2023-2024学年高一数学下学期人教A版2019期末模拟测试卷

2023-2024学年高一数学下学期人教A版2019期末模拟测试卷 考试范围：必修第二册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（    ） A．这组数据的平均数为8 B．这组数据的众数为7 C．这组数据的极差为4 D．这组数据的第80百分位数为9 2．袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 5．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（    ） A． B． C． D．5 8．如图，在三棱锥中，平面，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数(i为虚数单位)，则下列结论正确的是（   ） A．的共轭复数为 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D． 10．已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若的三角形有两解 11．在平面直角坐标系中，已知点，，，则（    ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量的坐标为 D．与垂直的单位向量的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．学习小组有五位同学，他们历次考试成绩比较稳定，成绩的方差值均为6左右. 某次质量监测考试中同学甲没有参加，其余四位同学的成绩分别为81分、84分、87分、88分. 假设同学甲也参加本次质量监测，用6作为这五位同学本次考试成绩的方差来估算同学甲的分数（可设为），则这个分数为 . 13．中，，当时，的最小值为，则 ． 14．如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为 ． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限. (1)求； (2)若，在复平面上的对应点分别为，，求. 16．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间.进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. (1)求直方图中的值； (2)求在被调查的用户中，用电量落在内的户数. 17．在中，内角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)若，求的面积. 18．如图，已知四面体中，平面，. (1)求证：； (2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； (3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度. 19．个有次序的实数所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个n维向量，若，，称为n维信号向量.设，则和的内积定义为，且. (1)写出所有3维信号向量； (2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量； (3)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； (4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】利用众数、中位数、极差、百分位数的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果. 【详解】这组数据的平均数为，故A正确； 这组数据的众数为7，故B正确； 这组数据的极差为，故C正确； 将这组数据按照从小到大的顺序排列为， 因为， 所以这组数据的第80百分位数为，故D错误. 故选：D. 2．B 【分析】根据题意，求出时，取球的情况，结合独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】由题意，时，取球的情况为：白白红，白白黑，白黑白，白黑黑，白黑红， 黑白白，黑白黑，黑白红， 所以. 故选：A. 3．A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以，故的虚部为. 故选：A. 4．A 【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论. 【详解】因为，所以三点共线， 故选：A． 5．D 【分析】对已知条件变形，然后由余弦定理直接求解即可. 【详解】因为，且，所以，即， 所以由余弦定理得. 故选：D 6．A 【分析】根据空间中线面之间的位置关系及性质逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则或或相交，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：A. 7．C 【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度． 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图， 由斜二测法则知，， 所以． 故选：C． 8．C 【分析】先利用线面垂直的判定定理推得再利用面积相等在中推得，从而得到，由此得解. 【详解】因为平面，面，所以， 又，， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以 . 又在中，， 在中，， 故， 则， 又， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 当时，为的中点，此时当时，为的中点， 综上所述的最小值是. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的突破口是如何解决的系数问题，利用三角形面积公式与面积相等得到即可得解. 9．ACD 【分析】根据复数的概念和运算对各项逐一判断. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，故B错误； 因为，所对应点为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 10．ABD 【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可；对于B，由余弦定理得，即可判断三角形为等腰三角形；对于C，根据余弦定理只能得，即为锐角，无法判断的情况；对于D，利用正弦定理得，即可判断三角形解的个数. 【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得， ，所以，即，故A正确； 对于B，由余弦定理得， 化简得，故为等腰三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理， 因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误； 对于D，若，则由正弦定理得， 因为，所以三角形有两解，故D正确； 故选：ABD. 11．BC 【分析】求出即可判断A选项，设与的夹角为，求出即可判断B选项，设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为即可判断C选项，设与垂直的单位向量为，解即可判断D选项． 【详解】对A，因为点，，， 所以，，所以， 所以，故A选项错误； 对B，设与的夹角为，所以， 所以与的夹角为，故B选项正确； 对C，设与同向的单位向量为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为，故C选项正确； 对D，因为，设与垂直的单位向量为， 则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或，故D选项错误. 故选：BC. 12．85 【分析】设甲的分数为，根据平均数和方差公式求解. 【详解】设甲的分数为， 则5位同学本次考试成绩的平均分为， 所以这五位同学本次考试成绩的方差为 ， 解得，所以甲的成绩为85. 故答案为：85 13． 【分析】令，取点使，则可可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和，从而可数形结合构造出点关于的对称点为，得到，再利用余弦定理计算出后即可得解. 【详解】令，则， 又，则点在线段上， 取上靠近点的三等分点，连接，则， 则， 令点关于的对称点为，则， 即有，设，则在中， 有， 即，即， 又，则， 则有， 即，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，在线段上取点，使，从而可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和. 14．/ 【分析】根据线面垂直的性质定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解. 【详解】由平面，平面，得，， 又，，则， 取的中点，连结，由为的中点，得， 因此直线BE与AD所成角为或其补角， 在中，，，， 由余弦定理得， 所以直线BE与AD所成角的余弦值为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）设，则可得，，，，从而可求出，进而可求出； （2）先求出，，然后可求出，的坐标，从而可求出，再利用向量的夹角公式可求得结果. 【详解】（1）设， 因为，所以， 因为，的虚部为2， 所以，得， 因为在复平面上所对应的点在第一象限， 所以，， 所以解得， 所以. （2）因为，所以， 所以，， 因为， 所以，， 所以. 16．(1) (2)70 【分析】（1）由各组的频率和为1列方程可求出的值； （2）用100乘以的频率即可 【详解】（1）因为， 所以. （2）由频率分布直方图，可得用电量落在内的户数为 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可证明；法二：根据正弦定理和射影定理化简即可证明； （2）根据余弦定理和完全平方公式计算可得，结合同角的平方关系和三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）法一：根据正弦定理， 整理得， 因为，所以， 由正弦定理可得； 法二：由， 由射影定理知（因为）， 故. （2）因为，由余弦定理可得， 即，又，故， 从而，解得， 因为，所以， 所以. 18．(1)证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直； （2）根据线线垂直、线面垂直以及面面垂直分析求解即可； （3）将平面与平面沿展开成平面图形，则BD即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可. 【详解】（1）因为平面，平面BCD，则， 又，，平面ABC，所以平面， 因为平面ABC，所以. （2）由（1）可知：，， 且平面，平面ABC，则， 且其余各棱均不垂直，可得； 由平面，且平面，平面， 可得平面平面，平面平面， 同理：由平面可得：平面平面， 且其余各面均不垂直，可得； 由平面，平面，且其余各线面均不垂直，可得； 综上所述：. （3）将平面与平面沿展开成如图2所示的平面图形，连接BD， 所以彩带的最小长度为图2平面图中的长， . 由（1）知， 在图1中，因为平面，平面BCD，所以， 又因为，所以， 故在图2中，， 所以在图2中，在中，由余弦定理得， 所以彩带的最小长度为. 19．(1)答案见解析 (2)答案见解析（答案不唯一，符合题意即可） (3)证明见解析 (4)证明见解析 【分析】（1）根据题意直接写出结果即可； （2）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解； （3）根据题意，不妨设，得到有7个分量为，设的前7个分量中有r个，得到7个分量中有个，进而求得r的值，即可求解； （4）任取，得到，设的第个分量之和为，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知：所有3维信号向量为. （2）设4维信号向量为，，， 可知， 若，等价于， 可知中有2个1，2个， 代入可知：符合上式， 两两垂直的4维信号向量可以为：，，，. （3）假设存在14个两两垂直的14维信号向量， 因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设， 因为，所以有7个分量为， 设的前7个分量中有个，则后7个分量中有个， 所以，可得，矛盾， 所以不存在14个两两垂直的14维信号向量. （4）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到， 则，设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为， 所以， 令所以，所以. 【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给线性相关的定义进行运算判断. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$