第03讲 二次函数与一元二次方程（1大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

第03讲 二次函数与一元二次方程（1大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 知识点01 二次函数与一元二次方程 二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. （1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； （2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； （3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·天津河西·期末）抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）抛物线的部分图像如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为，则它与轴的另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·山西·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是 ． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是 ． 5．（22-23九年级上·广西崇左·阶段练习）求抛物线与轴的交点坐标． 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根： （1）；（2）． 【典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）二次函数图象与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）抛物线与y轴的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·二模）抛物线与y轴交点的坐标为 ． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）抛物线与轴交点坐标是 ． 5．（22-23九年级上·浙江衢州·期中）求抛物线与轴的交点坐标． 6．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）已知二次函数． （1）求抛物线开口方向及对称轴． （2）写出抛物线与y轴的交点坐标． 【典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 2．（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）下表是二次函数的几组对应值： 根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）已知，当 时，的值是． 4．（22-23九年级上·湖北十堰·期末）若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为 ． 5．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度与弹出的时间满足的关系式为．当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间是多少秒？ 6．（23-24九年级上·四川泸州·期中）若函数是以x为自变量的二次函数． (1)求k的值； (2)当函数值时，求自变量x的值． 【典型例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如下表给出了二次函数中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到0.1）为（    ） x …… 2 2.1 2.2 2.3 2.4 …… y …… 0.24 0.89 1.56 …… A． B．2.2 C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解满足（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·陕西延安·期中）下面表格是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个解的范围是 ． 0 1 2 1 7 4．（23-24九年级上·广东茂名·期末）根据下面的表格请你写出方程（为常数）的一个近似解： ．（精确到0.1） 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.0725 0.19 1 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位）． 【典型例题五 抛物线与x轴的交点问题】 1．（23-24九年级上·北京石景山·期末）若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）若抛物线与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的解为（    ） A．， B． C． D．， 3．（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）已知点在抛物线上，则 ． 4．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如果函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 5．（2024·广西南宁·一模）已知二次函数． (1)写出该函数图象的对称轴 ． (2)求出该函数图象与x轴的交点坐标． (3)当时，求的取值范围． 6．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）求二次函数与轴、轴的交点坐标. 【典型例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（23-24九年级上·广东云浮·期中）二次函数的图象与x轴交于、两点，则关于x的方程的根为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程的根的情况（    ）    A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．有两个异号实根 D．没有实数根 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）一元二次方程 的两根是，则二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 4．（23-24九年级上·山东青岛·期中）根据下列表格对应值： x 0 0.5 1 2 1 2 可求得关于x的方程的解是 ． 5．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）已知二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知二次函数与直线交于点，，请结合图象直接写出方程的解． 6．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，，根据图象回答下列问题：    (1)写出方程的两个根，并直接写出该二次函数的对称轴； (2)根据图象，写出的解集． 【典型例题七 求x轴与抛物线的截线长】 1．（22-23九年级上·安徽铜陵·阶段练习）抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 2．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（23-24九年级上·湖北恩施·期中）抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为 ； 4．（22-23九年级上·云南红河·期末）若抛物线与轴分别交于、两点，则的长为 ． 5．（22-23九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线，若抛物线与轴的两个交点为A，，求线段的长． 6．（22-23九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线经过点和点， (1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离． 【变式训练1 求抛物线与x轴的交点坐标】 1．（22-23九年级上·江西·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·北京·期末）在求解方程时，先在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）若抛物线与轴分别交于、两点，、两点间的距离是 ． 4．（22-23九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，若B点的坐标是，则A点的坐标是 ． 5．（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 6．（22-23九年级上·北京大兴·期中）已知二次函数． （1）二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），求、两点的坐标； （2）在网格中，画出该函数的图象． 【变式训练2 求抛物线与y轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）抛物线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·上海静安·期中）下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 ． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）抛物线顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． 5．（22-23九年级上·湖北十堰·期末）已知抛物线与轴的两个交点为（在的左侧），与轴交于点. （1）直接写出点，，的坐标； （2）求的面积. 6．（22-23九年级下·广东中山·阶段练习）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值； （2）求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标． 【变式训练3 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 2．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）已知函数，当 时，函数值等于5． 4．（2023九年级上·浙江·专题练习）关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9． 5．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的值． 6．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． 【变式训练4 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·贵州贵阳·阶段练习）根据下表中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3.1 3.2 3.3 3.4 0.36 4．（22-23九年级上·河北承德·期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是 ； 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1） 6．（22-23九年级上·福建厦门·期中）我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2=0方程的根所在的范围． 第一步：画出函数y=x2﹣2x﹣2=0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间． 第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0，当x=﹣1时，y=1＞0， 所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0 第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围： 取x=，因为当x=对，y＜0．又因为当x=﹣1时，y＞0，所以 （1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3 （2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得． 【变式训练5 抛物线与x轴的交点问题】 1．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A． B．0 C．2 D．5 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，则一元二次方程的根的说法正确的是（    ） A．有两个负根 B．有两个正根 C．有一正一负的两根 D．无实数根 3．（2024·吉林长春·二模）若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ． 4．（2024·宁夏中卫·一模）若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的二次函数， (1)若二次函数图象与轴有且只有一个公共点，求的值； (2)无论取何值，函数图象恒过定点，求点的坐标． 6．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）已知二次函数，请结合函数图像回答下列问题： (1)其图象与x轴的交点坐标为 ； (2)当x满足 时，； (3)当时，函数y的取值范围是 ． 【变式训练6 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图为二次函数的图象，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个不相等实数根 3．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： x 0 500 2000 y 1 1 则关于x的方程的解是 ． 4．（2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 5．（23-24九年级上·天津西青·期中）已知关于的一元二次方程．    (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)已知二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 6．（23-24九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 n 4 … y … 15 m 3 0 0 3 8 … (1)该二次函数图象的对称轴为直线______； (2)______，_______； (3)根据表中信息分析，方程的解为______． 【变式训练7 求x轴与抛物线的截线长】 1．（22-23九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 2．（2023·山东菏泽·一模）二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（　　）. A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2 C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大 3．（22-23九年级上·河南南阳·期末）直线被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的解析式为 ． 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是 ．（请用含字母m的代数式表示） 5．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线． (1)求出它的顶点坐标和对称轴； (2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长． 6．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，抛物线， （1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长． 1．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1 C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝2 2．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东东营·期中）根据下表中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　） x A． B． C． D． 4．（2024·河南安阳·二模）已知一次函数与二次函数的图象在第二象限内有两个交点，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．当时，y随x的增大而增大 D．和3是方程的两个根 6．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）抛物线与直线的交点坐标是 ． 7．（23-24九年级上·天津·阶段练习）抛物线与y轴交点坐标为 ． 8．（22-23九年级上·宁夏石嘴山·期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； （3）方程的根为 ； 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ． x 0.4 0.5 0.6 0.7 10．（23-24九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 11．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)①____________（用含a的式子表示）； ②当时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，比较，，的大小，并说明理由． 12．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）设． (1)求曲线与y轴的交点． (2)求曲线与x轴的交点． (3)作出大致图象（三点法）． 13．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图是机床切割的某零件示意图，上半部分是抛物线的一部分，下半部分是矩形，以矩形的边所在直线为x轴，的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，已知抛物线满足函数关系式，且点A的坐标为． (1)求抛物线的函数关系式； (2)现从该零件上截出一块矩形另作他用，其中在x轴上，点E、F均在抛物线上，且，求矩形的面积． 14．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）二次函数的图象如图所示，    根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； 15．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数与一元二次方程（1大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 知识点01 二次函数与一元二次方程 二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. （1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； （2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； （3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·天津河西·期末）抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，． 【详解】解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 2．（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）抛物线的部分图像如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为，则它与轴的另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据二次函数与轴的交点关于对称可得结果． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴， ∴， ∴它与轴的另一个交点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 3．（22-23九年级上·山西·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点和函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴为是解题的关键． 【详解】解：解：函数的对称轴，则与x轴的另一个交点的坐标为， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称． 5．（22-23九年级上·广西崇左·阶段练习）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】抛物线与轴的交点坐标为，． 【分析】抛物线与x轴交点的纵坐标等于零，由此解答即可． 【详解】解：令时，有， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 【点睛】本题考核了函数图像与x轴的交点坐标；解题关键点是令，正确求解方程． 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设y=2x2+x-15，根据图象与x轴的交点横坐标求解； （2）设y=3x2-x-1，根据图象与x轴的交点横坐标求解． 【详解】解：(1)函数y=2x2+x-15的图象如图： 由图象可知x1≈2.4，x2≈-3.1； (2)函数y=3x2-x-1的图象如图： 由图象可知x1≈0.8，x2≈-0.4； 【点睛】本题考查了二次函数图象的运用．关键是将所求一元二次方程转化为相应的二次函数，画出函数图象，图象与x轴的交点横坐标即为一元二次方程的解． 【典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）二次函数图象与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出当时y的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点坐标是， 故选：B． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）抛物线与y轴的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点y轴上的点的横坐标为．求此类问题可令函数的，求出y值即是与y轴的交点纵坐标． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点的坐标为， 故选B． 3．（2024·江苏无锡·二模）抛物线与y轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）抛物线与轴交点坐标是 ． 【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与坐标轴的交点，要求与轴的交点，则令代入抛物线求得纵坐标即可 【详解】解：将代入抛物线可得：， ∴抛物线与轴的交点是， 故答案为： 5．（22-23九年级上·浙江衢州·期中）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】 【分析】令，求解y的值即可． 【详解】解：当时， ∴抛物线 与y轴的交点坐标是：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与y轴的交点坐标，熟记y轴上的点的横坐标为0是解本题的关键． 6．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）已知二次函数． （1）求抛物线开口方向及对称轴． （2）写出抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】（1）开口向上，直线；（2） 【分析】（1）根据二次函数的顶点式进行解答即可； （2）令x=0，求出y的值即可． 【详解】（1）∵， ∴抛物线开口向上， ∵=， ∴对称轴是直线； （2）∵， ∴， ∴与y轴交点坐标是． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 【典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】变形原方程得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程的近似根可以看做是函数和图象交点的横坐标， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 2．（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）下表是二次函数的几组对应值： 根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格信息可知，在范围内，由此确定的范围． 【详解】解：当时，二次函数的函数值的范围为， ∴方程的一个解的范围是， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数取值问题，掌握二次函数图像中自变量的取值与函数值的关系是解题的关键． 3．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）已知，当 时，的值是． 【答案】， 【分析】此题是二次函数问题，给出了函数值，要求自变量的取值，也就是解一元二次方程，采用因式分解法即可求得. 【详解】距题意得， ， ， ， ，， 当或时，的值是. 故答案为：，. 【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是能熟练解一元二次方程. 4．（22-23九年级上·湖北十堰·期末）若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为 ． 【答案】3或 【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=3，求出x的值即可． 【详解】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1， ∴=1， 解得m=-2， ∴关于x的方程x2+mx=3可化为x2-2x-3=0，即（x+1）（x-3）=0， 解得x1=-1，x2=3． 故答案为：3或-1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解题的关键． 5．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度与弹出的时间满足的关系式为．当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间是多少秒？ 【答案】1秒 【分析】把代入关系式解方程可求出． 【详解】解：当时，， 解得，， 小球第一次距离地面， ，即1秒． 【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是代入已知的就能求出． 6．（23-24九年级上·四川泸州·期中）若函数是以x为自变量的二次函数． (1)求k的值； (2)当函数值时，求自变量x的值． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，求二次函数的自变量； （1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可； （2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可． 解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，一般地,我们把形如 (其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，， 解得：，． 【典型例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如下表给出了二次函数中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到0.1）为（    ） x …… 2 2.1 2.2 2.3 2.4 …… y …… 0.24 0.89 1.56 …… A． B．2.2 C． D． 【答案】B 【分析】由表格信息可得当时，；当时，，再比较，0.24哪个更接近0即可解答． 【详解】解：当时，；当时，， ∵0.24更接近于0， ∴方程的一个近似根为2.2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点坐标，一元二次方程的近似解，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足． 【详解】解：时，， 时，， ∴时，有一个根满足， 即方程必有一个解x满足． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（23-24九年级上·陕西延安·期中）下面表格是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个解的范围是 ． 0 1 2 1 7 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，根据表格可知二次函数与x轴一个交点在直线和直线之间，则方程的一个解的范围是． 【详解】解：由表格可知，当时，，当，， ∴二次函数与x轴一个交点在直线和直线之间， ∴方程的一个解的范围是， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·广东茂名·期末）根据下面的表格请你写出方程（为常数）的一个近似解： ．（精确到0.1） 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.0725 0.19 1 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系．根据在与之间可得方程有一个解的取值范围为，由此即可得． 【详解】解：由表可知，在与之间， 方程有一个解的取值范围为， ， 故答案为：． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程根的联系，解题的关键是根据一元二次方程对应的二次函数为，画出函数图象，与轴的交点，即为一元二次方程的根，即可． 【详解】∵对应的函数是，在平面直角坐标系内画出函数图象，如下： ∵函数与轴的交点坐标为，， ∴的近似根为：，． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解，可得一元二次方程的近似根． 【详解】解：画出函数的图象（如图），它与x轴的公共点的横坐标大约是，2.7， 所以方程的实数根为 ． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是理解二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解． 【典型例题五 抛物线与x轴的交点问题】 1．（23-24九年级上·北京石景山·期末）若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题．二次函数与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：． 解得：， 故选：D 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）若抛物线与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的解为（    ） A．， B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系，理解关于x的方程的根就是函数与x轴的交点横坐标是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴一元二次方程的解为，， 故选A． 3．（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）已知点在抛物线上，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查抛物线上点的特征，将点代入抛物线的解析式进行求解即可． 【详解】解：点代入，得：， 解得：， 故答案为：4或． 4．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如果函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题．根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式即可得出答案． 【详解】解：∵函数的图象与x轴有公共点， ∴， 解得：． 故答案为： 5．（2024·广西南宁·一模）已知二次函数． (1)写出该函数图象的对称轴 ． (2)求出该函数图象与x轴的交点坐标． (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)该函数图象与x轴的交点坐标， (3) 【分析】（1）根据顶点式可确定对称轴即可； （2）将代入函数解析式可确定抛物线与轴的交点； （3）根据顶点坐标，可确定时，的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线； （2）解：当时，即 解得，， ∴该函数图象与x轴的交点坐标，． （3）解：∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值 7， 又， ∴当时取得最小值，最小值， ∴当时，． 【点睛】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：，顶点坐标为，对称轴．解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围． 6．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）求二次函数与轴、轴的交点坐标. 【答案】、、 【分析】本题考查了抛物线与x轴，y轴的交点坐标的计算，分别令，列式计算即可. 【详解】∵， 令，得， 解得， ∴二次函数与轴交点坐标为、； 令，得， ∴二次函数与轴交点坐标为. 【典型例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（23-24九年级上·广东云浮·期中）二次函数的图象与x轴交于、两点，则关于x的方程的根为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于、两点， 方程的根为，， 故选：D． 2．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程的根的情况（    ）    A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．有两个异号实根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】由图可知的根的情况即图中图象中纵坐标是3的点的个数，据此即可判断． 【详解】解：∵函数的顶点的纵坐标为3， ∴直线与函数图象只有一个交点， ∴方程的根为两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，关键是通过看图象直线与抛物线的交点个数． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）一元二次方程 的两根是，则二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】由二次函数与一元二次方程的关系可知二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标为，再结合在x轴上的点的纵坐标为0即可得到与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是， 又一元二次方程的两根就是二次函数的图象与x轴的交点的横坐标， ∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，需明确二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根． 4．（23-24九年级上·山东青岛·期中）根据下列表格对应值： x 0 0.5 1 2 1 2 可求得关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由表格可直接进行求解． 【详解】解：由表格可知：关于x的方程的解是； 故答案为． 5．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）已知二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知二次函数与直线交于点，，请结合图象直接写出方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据函数图象求出的解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， 因此，二次函数解析式为：． （2）解：∵二次函数与直线交于点，， ∴方程的解为，． 6．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，，根据图象回答下列问题：    (1)写出方程的两个根，并直接写出该二次函数的对称轴； (2)根据图象，写出的解集． 【答案】(1)，，对称轴为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标即可求出方程的两个根，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可． （2）根据二次函数的图象利用图象法求解不等式即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴方程的两个根为，， ∴对称轴为； （2）如图所示，当或时，， ∴不等式的解集为或． 【点睛】此题考查了利用图象法求解的问题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质、用图象法解一元二次方程和不等式． 【典型例题七 求x轴与抛物线的截线长】 1．（22-23九年级上·安徽铜陵·阶段练习）抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 【详解】由解得，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键． 2．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＝−3或x＝5， 故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 3．（23-24九年级上·湖北恩施·期中）抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为 ； 【答案】5 【分析】求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与x轴的交点坐标的纵坐标为0． 4．（22-23九年级上·云南红河·期末）若抛物线与轴分别交于、两点，则的长为 ． 【答案】1 【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点横坐标，然后求出两点间的距离即可． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，坐标轴上两点间的距离公式，熟练运用公式是解题的关键． 5．（22-23九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线，若抛物线与轴的两个交点为A，，求线段的长． 【答案】 【分析】令，即，通过解方程求得该方程的两个解，即抛物线与x轴的两个交点横坐标，然后利用两点间的距离公式作答． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴， 所以线段AB的长为． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 6．（22-23九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线经过点和点， (1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解； （2）令，可得，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点代入得： ， 解得：， ∴这个抛物线的解析式为， ∵， ∴这个抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，， 解得：， ∴抛物线与x轴两个交点坐标为， ∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 【变式训练1 求抛物线与x轴的交点坐标】 1．（22-23九年级上·江西·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求抛物线与x轴的交点，也就是令y=0解方程，解即为交点横坐标． 【详解】解：令，则， 解得， 所以抛物线与轴的交点坐标是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，数形结合思想，转化思想，把交点问题转化成方程的解的问题是解题的关键． 2．（22-23九年级上·北京·期末）在求解方程时，先在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由题意观察的图象，进而根据与轴的两个交点的横坐标进行分析即可. 【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：，， 所以方程的近似解是，. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与轴的两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解进行分析. 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）若抛物线与轴分别交于、两点，、两点间的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键． 代入求出两个交点后，即可得到两点间的距离． 【详解】解：、把代入得： 解得：或， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，若B点的坐标是，则A点的坐标是 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题， 根据抛物线的对称性，可得出点A、B关于直线对称，由点B的坐标得出点A的坐标． 【详解】解：∵B点的坐标是，抛物线的对称轴是， ∴点B到直线的距离为2 ∴点A到直线的距离也为2， ∴A点的坐标是． 故答案为：． 5．（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】， 【分析】令，即可得到方程，解方程可得抛物线与x轴交点． 【详解】解：令，得，解得，， ∴该抛物线与x轴的交点坐标是和． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解一元二次方程，掌握二次函数的性质正确计算是解题的关键． 6．（22-23九年级上·北京大兴·期中）已知二次函数． （1）二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），求、两点的坐标； （2）在网格中，画出该函数的图象． 【答案】（1），；（2）见解析 【分析】（1）把代入函数解析式，解一元二次方程即可； （2）用描点法画函数图象即可． 【详解】解：（1）把，代入得， ， 解方程得，，． ∵点在点左侧， ，． （2）函数图象如图所示： 【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点问题和画函数图象，解题关键是明确与x轴交点纵坐标为0，会画函数图象． 【变式训练2 求抛物线与y轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）抛物线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与y轴的交点问题，求得时的y值即可求解． 【详解】解：当时，，则抛物线与y轴的交点坐标是， 故选：A． 2．（22-23九年级上·上海静安·期中）下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，即可求出各二次函数图象与y轴的交点，即可求解． 【详解】解：A：令，，交点在x轴上方，不符合题意； B：令，，交点在x轴下方，符合题意； C：令，，交点在x轴上方，不符合题意； D：令，，交点在坐标原点，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与y轴的交点坐标．注意计算的准确性． 3．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，令求解即可． 【详解】解：当时， ． ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）抛物线顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出y的值． 根据顶点式求出顶点坐标，令求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】抛物线顶点坐标是； 令， ∴与轴的交点坐标是． 故答案为：，． 5．（22-23九年级上·湖北十堰·期末）已知抛物线与轴的两个交点为（在的左侧），与轴交于点. （1）直接写出点，，的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1）A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）；（2）24 【分析】（1）在抛物线的解析式中，当x=0时，可求出点C的坐标；当y=0时，能求出A、B点的坐标； （2）利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积． 【详解】解：（1）∵令x=0得y=-8， ∴C（0，-8）， ∵令y=0得： x2-2x-8=0，解得x=4或x=-2， ∴A（-2，0）、B（4，0）； （2）∵A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）， ∴AB=4-（-2）=6，OC=8， ∴． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点坐标的求法、三角形的面积以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 6．（22-23九年级下·广东中山·阶段练习）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值； （2）求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）． 【分析】（1）根据二次项系数确定开口方向，根据顶点坐标公式确定顶点坐标和对称轴． （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解方程可求得与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝3，即求得与y轴的交点坐标为（0，3）． 【详解】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标是（1，4） 当x＝1时，y有最大值是4； （2）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3 当x＝0时，y＝3 ∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）． 故答案为(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是利用解析式求坐标轴的交点以及顶点坐标公式． 【变式训练3 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 2．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数自变量的值，两点之间的距离，根据题意可知，将其代入函数关系式求出x的值，进而得出答案． 【详解】根据题意可知， 当时，， 解得， ∴（）． 故选：A． 3．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）已知函数，当 时，函数值等于5． 【答案】 【分析】令，求出的值即可． 【详解】解：当时，， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数自变量的值．解题的关键，是将二次函数的函数值代入解析式，解一元二次方程求出自变量的值． 4．（2023九年级上·浙江·专题练习）关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9． 【答案】 3 0或6 【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵当的函数值为0， ∴， 解得， 当的函数值为9， ∴， 解得，， 故答案为：3；0或6． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的值是解答此题的关键． 5．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)或． 【分析】（）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （）把函数值代入解析式，解方程即可求得． 【详解】（1）将，代入， 得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）当时，则， 解得或． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式． 6．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)B点坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入求解即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 抛物线解析式为； （2）把代入得， 解得，， 点坐标为或． 【变式训练4 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当时，的取值范围为：，即可． 【详解】由上表可知当，关于的方程的一个解的范围为：， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 3．（22-23九年级上·贵州贵阳·阶段练习）根据下表中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3.1 3.2 3.3 3.4 0.36 【答案】 3.3 3.4 【分析】由表格数据可知当时，的函数值小于0，当时，的函数值大于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由题意知：当时，， 当时，， 则当时，的函数值有机会为0， 由此可知一元二次方程的一个解的取值范围是， 故答案为：3.3，3.4． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似值，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 4．（22-23九年级上·河北承德·期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是 ； 【答案】1.2 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2． 故答案为：1.2． 【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1） 【答案】 【分析】首先画出二次函数的图象，然后利用图象求解即可． 【详解】解：方程的根是函数的图象与轴的公共点的横坐标． 作出二次函数的图象（如图）．    由图象可知方程有两个根，一个根在和0之间，另一个根在2和3之间．先求和0之间的根． 当时，； 当时，． 因此，是方程的一个近似根． 同理，2.4是方程的另一个近似根． 综上，方程的实数根为（根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均可）． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解． 6．（22-23九年级上·福建厦门·期中）我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2=0方程的根所在的范围． 第一步：画出函数y=x2﹣2x﹣2=0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间． 第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0，当x=﹣1时，y=1＞0， 所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0 第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围： 取x=，因为当x=对，y＜0．又因为当x=﹣1时，y＞0，所以 （1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3 （2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得． 【答案】（1）答案见解析；（2）2.625＜x2＜2.75． 【分析】（1）确定当x=2或 x=3时y的正负由此即可验证； （2）取第三步2和3的平均数x=2.5，计算y的值可得2.5＜x2＜3，再进一步取2.5和3的平均数x=2.75，计算y的值可得2.5＜x2＜2.75，再一次取平均数直到即可. 【详解】解：（1）因为当x=2时，y=﹣2＜0，当x=3时，y=1＞0， 所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x2所在的范围是2＜x2＜3； （2）取x==2.5，因为当x=2.5时，y＜0． 又因为当x=3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3， 取x==2.75，因为当x=2.75时，y＞0． 又因为当x=2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75， 因为2.75﹣2.5=． 取x==2.625，因为当x=2.625时，y＜0． 又因为当x=2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75， 因为2.75﹣2.625=0.125=＜， 所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2 的范围 【点睛】本题考查了利用取平均数的方法确定一元二次方程的近似值，正确理解题目中所给的方法并会灵活运用是解题的关键. 【变式训练5 抛物线与x轴的交点问题】 1．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A． B．0 C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据抛物线与x轴没有交点，知无解，根据根的判别式小于0，列不等式求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， 无解， ， 解得， 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，则一元二次方程的根的说法正确的是（    ） A．有两个负根 B．有两个正根 C．有一正一负的两根 D．无实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据函数图象可知一次函数与二次函数图象的两个交点的横坐标都大于0，则对应方程的解为两个正根，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，且这两点均在第一象限， ∴方程有两个正根， ∴一元二次方程有两个正根， 故选：B． 3．（2024·吉林长春·二模）若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出a的值． 【详解】∵抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·宁夏中卫·一模）若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，由二次函数的图象与x轴有公共点，可知，解不等式即可得出答案． 【详解】解：二次函数的图象与x轴有公共点， ∴方程有实数根， ， 解得：； 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的二次函数， (1)若二次函数图象与轴有且只有一个公共点，求的值； (2)无论取何值，函数图象恒过定点，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）令，即，转化为一元二次方程有两个相等的实数根求解即可； （）把二次函数化简，再把含的项分解因式，令含的项为零即可求解； 本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）当，即， ∵图象与轴有且只有一个公共点， ∴解：， 解得：； （2）由， 当，即时，函数图象恒过定点， 此时， ∴定点的坐标为． 6．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）已知二次函数，请结合函数图像回答下列问题： (1)其图象与x轴的交点坐标为 ； (2)当x满足 时，； (3)当时，函数y的取值范围是 ． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键． （1）令求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点； （2）根据二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点即可求得； （3）先把该二次函数的解析式化为顶点式，求出函数图象的开口方向和顶点坐标，即可求得函数的最小值，再求得时的函数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得：或， ∴它与x轴的交点坐标为和； （2）解：∵抛物线开口向上，与x轴的交点坐标为和； ∴当时，； （3）解：∵ ∴顶点坐标为， ∴时，有最小值， 当时， 当时，， ∴当时，y的范围是． 故答案为：． 【变式训练6 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，利用了数形结合的数学思想，根据二次函数的图象与x轴的交点坐标确定一元二次方程的解即可． 【详解】解：观察函数的图象知：二次函数的图象与x轴交于， ∴关于x的方程的解为：． 故选：A． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图为二次函数的图象，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个不相等实数根 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．将 的根情况转化为抛物线与直线的交点问题． 【详解】解：由图象可得函数最小值为， ， 有两个不相等实数根． 故选：D． 3．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： x 0 500 2000 y 1 1 则关于x的方程的解是 ． 【答案】500 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及函数与方程的关系，先得出，整理，得，即当时所对应的的值，即可作答． 【详解】解：由题意可知，当时， 则二次函数 关于x的方程的解是，即当时所对应的的值 根据图表信息，得 故答案为：500． 4．（2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点．先求出函数与y轴的交点，再根据函数图象的特点即可求解． 【详解】解：令得，， 所以函数的图象与y轴的交点坐标为． 方程的实数根可以看成函数的图象与直线交点的横坐标． 因为该方程恰有3个不相等的实数根， 所以函数的图象与直线有3个不同的交点． 如图所示， 当时，两个图象有3个不同的交点， 所以m的值为4． 故答案为：4． 5．（23-24九年级上·天津西青·期中）已知关于的一元二次方程．    (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)已知二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由即可列不等式得到答案； （2）根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程有实数根， ，即， ， 的取值范围为； （2）二次函数图象的对称轴为直线， 抛物线与轴两个交点关于直线对称， 由图可知抛物线与轴一个交点为， 另一个交点为， 一元二次方程的解为，． 【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性． 6．（23-24九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 n 4 … y … 15 m 3 0 0 3 8 … (1)该二次函数图象的对称轴为直线______； (2)______，_______； (3)根据表中信息分析，方程的解为______． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）根据表格得到二次函数上对称的两点求解即可； （2）根据二次函数的对称性求解即可； （3）根据表格得到当时，；当时，，进而求解即可． 【详解】（1）∵当时，时，y的值都是0， ∴对称轴为； （2）∵二次函数图象的对称轴为直线， 由表格可得， 点和点关于对称轴对称， ∴， 点和点关于对称轴对称， ∴； （3）根据表格可得， 当时，；当时，， ∴方程的解为和． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合，掌握二次函数图像的性质解一元二次方程是解题的关键． 【变式训练7 求x轴与抛物线的截线长】 1．（22-23九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 2．（2023·山东菏泽·一模）二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（　　）. A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2 C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大 【答案】D 【分析】点C的坐标可以令x＝0，得到的y值即为点C的纵坐标；令y＝0，得到的两个x值即为与x轴的交点A、B的横坐标，且AB的长也有两点横坐标求得；分别求出AC、BC的长，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状；a= -1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0,对函数的增减性进行判断． 【详解】A．根据题意可知：当x=0时，y=1， ∴点C的坐标为（0，1）， 故选项正确，不合题意； B．当y=0时，x= -1或x=1， ∴AB=2， 故选项正确, 不合题意； C．∵OA=1，OB=1，OC=1， ∴AC==，BC= =， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故选项正确，不合题意； D．由y= -x2+1可知：a= -1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0， ∴当x＞0时，y随x增大而减小， 故选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质、勾股定理、函数图像与坐标轴的交点、判定函数的增减性等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（22-23九年级上·河南南阳·期末）直线被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】直线和抛物线联立方程求解，根据截得的线段长为4，即两根之差的绝对值为4，求解即可． 【详解】解：当时， ， 整理得： ， 解得：或， 由题意可知： ， 即， 解得：， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了函数与方程，以及距离与坐标的关系；掌握联立方程组求交点坐标是解题的关键． 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是 ．（请用含字母m的代数式表示） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】因为二次函数的图象的顶点的横坐标是1， 所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点C， 所以B，C两点关于对称轴对称， 因为点，且点B在点C的左侧， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的两点间距离的求法，解题的关键是掌握二次函数的对称性． 5．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线． (1)求出它的顶点坐标和对称轴； (2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长． 【答案】(1)，对称轴为x=1 (2) 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解； （2）令，解方程得交点坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解： ∴顶点坐标为；对称轴为x=1； （2）解：令，即， 解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的截线的长，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，抛物线， （1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）列出判别式，根据判别式的值的情况进行证明即可； （2）通过A点代入求解得k，进而求出完整解析式，求出B的坐标即可计算AB的长度． 【详解】（1）由题意：==， 不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）将A(1，0)代入解析式得：，解得：， 此时抛物线得解析式为：， 令，解得，，故， ． 【点睛】本题考查二次函数与轴交点的问题，熟练掌握求解判别式及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键． 1．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1 C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝2 【答案】A 【分析】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标． 【详解】解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝−1． 设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）． 则， 解得，x＝－4 ， 即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）． 所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x1＝−4，x2＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）间的转换． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点坐标．熟练掌握二次函数与坐标轴的交点坐标的横坐标为0是解题的关键．当时，，然后作答即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 故选：B． 3．（23-24九年级上·山东东营·期中）根据下表中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与一元二次方程的根，根据的一个根对应的函数值为，根据，可判断，选择即可．熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：依题意，因为的一个根对应的函数值为， 观察图中的数值，当在， 所以， 故选：C． 4．（2024·河南安阳·二模）已知一次函数与二次函数的图象在第二象限内有两个交点，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系．联立得，再由两函数图象在第二象限内有两个交点，可得函数的图象与x轴的负半轴有两个交点，即可求解． 【详解】解：联立得：， 整理，得， ∵两函数图象在第二象限内有两个交点， ∴方程有两个负数解， ∴函数的图象与x轴的负半轴有两个交点， 故选：B． 5．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．当时，y随x的增大而增大 D．和3是方程的两个根 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，能利用数形结合得出抛物线的对称轴及其顶点坐标是解答此题的关键．直接根据二次函数的图象进行解答即可． 【详解】解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线，则图象关于直线对称，正确，故本选项不符合题意； B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为，又抛物线开口向上，所以函数的最小值是，正确，故本选项不符合题意； C、由抛物线的对称轴为，所以当时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意； D、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为，而对称轴为直线，所以抛物线与x轴的另外一个交点为，则和3是方程的两个根，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）抛物线与直线的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是函数图象交点的求法，联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标． 【详解】解：：联立两函数的解析式， 可得：， 解得：，， 故抛物线与直线的交点坐标是，， 故答案为：，． 7．（23-24九年级上·天津·阶段练习）抛物线与y轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数与y轴交点坐标求解方法求解即可； 【详解】解：将代入中， 解得：， 故抛物线与y轴交点坐标为：， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解答该题的关键是熟悉二次函数的基本性质． 8．（22-23九年级上·宁夏石嘴山·期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； （3）方程的根为 ； 【答案】 ， ， 【分析】（1）根据图象，利用抛物线与x轴交点的横坐标是方程的根求解即可； （2）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可； （3）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （2）解：由图象可得：抛物线与直线的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （3）解：由图象可得：抛物线与直线的一个交点为， ∴方程的根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用图象法求一元二次方程的根，熟练掌握方程的根为抛物线与x轴交点的横坐标，方程的根为抛物线与直线交点的横坐标是解题的关键． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ． x 0.4 0.5 0.6 0.7 【答案】 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间， 即． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及数形结合法；根据顶点坐标为，求出．根据题意可得求值即可． 【详解】解：由图象可知：二次函数的顶点坐标为， ∴，即， ∵有两个不相等的实数根， ∴ ∵抛物线开口向上 ∴ ∴ ∴． 故答案为． 11．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)①____________（用含a的式子表示）； ②当时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键． （1）①根据二次函数的对称轴公式求解即可； ②首先根据求出，然后得到抛物线解析式为，然后令求解即可； （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）①对称轴为直线； ②∵， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴令，得， 解得， ∴抛物线与x轴的公共点的坐标为． （2）∵， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）设． (1)求曲线与y轴的交点． (2)求曲线与x轴的交点． (3)作出大致图象（三点法）． 【答案】(1)二次函数图象与轴的交点坐标是 (2)图象与轴的交点坐标为， (3)画图见解析 【分析】本题考查的是二次函数基本知识，涉及到函数与坐标轴的交点、二次函数图象． （1）令得：，即可得到二次函数图象与轴的交点坐标； （2）令，即，解方程可得答案， （3）利用描点法画二次函数图象． 【详解】（1）解：∵ ∴当时， 这个二次函数图象与轴的交点坐标是． （2）令，即， 解得：， 图象与轴的交点坐标为，． （3）列表 … … … 0 0 … 描点画图如下： 13．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图是机床切割的某零件示意图，上半部分是抛物线的一部分，下半部分是矩形，以矩形的边所在直线为x轴，的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，已知抛物线满足函数关系式，且点A的坐标为． (1)求抛物线的函数关系式； (2)现从该零件上截出一块矩形另作他用，其中在x轴上，点E、F均在抛物线上，且，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将将点代入，即可求解； （2）将代入，解方程，得出，进而根据矩形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，将点代入 ∴， 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：将代入 即 解得： 则的横坐标为，的横坐标为， ∴ ∴解析的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）二次函数的图象如图所示，    根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察图形可以看出抛物线与轴交于和，即可解题； （2）根据抛物线，求得的取值范围即可解题． 【详解】（1）解：图中可以看出抛物线与轴交于和， 方程的两个根为，； （2）不等式时，通过图中可以看出：当时，的值， 不等式的解集为； 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握利用图象法求一元二次方程的解与不等式解集是解题的关键． 15．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）根据表格中的数据，并结合二次函数图象的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象与性质进行求解即可； （3）找到点关于对称轴的对称点为，再由二次函数的图象过点和，即可求解． 【详解】（1）解：∵当，时，函数值都是9， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，函数值随着的增大而增大， ∴该函数图象的开口向下， 故答案为：向下，； （2）解：∵点、关于对称轴的对称点为、， ∴方程的正根的范围为， 故答案为：； （3）解：∵点关于对称轴的对称点为，且该函数图象的开口向下， ∴不等式解集是， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$