1.3探索三角形全等的条件ASA 讲义2023-2024学年苏科版八年级数学上册

探索三角形全等的条件ASA 一、知识解读 全等三角形判定2——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 二、典型例题 【例1】根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70° B．AB＝5，BC＝6，AC＝13 C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90° 【变式1-1】如图，E，F是BD上两点，BE＝DF，∠AEF＝∠CFE，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AED≌△CFB的是（　　） A．∠B＝∠D B．AD＝BC C．AE＝CF D．AD∥BC 【变式1-2】如图，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，如果直接用“SAS”判定△ABC≌△ADE，则可补充的条件是 　 　；若用“ASA”判定△ABC≌△ADE，则可补充的条件是 　 　． 【例2】花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【变式2-1】如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　） A． B． C． D． 【例3】如图，在△ABC中，E为AB中点，D为边AC上的动点，连接DE，BF∥AC交DE的延长线于点F，若AC＝5，则BF+CD的值是 　 　． 【变式3-1】如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为 　 　． 【例4】如图，AB与CD交于E，AF＝AC，∠AFC＝∠D，CF﹣DF＝2EF．求证：AE＝BE． 【变式4-1】已知：如图，∠B＝∠C，AB＝AC，AB＝8，AE＝3． （1）求证：△ABE≌△ACD． （2）求BD的长． 【变式4-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE． （1）求证：△BCE≌△AHE． （2）求证：AH＝2CD． 【变式4-3】如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠C＝∠E＝90°，∠CAD＝∠EAB，AC＝AE，AB，DE相交于点F，AD，BC相交于点G． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AB＝11，AG＝6，求DG的长． 【变式4-4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F． （1）求证：∠C＝∠BAD； （2）求证：AC＝EF． 【变式4-5】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线． （1）求证：AF＝DC； （2）连接DF，交AC于点O．你发现线段AC，DF有何关系？证明你的结论． 【变式4-6】情境观察： 如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD＝DC，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图①中所有的全等三角形：　△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB　； ②线段AF与线段CE的数量关系是 　AF＝2CE　． 问题探究： 如图②，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：AE＝2CD． 拓展延伸： 如图③，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，点D在AC上，∠EDC＝∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．试探究DF与CE之间的数量关系． 要求：请你写出辅助线的作法，并在图③中画出辅助线，不需要证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 探索三角形全等的条件ASA 一、知识解读 全等三角形判定2——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 二、典型例题 【例1】根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70° B．AB＝5，BC＝6，AC＝13 C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90° 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可． 【解答】解：A、已知两边和一角，不能画出唯一△ABC，故本选项不符合题意； B、因为5+6＜13，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、根据两角和一边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意； D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式1-1】如图，E，F是BD上两点，BE＝DF，∠AEF＝∠CFE，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AED≌△CFB的是（　　） A．∠B＝∠D B．AD＝BC C．AE＝CF D．AD∥BC 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可． 【解答】解：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， 即BF＝DE， ∵∠AEF＝∠CFE， A、添加∠B＝∠D，利用ASA能判定△AED≌△CFB，不符合题意； B、添加AD＝BC，不能判定△AED≌△CFB，符合题意； C、添加AE＝CF，利用SAS能判定△AED≌△CFB，不符合题意； D、添加AD∥BC，得出∠B＝∠D，利用ASA能判定△AED≌△CFB，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据ASA，SAS判定△AED≌△CFB解答． 【变式1-2】如图，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，如果直接用“SAS”判定△ABC≌△ADE，则可补充的条件是 　AC＝AE　；若用“ASA”判定△ABC≌△ADE，则可补充的条件是 　∠B＝∠D　． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】先根据∠BAE＝∠DAC，等号两边都加上∠EAC，得到∠BAC＝∠DAE，由已知AB＝AD，要使△ABC≌△ADE，根据全等三角形的判定定理ASA：添上AC＝AE，∠B＝∠D． 【解答】解：AC＝AE． 理由：∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC， 即∠BAC＝∠DAE． ∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； ∠B＝∠D． 理由：∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC， 即∠BAC＝∠DAE． ∵∠B＝∠D，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE． ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 故答案为：AC＝AE；∠B＝∠D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可． 【例2】花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【分析】根据三角形全等的判定方法作出判断即可． 【解答】解：带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 【变式2-1】如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　） A． B． C． D． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断． 【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE， ∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE， ∴∠FEC＝∠BDE， 所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3， 所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意； D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE， ∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE， ∴∠FEC＝∠BDE， ∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C， ∴△BDE≌△CEF， 所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意； 由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键． 【例3】如图，在△ABC中，E为AB中点，D为边AC上的动点，连接DE，BF∥AC交DE的延长线于点F，若AC＝5，则BF+CD的值是 　5　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由平行线的性质可得∠EBF＝∠A，由ASA证明△BEF≌△AED，得到AD＝BF，最后由BF+CD＝AD+CD＝AC即可得到答案． 【解答】解：∵BF∥AC， ∴∠EBF＝∠A， ∵E为AB中点， ∴BE＝AE， 在△BEF和△AED中， ， ∴△BEF≌△AED（ASA）， ∴AD＝BF， ∴BF+CD＝AD+CD＝AC＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键． 【变式3-1】如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为 　32　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】先利用等角的余角相等得到∠A＝∠C，则可根据“ASA”判断△ABF≌△CBD，所以BF＝BD＝8，然后根据三角形面积公式计算图中阴影部分面积． 【解答】解：∵CB⊥AD，AE⊥CD， ∴∠ABF＝∠CBD＝90°，∠FEC＝90°， ∵∠AFB＝∠EFC， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CBD中， ， ∴△ABF≌△CBD（ASA）， ∴BF＝BD， ∵BF＝BC﹣CF＝16﹣8＝8， ∴BD＝8， ∴图中阴影部分面积＝•FC•BD＝×8×8＝32． 故答案为：32． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【例4】如图，AB与CD交于E，AF＝AC，∠AFC＝∠D，CF﹣DF＝2EF．求证：AE＝BE． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由AF＝AC，得出∠C＝∠AFC，由∠AFC＝∠D，推出∠C＝∠D，由CF﹣DF＝2EF，即CF﹣EF＝EF+DF，得出CE＝DE，由ASA证得△ACE≌△BDE，即可得出结论． 【解答】证明：∵AF＝AC， ∴∠C＝∠AFC， ∵∠AFC＝∠D， ∴∠C＝∠D， ∵CF﹣DF＝2EF，即CF﹣EF＝EF+DF， ∴CE＝DE， 在△ACE和△BDE中，， ∴△ACE≌△BDE（ASA）， ∴AE＝BE． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式4-1】已知：如图，∠B＝∠C，AB＝AC，AB＝8，AE＝3． （1）求证：△ABE≌△ACD． （2）求BD的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据ASA证明三角形全等即可． （2）利用全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． （2）解：∵△ABE≌△ACD， ∴AE＝AD， ∵AE＝3， ∴AD＝3， ∴BD＝AB﹣AD＝8﹣3＝5． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式4-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE． （1）求证：△BCE≌△AHE． （2）求证：AH＝2CD． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据ASA证明三角形全等即可． （2）利用全等三角形的性质等腰三角形的性质即可证明． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BC＝2BD，∠1+∠C＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠2+∠C＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△AEH和△BEC中， ， ∴△AEH≌△BEC（ASA）， （2）∵△AEH≌△BEC ∴AH＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴AH＝2CD． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式4-3】如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠C＝∠E＝90°，∠CAD＝∠EAB，AC＝AE，AB，DE相交于点F，AD，BC相交于点G． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AB＝11，AG＝6，求DG的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）由ASA可证△ABC≌△ADE； （2）由全等三角形的性质可求AB＝AD＝11，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠CAD＝∠EAB， ∴∠CAD+∠BAD＝∠EAB+∠DAB，即∠CAB＝∠EAD． 又AC＝AE，∠C＝∠E＝90°， ∴△ABC≌△ADE（ASA）； （2）∵△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD． ∵AB＝11， ∴AD＝11． 又AG＝6， ∴DG＝11﹣6＝5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【变式4-4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F． （1）求证：∠C＝∠BAD； （2）求证：AC＝EF． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD； （2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC＝EF． 【解答】证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠C+∠DAC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠C＝∠BAD； （2）∵AF∥BC， ∴∠FAE＝∠AEB， ∵AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， ∴∠B＝∠FAE， 在△ABC和△EAF中， ， ∴△ABC≌△EAF（ASA）， ∴AC＝EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 【变式4-5】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线． （1）求证：AF＝DC； （2）连接DF，交AC于点O．你发现线段AC，DF有何关系？证明你的结论． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．版权所有 【分析】（1）根据AAS证明△AFE和△DBE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据AAS证明△AOF和△COD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵E为AD的中点， ∴AE＝DE． ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE． 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）． ∴AF＝DB． ∵AD为BC边上的中线， ∴DC＝DB． ∴AF＝DC． （2）AC，DF互相平分． 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFO＝∠CDO． 在△AOF和△COD中， ， ∴△AOF≌△COD（AAS）． ∴AO＝CO，FO＝DO， 即AC，DF互相平分． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解此题的关键是推出△AFE≌△DBE，注意：全等三角形的对应边相等． 【变式4-6】情境观察： 如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD＝DC，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图①中所有的全等三角形：　△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB　； ②线段AF与线段CE的数量关系是 　AF＝2CE　． 问题探究： 如图②，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：AE＝2CD． 拓展延伸： 如图③，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，点D在AC上，∠EDC＝∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．试探究DF与CE之间的数量关系． 要求：请你写出辅助线的作法，并在图③中画出辅助线，不需要证明． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】情境观察：①根据全等三角形的判定定理解答即可； ②根据全等三角形的性质解答即可； 问题探究：延长AB、CD交于点G，证明△ADC≌△ADG（ASA），得CD＝GD，则CG＝2CD，再证明△ABE≌△CBG（ASA），得AE＝CG，即可得出结论； 拓展延伸：过D作DG⊥BC于点H，交CE的延长线于G，证明△DEC≌△DEG（ASA），得DC＝DG，则CG＝2CE，再证明△DHF≌△CHG（ASA），得DF＝CG，即可得出结论． 【解答】情境观察： 解：①∵CD⊥AB，AE⊥BC， ∴∠BDC＝∠CDA＝∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， 在△ABE和△ACE中， ， ∴△ABE≌△ACE（AAS）， ∵∠B+∠DAF＝90°，∠AFD+∠DAF＝90°， ∴∠B＝∠AFD， 在△ADF和△CDB中， ， ∴△ADF≌△CDB（AAS）， 故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB； ②AF＝2CE，理由如下： 由①可知，△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB， ∴AB＝AC，AF＝BC， ∵AE⊥BC， ∴BC＝2CE ∴AF＝2CE， 故答案为：AF＝2CE； 问题探究： 证明：如图②，延长AB、CD交于点G， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠GAD， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADG＝90°， 在△ADC和△ADG中， ， ∴△ADC≌△ADG（ASA）， ∴CD＝GD， 即CG＝2CD， ∵AB＝BC，∠BCA＝∠BAC＝45°， ∴∠ABC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴∠CBG＝180°﹣90°＝90°， ∴∠G+∠BCG＝90°， ∵∠G+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠BCG， 在△ABE和△CBG中， ， ∴△ABE≌△CBG（ASA）， ∴AE＝CG＝2CD； 拓展延伸： 解：DF＝2CE，理由如下： 如图③，过D作DG⊥BC于点H，交CE的延长线于G， ∵∠BAC＝45°，AB＝BC， ∴AB⊥BC， ∵DG⊥BC， ∴DG∥AB， ∴∠GDC＝∠BAC＝45°， ∴∠EDC＝∠BAC＝22.5°＝∠EDG，DH＝CH， 又∵DE⊥CE， ∴∠DEC＝∠DEG＝90°， 在△DEC和△DEG中， ， ∴△DEC≌△DEG（ASA）， ∴DC＝DG， ∴CG＝2CE， ∵∠DHF＝∠CEF＝90°，∠DFH＝∠CFE， ∴∠FDH＝∠GCH， 在△DHF和△CHG中， ， ∴△DHF≌△CHG（ASA）， ∴DF＝CG＝2CE． 【点评】本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线定义以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$