第5课时 椭圆课件(一)-2025届高三数学一轮复习

第5课时 椭圆(一) 复习要求 回归教材 椭圆 焦点 焦距 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 关于x轴，y轴，原点对称 关于x轴，y轴，原点对称 (±a，0)，(0，±b) (±b，0)，(0，±a) 夯实双基 16 √ √ 授 人 以 渔 题型一　椭圆的定义及应用 状元笔记 √ √ √ 题型二　椭圆的标准方程 状元笔记 √ 题型三　椭圆的几何性质(微专题) √ √ 状元笔记 √ 状元笔记 √ √ 状元笔记 4 2 0 2 5 看 观 谢 谢 1.了解椭圆的实际背景.2.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质． 椭圆的概念 在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫________．这两定点叫做椭圆的_______，两焦点间的距离叫做______． 椭圆的标准方程与几何性质 标准 方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 范围 ______________ _______________ 对称性 __________________________ __________________________ 顶点 _____________________ _____________________ 离心率 及其范围 ___________________ ________________ 0<e＝eq \f(c,a)<1 0<e＝eq \f(c,a)<1 椭圆方程的两种设法 Ax2＋By2＝1或eq \f(x2,A)＋eq \f(y2,B)＝1(A>0，B>0，A≠B)表示椭圆． 椭圆的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被椭圆截得的弦，其长度为eq \f(2b2,a). 常用结论 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大． (2)S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|. (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq \s\up22(2)＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (6)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． 答案　×　 (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形． 答案　√　 (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． 答案　×　 (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆． 答案　√　 (5)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同． 答案　√ 2．(课本习题改编)设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长为________． 解析　△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋6＝16. 3．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为eq \f(1,2)　　　　　　 B．焦距为eq \f(\r(3),4) C．短轴长为eq \f(1,4) D．离心率为eq \f(\r(3),2) 解析　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得eq \f(x2,\f(1,16))＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1，所以a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)，c＝eq \f(\r(3),4)，则长轴长2a＝1，焦距2c＝eq \f(\r(3),2)，短轴长2b＝eq \f(1,2)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).故选D. 4．对于实数m，“1<m<2”是“方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m－2)＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由“方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m－2)＝1表示椭圆”可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1>0，,m－2<0，,m－1≠2－m，))解得1<m<2且m≠eq \f(3,2)，所以“1<m<2”是“方程eq \f(x2,m－1)－eq \f(y2,m－2)＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B. 5．(1)(2024·吉林四平一中第三次月考)已知直线3x－2y－6＝0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为________． eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1 解析　令x＝0，可得y＝－3；令y＝0，可得x＝2，则椭圆的两个顶点坐标分别为(0，－3)，(2，0)．因为|－3|>2，所以椭圆的焦点在y轴上．设椭圆的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2，所以椭圆的方程为eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1. (2)(2024·九省联考，改编)椭圆eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的离心率为eq \f(1,2)，则a＝________． eq \f(2\r(3),3) 解析　eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－1),a)＝eq \f(1,2)，∴a＝eq \f(2\r(3),3). (1)已知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，B是圆(x－eq \f(1,2))2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为___________． x2＋eq \f(4,3)y2＝1 【解析】　连接PA，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝eq \f(1,2)，b2＝eq \f(3,4).所以动点P的轨迹方程为x2＋eq \f(4,3)y2＝1. (2)设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________． eq \f(4\r(3),3) 【解析】　方法一：由题意知，c＝eq \r(a2－4).又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2eq \r(a2－4)，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝eq \f(16,3)，∴＝eq \f(1,2)|F1P|·|PF2|sin 60°＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4\r(3),3). 方法二：设∠F1PF2＝θ，则＝b2tan eq \f(θ,2)＝4×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(4\r(3),3). 【讲评】　对焦点△F1PF2(∠F1PF2＝θ)的处理方法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(定义式的平方，,余弦定理，,面积公式)) ⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（|PF1|＋|PF2|）2＝（2a）2，,4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ，,S△F1PF2＝\f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan \f(θ,2).)) 1．椭圆的定义的应用 求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． 2．焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等． A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1　　　　　 B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1 C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1 【解析】　设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，连接MC1，MC2，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r，|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.故选D. (2)设椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为(　　) A．4＋eq \r(5) B．6 C．2eq \r(5)＋2 D．8 【解析】　如图，不妨令椭圆左焦点为F，右焦点为F′，连接AF′，BF′，可得|AB|＋|AF|＋|BF|≤|AF′|＋|BF′|＋|AF|＋|BF|＝4a＝8，当AB经过椭圆的右焦点时，三角形的周长取得最大值．故选D. (3)(2023·全国甲卷，文)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq \o(PF1,\s\up14(→))·eq \o(PF2,\s\up14(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 【解析】　方法一：因为eq \o(PF1,\s\up14(→))·eq \o(PF2,\s\up14(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°， 从而S△F1PF2＝b2tan 45°＝1＝eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. 方法二：因为eq \o(PF1,\s\up14(→))·eq \o(PF2,\s\up14(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(5)，则|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16＋2|PF1||PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3，0)； 【答案】　eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1 【思路】　当椭圆的焦点位置不明确而无法确定标准方程时，要分类讨论，或设方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)可避免讨论，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，这种形式会更简便． 【解析】　若焦点在x轴上，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)． ∵椭圆过点A(3，0)，∴eq \f(9,a2)＝1，∴a＝3.∵2a＝3×2b， ∴b＝1.∴椭圆方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.若焦点在y轴上，设椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵椭圆过点A(3，0)，∴eq \f(9,b2)＝1，∴b＝3. 又2a＝3×2b，∴a＝9.∴椭圆方程为eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1. 综上所述，椭圆方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1. (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)； 【答案】　eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1 【解析】 由已知，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).)) 从而b2＝a2－c2＝9. ∴所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1. (3)经过点P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)两点； 【答案】　eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1 【解析】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， ∵点P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)在椭圆上， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq \f(1,15)，n＝eq \f(1,5). 故eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1为所求椭圆的方程． (4)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同离心率且经过点(2，－eq \r(3))． 【答案】　eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1 【解析】 方法一：e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(1,2). 若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>n>0)，则1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq \s\up22(2)＝eq \f(1,4)，从而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq \s\up22(2)＝eq \f(3,4)，eq \f(n,m)＝eq \f(\r(3),2).又eq \f(4,m2)＋eq \f(3,n2)＝1，∴m2＝8，n2＝6.∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1. 若焦点在y轴上，设方程为eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m>n>0)， 则eq \f(3,m2)＋eq \f(4,n2)＝1，且eq \f(n,m)＝eq \f(\r(3),2)，解得m2＝eq \f(25,3)，n2＝eq \f(25,4). 故所求椭圆的方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1. 方法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝t(t>0)，将点(2，－eq \r(3))代入， 得t＝eq \f(22,4)＋eq \f(（－\r(3)）2,3)＝2. 故所求椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝λ(λ>0)，代入点(2，－eq \r(3))，得λ＝eq \f(25,12)，∴所求椭圆的方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1. 1．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 (1)作判断：根据条件判断焦点的位置． (2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． (3)找关系：建立关于a，b，c或m，n的方程组． (4)求解，得方程． 2．椭圆的标准方程的两个应用 (1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0，a≠b)与eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，a≠b，λ>0)有相同的离心率． (2)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算更简便． (3)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题2　(1)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为(　　) A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,3)＝1 C.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1 D.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1 【解析】　∵焦点F1，F2在y轴上，∴可设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，面积为S，由题意可得eq \f(4S,π)＝2a×2b＝4ab，∴S＝abπ＝8eq \r(3)π，即ab＝8eq \r(3)，∵△F2AB的周长为32，∴4a＝32，则a＝8，∴b＝eq \r(3)，故椭圆方程为eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,3)＝1.故选B. (2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________． eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 【解析】　方法一(定义法)：椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4. 由椭圆的定义知，2a＝eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)＋4）2)＋eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)－4）2)，解得a＝2eq \r(5). 由c2＝a2－b2，得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1. 方法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为eq \f(y2,25－k)＋eq \f(x2,9－k)＝1(k<9)，将点(eq \r(3)，－eq \r(5))的坐标代入可得eq \f(（－\r(5)）2,25－k)＋eq \f(（\r(3)）2,9－k)＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1. 微专题1　求离心率的值 (1)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且∠F1MF2＝60°，则椭圆的离心率为________． eq \f(\r(3),3) 【解析】　方法一：∵|F1F2|＝2c，MF1⊥x轴，∠F1MF2＝60°，∴|MF1|＝eq \f(2\r(3),3)c，|MF2|＝eq \f(4\r(3),3)c. ∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝2eq \r(3)c.∴e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(3),3). 方法二：依题意得F1(－c，0)，将x＝－c代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1， 得|y|＝eq \f(b2,a)，∵eq \f(|F1F2|,|MF1|)＝eq \r(3)，∴eq \f(2c,\f(b2,a))＝eq \r(3). ∵b2＝a2－c2，∴eq \f(2ac,a2－c2)＝eq \r(3)，即eq \f(2e,1－e2)＝eq \r(3). 解得e＝－eq \r(3)(舍)或e＝eq \f(\r(3),3). (2)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，F是椭圆C的焦点．若椭圆C上存在点P，使△OFP是等边三角形，则椭圆C的离心率为(　　) A.eq \f(1,2) B．4－2eq \r(3) C.eq \r(3)－1 D.eq \f(\r(3),2) 【解析】　方法一：由题意，不妨设F为椭圆C的右焦点，则点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，所以eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1.设椭圆C的离心率为e，则eq \f(1,4)e2＋eq \f(3e2,4－4e2)＝1，整理得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4－2eq \r(3)(e2＝4＋2eq \r(3)舍去)，所以e＝eq \r(3)－1(负值舍去)．故选C. 方法二：如图，不妨设F为椭圆C的右焦点，记椭圆的左焦点为F1，连接PF1.由题知|OP|＝|OF|＝|OF1|＝|PF|＝c，∴PF1⊥PF，且|PF1|＝eq \r(3)c，∵|PF1|＋|PF|＝2a，∴c＋eq \r(3)c＝2a，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1. (3)(2023·江苏南京二模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k>0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB.若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为(　　) A.eq \f(\r(7),3) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(7),6) D.eq \f(\r(6),6) 【解析】　设椭圆C的右焦点为F2，连接AF2，BF2，则四边形AFBF2为平行四边形． 设|AF|＝m，∵∠ABF＝30°，AF⊥AB， ∴|BF|＝2m，|BF2|＝|AF|＝m， ∴|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，则m＝eq \f(2,3)a. 在△BFF2中，(2c)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))eq \s\up22(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))eq \s\up22(2)－2×eq \f(4,3)a×eq \f(2,3)a×cos 120°， 整理得4c2＝eq \f(28,9)a2，即c＝eq \f(\r(7),3)a，故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),3). 求椭圆的离心率的方法 (1)直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值． (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． (x2,a2)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题3　(1)(2024·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为eq \f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为(　　) A.eq \f(\r(3)－1,2) B.eq \r(3)－1 C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2) 【解析】　因为过点F1且斜率为eq \f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，则有∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，因此，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，令椭圆半焦距为c，于是得|PF1|＝|F1F2|cos 30°＝eq \r(3)c，|PF2|＝|F1F2|sin 30°＝c， 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)c， 则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1， 所以椭圆E的离心率为eq \r(3)－1. (2)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线eq \r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________． eq \r(3)－1 【解析】　方法一：设F′为椭圆的右焦点，连接AF′，则AF⊥AF′，∠AF′F＝eq \f(π,3)，∴|AF|＝eq \r(3)|AF′|，|FF′|＝2|AF′|，因此椭圆C的离心率为eq \f(2c,2a)＝eq \f(|FF′|,|AF|＋|AF′|)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1. 方法二：设F(－c，0)，A(x0，y0)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋c)＝\f(\r(3),3)，,\f(\r(3)（x0－c）,2)＋\f(y0＋0,2)＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(c,2)，,y0＝\f(\r(3),2)c，)) 代入椭圆方程得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))\s\up24(2),a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c))\s\up24(2),b2)＝1， ∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∴e＝eq \r(3)－1. (3)在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点．现有一椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，从一个焦点F1发出的一条光线经椭圆C内壁上一点P反射经过另一个焦点F2，若∠F1PF2＝60°，且|PF1|＝eq \f(3,2)a，则椭圆C的离心率为________． eq \f(\r(7),4) 【解析】　因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝eq \f(1,2)a. 在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°.所以4c2＝eq \f(9,4)a2＋eq \f(1,4)a2－2×eq \f(3a,2)×eq \f(a,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(7,4)a2，所以e＝eq \f(\r(7),4). 微专题2　求离心率的取值范围 已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 【解析】　方法一：设P(x0，y0)为椭圆上一点，则eq \f(x02,a2)＋eq \f(y02,b2)＝1. eq \o(PF1,\s\up14(→))＝(－c－x0，－y0)，eq \o(PF2,\s\up14(→))＝(c－x0，－y0)， 若∠F1PF2＝90°，则eq \o(PF1,\s\up14(→))·eq \o(PF2,\s\up14(→))＝x02＋y02－c2＝0. ∴x02＋b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x02,a2)))＝c2，∴x02＝eq \f(a2（c2－b2）,c2). ∵0≤x02≤a2，∴0≤eq \f(c2－b2,c2)≤1. ∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴eq \f(\r(2),2)≤e<1. 方法二：若存在点P，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，即b≤c<a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴eq \f(\r(2),2)≤e<1. 求椭圆离心率的取值范围的方法 方法 解读 适合题型 几何法 利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，|y|≤b，0<e<1，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系 题设条件有明显的几何关系 直接法 根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式 题设条件直接有不等关系 (x2,a2)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题4　已知F1，F2分别是椭圆C：＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2，若|PF1|＋|QF2|≥b，则C的离心率的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) 【解析】　如图，设直线PF1交C于另一点M，根据椭圆的对称性可知|QF2|＝|F1M|，则|PF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|MF1|＝|PM|.因为PM过焦点F1，所以|PM|min＝eq \f(2b2,a)≥b，所以eq \f(b,a)≥eq \f(1,2)，则0<e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up24(2))≤eq \f(\r(3),2). 微专题3　与椭圆有关的最值(范围)问题 (1)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．求|PA|＋|PF|的最大值和最小值． 【答案】　最大值6＋eq \r(2)，最小值6－eq \r(2) 【解析】　如图所示，设椭圆右焦点为F1，连接PF1，则|PF|＋|PF1|＝6. ∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6. ∵－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)， ∴6－eq \r(2)≤|PA|＋|PF|≤6＋eq \r(2). 故|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq \r(2)，最小值为6－eq \r(2). (2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A.eq \f(5,2) B.eq \r(6) C.eq \r(5) D．2 【解析】　方法一(消元转化法)：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆eq \f(x2,5)＋y2＝1上可得x2＝5－5y2. 易知点B(0，1)，所以|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝eq \f(25,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y＋\f(1,2)))eq \s\up22(2)，|y|≤1. 当2y＋eq \f(1,2)＝0，即y＝－eq \f(1,4)时，|PB|2取得最大值eq \f(25,4)，所以|PB|max＝eq \f(5,2).故选A. 方法二(利用椭圆的参数方程)：因为点P在椭圆eq \f(x2,5)＋y2＝1上，所以可设点P(eq \r(5)cos θ，sin θ)． 易知点B(0，1)，所以|PB|2＝(eq \r(5)cos θ)2＋(sin θ－1)2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝eq \f(25,4)－(2sin θ＋eq \f(1,2))2.易知当2sin θ＋eq \f(1,2)＝0，即sin θ＝－eq \f(1,4)时，|PB|2取得最大值eq \f(25,4)，所以|PB|max＝eq \f(5,2).故选A. 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是均值不等式． (x2,4)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题5　如图，焦点在x轴上的椭圆＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \o(PF,\s\up14(→))·eq \o(PA,\s\up14(→))的最大值为________． 【解析】　由题意知a＝2，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)， 所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. 设P点的坐标为(x0，y0)，－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3)， 代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得y02＝3－eq \f(3,4)x02. 因为F(－1，0)，A(2，0)，所以eq \o(PF,\s\up14(→))＝(－1－x0，－y0)，eq \o(PA,\s\up14(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq \o(PF,\s\up14(→))·eq \o(PA,\s\up14(→))＝x02－x0－2＋y02＝eq \f(1,4)x02－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2，所以当x0＝－2时，eq \o(PF,\s\up14(→))·eq \o(PA,\s\up14(→))取得最大值4. 1．涉及椭圆定义的题目，要抓住“椭圆上任一点到两焦点距离之和等于2a”这个特征．充分利用定义．“回到定义中去”是一个很重要的思想方法． 2．求椭圆方程的方法． (1)直接法：根据所给条件判断焦点位置，并确定a，b的值，写出椭圆的标准方程，其中难点是确定a，b的值． (2)待定系数法：先设出含字母系数的椭圆方程，根据条件建立字母系数的方程并求解，然后代入所设含字母系数的方程而得椭圆方程，其中难点是建立字母系数的方程． 3．求离心率的方法． (1)求值列方程． (2)求范围列不等式． $$