若∠1＝∠2，求证：OB＝OC； （2）若OB＝OC，求证：∠1＝∠2． 【变式3-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过点M作ME∥BC交AB于点E． 求证：△ABC≌△MED． 【变式3-3】如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O． （1）求证：AD与BE互相平分； （2）若BF＝5，FC＝4，直接写出EO的长． 【例4】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F． （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝1时，求AC的长． 【变式4-1】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在AD，BC上，AE＝CF，过点A，C分别作EF的垂线，垂足分别为点G，H． （1）求证：△AGE≌△CHF； （2）连接AC交EF于点M，求证：AC与EF互相平分． 【变式4-2】阅读与证明：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图①，在△ABC中，如果∠B＝∠C，那么AB＝AC，这一结论可以说明如下： 解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD和△ACD中 ∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD ∴△ABD≌△ACD ∴AB＝AC 请你仿照上述方法在图②中再选一种方法说明以上结论． 操作：如图③，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，过点M、N作一组平行线分别与PQ交于点M′、N′，则线段MM′一定等于NN′．想一想，为什么？ 根据上述阅读与证明的结论以及操作得到的经验完成下列探究活动．探究：如图④，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并说明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$