第02讲 二次函数的图象和性质（5大知识点+17大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

第02讲 二次函数的图象和性质（5大知识点+17大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 y=ax'+k的图象和性质 题型二 y=a(x-h)2的图象和性质 题型三 y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型四 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型五 画y=ax²+bx+c的图象 题型六 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型七 二次函数图象与各项系数符号 题型八 一次函数、二次函数图象综合判断 题型九 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型十 根据二次函数的图象判断式子符号 题型十一 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十二 根据二次函数的对称性求函数值 题型十三 y=ax²+bx+c的最值 题型十四 利用二次函数对称性求最短路径 题型十五 二次函数图象的平移 题型十六 二次函数综合 题型十七 y=ax²的图象和性质 知识点01 二次函数的解析式 （1）三类解析式 一般式：（a、b、c是常数，）； 顶点式：（），二次函数的顶点坐标是（h，k）； 交点式：（），其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． （2）待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 知识点02 二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 （0，0） （0，k） （h，0） （h，k） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或）； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或）. 增 减 性 a>0 x<0（h或）时，y随x的增大而减小；x>0（h或）时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0（h或）时，y随x的增大而增大；x>0（h或）时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 知识点03 二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. （2）、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边； 当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） （3）c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 知识点04 二次函数图象的变换 （1）图象的平移：任意抛物线y＝a（x－h）2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： （2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 知识点05 二次函数与不等式 （1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； （2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【典型例题一 y=ax'+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）二次函数与y轴交点的纵坐标为3，则k的值为（  ） A．0 B．1 C． D．3 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）二次函数的图像开口向 ． 4．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向相同． 6．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【典型例题二 y=a(x-h)2的图象和性质】 1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数的顶点坐标为 ． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线，当时，函数有最大值，则当为何值时，随的增大而减小？ 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【典型例题三y=a(x-h)2+k的图象和性质】 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西河池·三模）二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）二次函数的顶点坐标为 ． 4．（2024·湖南长沙·三模）抛物线的顶点坐标是 ． 5．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线的顶点坐标为，求抛物线与轴的交点坐标． 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【典型例题四 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）把化为顶点式，得（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）将变形为的形式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·山东威海·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 4．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数化为的形式为 ． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）用配方法求二次函数的顶点坐标和对称轴． 6．（2023·湖北武汉·模拟预测）我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组织设计制作的火箭的升空高度与飞行时间的关系是，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时火箭的高度是多少？ 【典型例题五 画y=ax²+bx+c的图象】 1．（22-23九年级上·山西阳泉·期中）我们学习了一次函数和二次函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的相关性质．这种研究方法主要体现的数学思想是（    ） A．演绎 B．公理化 C．抽象 D．数形结合 2．（19-20九年级上·辽宁大连·期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为 ． 5．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    6．（22-23九年级上·河北保定·期中）二次函数中的，满足如下表. x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 m -3 0 … (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为_______． (2)求该抛物线的解析式，并求时的值． (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，结合图象，请直接写出当时，自变量的取值范围． 【典型例题六 y=ax²+bx+c的图象与性质】 1．（2024·安徽芜湖·一模）下列抛物线开口朝上的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广西·一模）若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是 （答案不唯一）． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是 ． 5．（23-24九年级上·吉林白山·期末）开口向下的抛物线的对称轴经过点，则 . 6．（2023·河南南阳·三模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，与x轴的另一个交点为B．    (1)求抛物线的表达式； (2)点M是抛物线上的一点，且到y轴的距离小于3，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)将抛物线在点B右侧的图象沿x轴向下翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值 【典型例题七 二次函数图象与各项系数符号】 1．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）下列函数：①；②；③；  ④；⑤，其中函数图象形状、开口方向相同的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．③④ D．②⑤ 2．（2023·四川广安·一模）如图，直线l为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法都不对 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）写出一个开口向上的二次函数表达式 ： 4．（22-23九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数的图象如图所示，则a 0，k 0．（填）    5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)试比较，的大小，并说明理由． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在二次函数中． (1)若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． (2)若点在抛物线上，令，求证：． (3)如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 【典型例题八 一次函数、二次函数图象综合判断】 1．（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是( ) A． B． C． D． 2．（2024·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（22-23九年级上·北京门头沟·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，，，如果抛物线与线段AB有公共点，那么a的取值范围是 ． 4．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 5．（22-23九年级上·安徽宿州·期末）已知：在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象交于点. （1）求，的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 6．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过A(6，0)，顶点M在直线y=2x-7上，求抛物线的解析式． 【典型例题九 反比例函数、二次函数图象综合判断】 1．（2024九年级下·安徽·专题练习）函数与为常数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广西桂林·一模）反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·天津·期末）若根式有意义，则双曲线与抛物线的交点在第 象限． 4．（2023·福建漳州·一模）对于任意实数t，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P，若反比例函数经过点P，则k＝ ． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）对于方程m2+2（1+）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数． 6．（2019九年级·全国·专题练习）如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点. （1）若点为的中点，且的面积. ①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______； ②求的长和点的坐标. （2）在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由. 【典型例题十 根据二次函数的图象判断式子符号】 1．（22-23九年级上·福建南平·期中）已知抛物线的图象如图所示，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的图象如图所示，则a＋b＋c 0．（填“＜”“＝”“＞”） 4．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图为二次函数的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为．有以下3种说法： ① ② ③当时，y随着x的增大而增大这3种说法中，正确的有 ． 5．（22-23九年级下·陕西·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，其关于轴对称的抛物线为：，且经过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，抛物线与轴的交点记为点和点（在的右侧），与轴交于点，如果满足与相似，请求出平移后抛物线的表达式． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【典型例题十一 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）若 是抛物线 上的两个点，则抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西柳州·期中）二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如： x … 0 1 … y … ﹣6 … 则该函数图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（23-24九年级上·广东广州·期末）二次函数的图象上有两点，，则此抛物线的对称轴是直线 ． 4．（23-24九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的的部分对应值如下表： … … … … 则该二次函数图象的对称轴为直线 ． 5．（22-23九年级上·福建漳州·期末）我们知道： （1）观察以上结果，可以发现： ； ； （2）若点P（m,n)在抛物线上，且n>0，试化简： 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③对于任意实数m，有；④对于实数，若为抛物线上两点，则；其中正确的是 （填写序号）．    【典型例题十二 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标是，它与轴的另一个交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东威海·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（  ） A．0 B． C． D． 3．（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ． 4．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 2 1 2 5 10 则的值为 ． 5．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 6．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上． （1）求b、c的值； （2）画出抛物线的简图并写出它与y轴的交点C的坐标； （3）根据图象直接写出：点C关于直线x＝2对称点D的坐标　 　；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为　 　（用含m、n的式子表示）． 【典型例题十三 y=ax²+bx+c的最值】 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）二次函数的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023九年级下·江苏·专题练习）二次函数的最大值是（　　） A． B． C．1 D．2 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的最值是 ． 4．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）飞机着陆后滑行的距离米关于滑行的时间秒的函数解析式是，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是 秒． 5．（22-23九年级上·山东济南·期末）求函数的最值． 6．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 【典型例题十四 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·四川达州·二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ． 4．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    5．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标． 6．（22-23九年级上·江西宜春·期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小． 【典型例题十五 二次函数图象的平移】 1．（2024·广西百色·二模）将抛物线向左平移一个单位，得到的新抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏盐城·三模）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·二模）把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为 ． 4．（2024·广西·三模）把二次函数的图象向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 5．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）能否沿y轴方向适当地平移抛物线，使得到的新的抛物线经过点？若能，请求出平移后新的抛物线对应的函数表达式，并说明平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 6．（2023·河南许昌·二模）如图，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，且，已知点为抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线解析式及顶点坐标． (2)将抛物线沿着轴向左平移个单位长度得到一条新抛物线，若新抛物线与线段有唯一交点，求的取值范围． 【典型例题十六 二次函数综合】 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点坐标为（    ） A． B． C． D．或 2．（2023九年级上·全国·专题练习）若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 3．（2023·山东青岛·模拟预测）一次函数与二次函数交于两点和B，则B点坐标是 ． 4．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，平移后的抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ．    5．（2024·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【典型例题十七 y=ax²的图象和性质】 1．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）下列各点在二次函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【变式训练1 y=ax'+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是（    ） A．向右 B．向上 C．向左 D．向下 2．（23-24九年级上·河南焦作·期末）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）已知点在二次函数的图象上，那么 （填“”、“”、“”）． 4．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）二次函数与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向､对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看．二次函数的图象与二次函数的图象呢？ 6．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点．    (1)分别写出A、B、C三点坐标：A______，B______，C______； (2)在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像示意图； (3)任写出两条该函数图像具备的特征：①______；②______． 【变式训练2 y=a(x-h)2的图象和性质】 1．（23-24九年级上·广西玉林·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线 C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小 2．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知点，在抛物线，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级上·辽宁朝阳·阶段练习）抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 4．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）已知，当时，函数值y随x的增大而 ． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 6．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知函数y＝﹣（x+2）2﹣2 （1）指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是　 　，顶点坐标为　 　． （2）当x　 　时，y随x的增大而减小； （3）怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣2． 【变式训练3 y=a(x-h)2+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·江苏连云港·模拟预测）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C． D．不能确定 3．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知函数，当x 时，y随x的增大而增大． 4．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）函数的顶点坐标是 ． 5．（22-23九年级上·广西河池·期末）求二次函数的最值． 6．（22-23九年级上·广西梧州·期中）已知二次函数 (1)将二次函数化为一般式； (2)当时，求y的值． 【变式训练4 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上 2．（22-23九年级下·河北邢台·开学考试）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：    接力中，自己负责的出现错误的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丙 3．（23-24九年级上·云南昭通·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 4．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数的对称轴是直线 ． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）通过配方，确定抛物线的顶点坐标，并直接写出y随x的增大而怎样变化． 【变式训练5 画y=ax²+bx+c的图象】 1．（22-23九年级上·山东泰安·期末）如图，函数的图象大致是下图的 A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 4．（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）请写出一个同时满足下列条件的抛物线的表达式 ． ①升口向下；②当时，随的增大而增大 5．（22-23九年级上·福建·阶段练习）已知二次函数图象的顶点为P（－1，3），且与y轴交于点A（0，2），求该函数的解析式并画出该函数的图象． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知：二次函数 （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图． 【变式训练6 y=ax²+bx+c的图象与性质】 1．（23-24九年级上·广西柳州·期中）若抛物线经过点，则b的值是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）点，为抛物线上两点，且，则c的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽芜湖·一模）二次函数的对称轴为直线 ． 4．（2023·贵州贵阳·二模）二次函数的图象经过点，则的值是 ． 5．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 6．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数． (1)下表是y与x的部分对应值，请补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 3 … (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象． 【变式训练7 二次函数图象与各项系数符号】 1．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知点，在二次函数的图象上，且满足，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（　　）    A．1 B．0 C． D． 3．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）二次函数的图象的开口方向为 ． 4．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）写出一个图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式 . 5．（22-23九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 6．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）抛物线经过点． (1)求的值； (2)求把此抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线的解析式． 【变式训练8 一次函数、二次函数图象综合判断】 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·河南驻马店·模拟预测）观察函数与的图像，写出一条它们的共同特征： ． 4．（2024·四川德阳·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 5．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号； （2）若y1＜0，指出x的取值范围； （3）若y1＞y2，指出x的取值范围． 【变式训练9 反比例函数、二次函数图象综合判断】 1．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与图象的交点个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（2024·江苏淮安·一模）如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 3．（2023·广东梅州·一模）写出一个函数使其图像与反比例函数的图像有3个不同的交点 ． 4．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知反比例函数的图象与直线都过点． 求，的值； 若抛物线的顶点在反比例函数的图象上，求这条抛物线的顶点坐标． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“属派生点”为，即． 若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标________； 试说明点的“属派生点”一定满足（其中） 【变式训练10 根据二次函数的图象判断式子符号】 1．（2023·上海虹口·一模）如果抛物线开口向下，那么的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法： ①abc＜0； ②a+b＝0； ③4a+2b+c＜0； ④若（﹣2，y1），（﹣3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2， 其中说法正确的是（　　） A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①② 3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，且，，则一定有 ． 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的不等式的解集为；； ④（t为任意实数）．其中正确的是 ．（只填写序号） 5．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 6．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知：函数． （1）当时， ①求随增大而增大时，的取值范围； ②当时，求的取值范围； ③当时，设的最大值与最小值之差为，当时，求的值． （2）若，连结.当此函数的图象与线段只有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【变式训练11 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）二次函数的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，则的值是（    ） A． B．3 C．0 D．9 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的部分对应值列表如表： x … 0 3 5 … y … 7 ﹣8 7 … 则抛物线的对称轴为 ． 5．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息． 6．（2023·江苏南京·一模）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)点是该函数图象上两点，若求证：． 【变式训练12 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数均过点、、，则，，三者之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知二次函数的x、y部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 则当时，y的值为（   ） A．5 B．3 C． D．无法确定 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）设是抛物线上的三点，则、、的大小关系为 （用＜号连接）． 4．（22-23九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x … 0 1 2 3 … y … ﹣3 ﹣1 ﹣3 ﹣9 … 则代数式的值等于 ． 5．（23-24九年级上·广东珠海·期中）抛物线过点与，且抛物线最小值是，通过计算，判断点是否在此函数图象上？ 6．（23-24九年级上·陕西安康·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 【变式训练13 y=ax²+bx+c的最值】 1．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）已知二次函数，当，下列说法正确的是（　　） A．有最小值11 B．有最小值3 C．有最小值2 D．有最大值3 2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知代数式，下列说法正确的有（   ） ①无论取何值，的值总是正数；②的值可正可负也可以是0；③当时，取得最大值，最大值为；④当时，取得最小值，最小值为． A．② B．①③ C．②④ D．①④ 3．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）二次函数的最小值是 ． 4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知a、b、m满足，，则的最大值为 ． 5．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点． (1)若，求该拋物线的对称轴； (2)已知点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 6．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 m 12 … (1)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该图象的一条性质； (2)的值为______； (3)求这个二次函数的解析式. 【变式训练14 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 3．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    4．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 5．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 6．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 【变式训练15 二次函数图象的平移】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向右平移1个单位再向下平移2个单位后，得到的解析式为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（    ） A．，3 B．， C．2， D．2，3 3．（2024·广东惠州·二模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到的新抛物线的表达式为 ． 4．（2024·上海长宁·三模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 5．（2023九年级·陕西·专题练习）如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标． 6．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线与直线分别相交于、两点，其中点在轴上，且此抛物线与轴的一个交点为． （1）求抛物线的解析式 （2）在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小，请求出这个周长的最小值． 【变式训练16 二次函数综合】 1．（23-24九年级上·河南周口·期末），分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 2．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（22-23九年级上·江西赣州·阶段练习）二次函数y=x2+4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，则三角形ABC的面积为 ． 4．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作正方形．则抛物线的顶点坐标是 ，正方形周长的最小值是 ． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）由抛物线向下平移个单位得到的图象过点，求的值． 6．（2024·河南周口·二模）定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”． (1)求m，n的值． (2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围． 【变式训练17 y=ax²的图象和性质】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·一模）二次函数的图象开口向 ． 4．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）二次函数的图象对称轴右侧上有两点，，若，则 ．（填“”“”或“”） 5．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，抛物线经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点坐标． (2)点是抛物线上一点，且当时，的最大值为3，求的面积． 6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标； (3)若抛物线上存在一点D，使得．求出点D的坐标 1．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·一模）如图，二次函数的图象与轴的交点纵坐标为1，对称轴为直线，有以下结论：①当时，随的增大而减小；②若点在二次函数图象上，则；③若将该二次函数的图象向右平移个单位，则顶点落在轴上．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2024·山东济宁·二模）已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A． B． C． D． 5．（2023·安徽·模拟预测）如图，直线与抛物线交于两点，为上的一点，过点作轴的平行线交直线于点．设点的横坐标为的长为，则关于的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   6．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知函数图象上两点，，其中，则 ． 7．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知二次函数，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ． 8．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    9．（2024·辽宁大连·三模）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为、，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为 ． 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，以为边的正方形的顶点在抛物线上，则点的坐标是 ．    11．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是一个二次函数的图象，顶点是原点，且过点．求出二次函数的解析式．    13．（2023九年级下·全国·专题练习）用配方法求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 14．（2023·广东深圳·模拟预测）已知，抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．    (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式． 15．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图象和性质（5大知识点+17大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 y=ax'+k的图象和性质 题型二 y=a(x-h)2的图象和性质 题型三 y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型四 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型五 画y=ax²+bx+c的图象 题型六 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型七 二次函数图象与各项系数符号 题型八 一次函数、二次函数图象综合判断 题型九 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型十 根据二次函数的图象判断式子符号 题型十一 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十二 根据二次函数的对称性求函数值 题型十三 y=ax²+bx+c的最值 题型十四 利用二次函数对称性求最短路径 题型十五 二次函数图象的平移 题型十六 二次函数综合 题型十七 y=ax²的图象和性质 知识点01 二次函数的解析式 （1）三类解析式 一般式：（a、b、c是常数，）； 顶点式：（），二次函数的顶点坐标是（h，k）； 交点式：（），其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． （2）待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 知识点02 二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 （0，0） （0，k） （h，0） （h，k） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或）； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或）. 增 减 性 a>0 x<0（h或）时，y随x的增大而减小；x>0（h或）时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0（h或）时，y随x的增大而增大；x>0（h或）时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 知识点03 二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. （2）、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边； 当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） （3）c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 知识点04 二次函数图象的变换 （1）图象的平移：任意抛物线y＝a（x－h）2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： （2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 知识点05 二次函数与不等式 （1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； （2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【典型例题一 y=ax'+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）二次函数与y轴交点的纵坐标为3，则k的值为（  ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与轴的交点．将点代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵与y轴交点的纵坐标为3， ∴在函数图象上，代入解析式的：， ∴； 故选D． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像的形状与二次项系数的关系，熟悉二次项系数对图像形状的影响是解题关键．根据题意可知，两个二次函数的图像形状相同，那么它们的二次项系数相等，由此即可解题． 【详解】解：图像的形状与二次函数相同， 二次项系数为， 故选：A． 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）二次函数的图像开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；根据二次函数二次项系数的符号即可判断图像的开口方向． 【详解】解：∵二次项系数， ∴函数图像的开口向下； 故答案为：下． 4．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向相同． 【答案】如与，与（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】根据二次函数对称轴和开口方向的决定因素写出即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为y轴， ∴符合的形式， ∵开口方向相同， ∴的符号相同， ∴如与，与（答案不唯一，符合题意即可）． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，掌握二次函数系数与图象之间的关系是解题关键． 6．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴当时，． 【典型例题二 y=a(x-h)2的图象和性质】 1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为． 故选：D． 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，直接可以写出对称轴即可； 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：抛物线解析式为： 该抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意得出对称轴，开口向上的抛物线，离对称轴越远的点，其纵坐标越大，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线， ∵， 且抛物线开口向上， ∴ 故答案为： 5．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线，当时，函数有最大值，则当为何值时，随的增大而减小？ 【答案】当时，随的增大而减小 【分析】根据抛物线当时，函数有最大值，可得，，进而，即可求解． 【详解】解：∵当时，函数有最大值， ∴，， ∴当时，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是，抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 【详解】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向下 直线 向下 直线 【典型例题三y=a(x-h)2+k的图象和性质】 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 2．（2024·广西河池·三模）二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴函数有最大值7． 故选A． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 4．（2024·湖南长沙·三模）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，根据所给抛物线的解析式即可得，掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线的顶点坐标为，求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 根据抛物线的顶点坐标为，即可得到，令，求出y的值即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【答案】①向上；②；③；④3， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． 【典型例题四 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）把化为顶点式，得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式形式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键．直接用配方法将二次函数解析式化成顶点式即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 2．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）将变形为的形式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，利用配方法把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 3．（22-23九年级上·山东威海·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了配方法求二次函数的顶点坐标，直接利用配方法将原式变形，进而求出顶点坐标． 【详解】 则二次函数图像的顶点坐标为：． 故答案为：． 4．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数化为的形式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键．直接利用配方法表示出顶点式即可． 【详解】解： 故答案为∶． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）用配方法求二次函数的顶点坐标和对称轴． 【答案】二次函数的顶点坐标为，对称轴是直线 【分析】本题考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：配方，得：， 所以，二次函数的顶点坐标为，对称轴是直线． 6．（2023·湖北武汉·模拟预测）我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组织设计制作的火箭的升空高度与飞行时间的关系是，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时火箭的高度是多少？ 【答案】火箭点火后13秒降落伞将打开，这时火箭的高度是170米 【分析】直接利用配方法将二次函数写成顶点式，进而求出即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， 故火箭点火后13秒降落伞将打开，这时火箭的高度是170米． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确配方求出顶点式是解题关键． 【典型例题五 画y=ax²+bx+c的图象】 1．（22-23九年级上·山西阳泉·期中）我们学习了一次函数和二次函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的相关性质．这种研究方法主要体现的数学思想是（    ） A．演绎 B．公理化 C．抽象 D．数形结合 【答案】D 【分析】根据几种数学思想的定义选出正确选项． 【详解】解：研究一次函数的图象和性质利用的数形结合的思想． 故选：D． 【点睛】本题考查数学思想，解题的关键是掌握几种数学思想的定义． 2．（19-20九年级上·辽宁大连·期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据函数的图象确定顶点的位置即可． 【详解】观察图象知：对称轴在y轴的右侧，开口向上，与坐标轴有2个交点，顶点在第四象限， 故选D． 【点睛】考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，直接观察图像，比较简单． 3．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由抛物线的开口向下，可得：＜，解不等式可得答案． 【详解】解： 抛物线的开口向下， ＜， ＜ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是抛物线的开口方向，掌握＞，抛物线的开口向上，＜，抛物线的开口向下，是解题的关键． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为 ． 【答案】y＝3x2－2或y＝－3x2－2 【分析】根据二次函数的图象特点即可分类求解． 【详解】二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同，说明它们的二次项系数的绝对值相等，故本题有两种可能，即y＝3x2－2或y＝－3x2－2． 故答案为y＝3x2－2或y＝－3x2－2． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象，解题的关键是熟知二次函数形状相同，二次项系数的绝对值相等． 5．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    【答案】、、，图象见解析． 【分析】将、、分别代入二次函数解析式中，求出对应的y值，再利用描点、连线画出函数图象即可． 【详解】解：填表如下： x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 －3 －4 －3 0 … 描点、连线，如图所示：    【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象，熟练掌握利用描点法画二次函数的图象是解题关键． 6．（22-23九年级上·河北保定·期中）二次函数中的，满足如下表. x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 m -3 0 … (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为_______． (2)求该抛物线的解析式，并求时的值． (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，结合图象，请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)-3，直线 (2)抛物线的解析式为；当时， (3)画图象见解析，或． 【分析】（1）当时，，观察表格此时，∴， ∵和时，，∴根据对称性可知对称轴为直线； （2）代入两组数据，求出a、b的值即可，再代入，即可求出的值； （3）根据表中数据，在坐标系中描点、连线即可画出图象，再根据图象就能判断取值． 【详解】（1）（1）-3，直线 （2）设抛物线的解析式为： 分别代入，；， 得： 解得： ∴抛物线的解析式为 当时，，解得． （3） 根据图象可判断出当时，或． 【点睛】本题考查二次函数的性质和图象、二次函数与一元二次方程的关系、作函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【典型例题六 y=ax²+bx+c的图象与性质】 1．（2024·安徽芜湖·一模）下列抛物线开口朝上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由表达式判断抛物线开口方向：当时，抛物线开口方向向上；当时，抛物线开口方向向下；逐项验证即可得到答案，熟记的正负与抛物线开口方向的关系是解决问题的关键． 【详解】解：A、中，抛物线开口方向向上，符合题意； B、中，抛物线开口方向向下，不符合题意； C、是一次函数，不是抛物线，不符合题意； D、中，抛物线开口方向向下，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题关键．先判定二次函数的开口方向和对称轴，利用开口方向即可得出二次函数的图象的增减性，即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴右侧随着的增大而增大， ∴的取值范围是， 故选：B． 3．（2024·广西·一模）若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是 （答案不唯一）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，即可． 【详解】解：开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数（其中a、b、c是常数且）其对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴， ∴， 故答案为：3． 5．（23-24九年级上·吉林白山·期末）开口向下的抛物线的对称轴经过点，则 . 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．由二次函数的对称轴公式 ，结合题意可得出m的值；再根据该函数开口向下，即，从而求得符合题意的结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴经过点， ∴， 解得：； ∵抛物线的开口向下， ∴， ∵当时，， ∴不合题意，应舍去． 故答案为： ． 6．（2023·河南南阳·三模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，与x轴的另一个交点为B．    (1)求抛物线的表达式； (2)点M是抛物线上的一点，且到y轴的距离小于3，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)将抛物线在点B右侧的图象沿x轴向下翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值 【答案】(1) (2) (3)0或 【分析】（1）根据对称轴和点A利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）根据题意得，求出相对应的纵坐标，但注意抛物线在顶点时取得最小值； （3）如图，当直线与新图象有2个公共点时，即时交于A、B两点，或时交于C、D两点． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线， ∴对称轴， ∴． 将点代入抛物线，得， ∴， ∴抛物线的表达式是． （2）由题意得， ∴当时，， 当时，． ∵且抛物线的对称轴为直线， ∴当时，抛物线取得最小值，最小值为． ∴点M的纵坐标的取值范围是． （3）n的值为0或，    如图所示，将抛物线在点B右侧的图象沿x轴向下翻折， 当直线时，与新图象有2个公共点，即A、B两点； 当直线时，与新图象有2个公共点，即C、D两点； 综上所述，n的值为0或． 【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法求解析式，直线与抛物线交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【典型例题七 二次函数图象与各项系数符号】 1．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）下列函数：①；②；③；  ④；⑤，其中函数图象形状、开口方向相同的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．③④ D．②⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据函数图象形状相同，则二次函数的二次项系数的绝对值相同、开口方向相同则二次项系数的符号相同，则函数图象形状、开口方向相同的二次函数的二次项系数相同，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，①②③中的二次函数二次项系数相同， ∴①②③中的二次函数的函数图象形状、开口方向相同， 故选A． 2．（2023·四川广安·一模）如图，直线l为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象与系数符号的关系是解题关键．由二次函数对称轴位置可知，、异号，即可得到答案． 【详解】解：由图像可知，二次函数对称轴l在轴右侧， 、异号， ， 故选：C． 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）写出一个开口向上的二次函数表达式 ： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象，熟记二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解答本题的关键，“对于二次函数，当时，其图象开口向上，当时，其图象开口向下”，本题是一道开放性题，所以只要写一个二次项系数大于零的二次函数即可． 【详解】因为开口向上的二次函数的二次项系数是正数，所以满足题意的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（22-23九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数的图象如图所示，则a 0，k 0．（填）    【答案】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行作答即可． 【详解】解：由图象可知，图象开口向下，交轴的正半轴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)试比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)对称轴为：； (2)． 【分析】（1）本题考查二次函数的图象与性质，将代入得到，根据抛物线的对称轴为，即可解题． （2）本题考查二次函数的图象与性质，将、代入抛物线得到，，利用作差法，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：把代入得：，整理得，　 抛物线的对称轴为． （2）解：把、代入抛物线得： ，， ， ． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在二次函数中． (1)若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． (2)若点在抛物线上，令，求证：． (3)如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； （2）证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． （3），都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【典型例题八 一次函数、二次函数图象综合判断】 1．（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键． 直接利用二次函数图形得出a、b的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B错误； C、一次函数图象，得，，故C正确； D、一次函数图象，得，，故D错误； 故选：C． 2．（2024·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知，然后问题可求解． 【详解】解：由图象可知：， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限； 故选C． 3．（22-23九年级上·北京门头沟·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，，，如果抛物线与线段AB有公共点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：把代入得； 把代入得， 所以a的取值范围为． 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 4．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】抛物线与直线交于两点，，从图像上可知，在到之间直线在抛物线上方，由此即可求解． 【详解】解：变形得，，即抛物线的图像在直线的图像的下方， ∵抛物线与直线交于两点，， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图形与一次函数图像的特点，理解图像表示的意思，找出交点坐标，自变量的取值范围，从图像上看出大小关系是解题的关键． 5．（22-23九年级上·安徽宿州·期末）已知：在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象交于点. （1）求，的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 【答案】（1），;（2）对称轴为直线，顶点坐标. 【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，得出A点坐标，再代入二次函数解析式可得c； （2）将（1）中得出的二次函数的解析式化为顶点式可求得其顶点坐标和对称轴． 【详解】解：（1）∵点A在一次函数图象上， ∴m=-1-4=-5， ∵点A在二次函数图象上， ∴-5=-1-2+c，解得c=-2； （2）由（1）可知二次函数的解析式为：， ∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,-1)． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的性质以及二次函数的性质，熟记各知识点是解此题的关键． 6．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过A(6，0)，顶点M在直线y=2x-7上，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性求出顶点的横坐标，再代入直线y=2x-7，再将A及顶点坐标代入解析式，据此即可求出抛物线的解析式． 【详解】∵， ∴抛物线经过(0，0)， ∵抛物线经过(6，0)， ∴抛物线对称轴为直线x=-=3， ∴b=-6a，， 将x=3代入y=2x-7中得y=6-7=-1， ∴抛物线顶点坐标为(3，-1)， 将(3，-1)代入得， 解得a=， ∴． 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，根据抛物线的对称性求出顶点的坐标是解题的关键． 【典型例题九 反比例函数、二次函数图象综合判断】 1．（2024九年级下·安徽·专题练习）函数与为常数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中的函数解析式和分类讨论的方法，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象开口向下，顶点在轴的正半轴上，故选项B符合题意，选项、D不符合题意． 当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象开口向上，顶点在轴的负半轴上，选项A 不符合题意． 故选：B． 2．（2023·广西桂林·一模）反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，熟练掌握两函数图象的特征并确定出k的取值是解题的关键．根据反比例函数图象判断出，然后确定出抛物线的对称轴和开口方向以及与y轴的交点，再选择答案即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二四象限， ∴， ∴二次函数图象开口向上， 二次函数图象的对称轴为直线， 时，， 所以，二次函数图象与y轴的负半轴相交， 纵观各选项，只有B选项图形符合． 故选：B． 3．（22-23九年级上·天津·期末）若根式有意义，则双曲线与抛物线的交点在第 象限． 【答案】二. 【详解】试题分析：根据题意得，2﹣2k＞0，∴2k﹣2＜0. ∴反比例函数的图象位于第二、四象限. ∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为（0，2﹣2k）在y轴正半轴， ∴抛物线的图象不经过第四象限. ∴双曲线与抛物线的交点在第二象限. 考点：二次函数与反比例函数交点问题. 4．（2023·福建漳州·一模）对于任意实数t，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P，若反比例函数经过点P，则k＝ ． 【答案】3 【分析】把抛物线解析式整理成关于t的形式，然后令t的系数为0求解即可． 【详解】解：∵y＝x2+（2﹣t）x+t＝x2+（1﹣x）t+2x， ∴当1﹣x＝0，即x＝1时，y的值与t无关，y＝1+2＝3， 所以，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P（1，3）， ∵反比例函数经过点P， ∴k＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，此类题目，关键在于令t的系数为0，整理成关于t的形式是解题的关键． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）对于方程m2+2（1+）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数． 【答案】m2+2（1+）=0的解在﹣2与﹣1之间． 【分析】根据等式的性质，可化简方程，根据函数与方程的关系，可得答案． 【详解】解：由等式的性质，得 m2+2=﹣． 在同一平面直角坐标系内画出n=m2+2，n=﹣， ， 由图象，得 n=m2+2与n=﹣的交点坐标在﹣2与﹣1之间， 即方程m2+2（1+）=0的解在﹣2与﹣1之间． 【点评】本题考查了函数图象，利用等式的性质把方程转化成m2+2=﹣，利用函数与方程的关系是解题关键． 6．（2019九年级·全国·专题练习）如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点. （1）若点为的中点，且的面积. ①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______； ②求的长和点的坐标. （2）在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由. 【答案】（1）①，，②， ；（2），；；. 【分析】（1）先设OA=a（a>0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6， 根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=，即可求出点C的坐标； （2）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可． 【详解】（1）①，. ②设，如图3，过点作轴于，过点作轴于. ∵，∴，，∴. ∵，∴. ∵为的中点，∴. ∵，， ∴，. ∴. ∴. ∵点、都在的图象上，∴. ∴，∴，即.∴，. ∵，∴. ∴. （2）存在三种情况：如图4. 当时，在的两侧各有一点， 分别为：，； 当时，； 当时，. 提示：当时，易证点为的中点，则，设交轴于点，由，得，；当时，设，由构造方程求；当时，同理由构造方程求. 【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握计算法则是解题关键. 【典型例题十 根据二次函数的图象判断式子符号】 1．（22-23九年级上·福建南平·期中）已知抛物线的图象如图所示，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象与系数关系，逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴是， ∴，故C正确； ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴， ∴，故A正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故C正确； 由图象可知，当x=1时，，故D不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线开口方向、与x轴、y轴交点坐标、对称轴等与系数的关系． 2．（22-23九年级·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象可知，，再根据对称轴的位置即可判断a和b的大小，从而得出答案． 【详解】解：由函数图象已知，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． 3．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的图象如图所示，则a＋b＋c 0．（填“＜”“＝”“＞”） 【答案】＜ 【分析】根据二次函数的图像可知，当x=1时，y＜0，即可进行判断． 【详解】解：根据二次函数的图像可知，当x=1时，y＜0， ∴当x=1时，则； 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解答此题的关键是运用数形结合的思想． 4．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图为二次函数的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为．有以下3种说法： ① ② ③当时，y随着x的增大而增大这3种说法中，正确的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】①由抛物线的开口方向、与y轴的交点判定a、c的符号；②将x＝1代入函数关系式，结合图象判定y的符号；③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断． 【详解】解：①∵该抛物线的开口方向向上， ∴a＞0； 又∵该抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴ac＜0； 故①正确； ②∵根据抛物线的图象知，该抛物线的对称轴是直线x＝＝1， ∴当x＝1时，y＜0， 即a+b+c＜0； 故②错误； ③由②知，该抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴当x＞1时，y随着x的增大而增大； 故③正确； 故答案为：①③． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是从图象中获取正确信息． 5．（22-23九年级下·陕西·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，其关于轴对称的抛物线为：，且经过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，抛物线与轴的交点记为点和点（在的右侧），与轴交于点，如果满足与相似，请求出平移后抛物线的表达式． 【答案】（1）的解析式为；（2）平移后抛物线的表达式为或. 【分析】（1）根据抛物线关于轴对称的原则可以得到均互为相反数，所以可以设：，同时经过点和点，那么也经过点和点，将这两点代入即可求解； （2）首先根据函数图像的平移原则，设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线 ，继而写出的解析式，然后分别求出点和点的坐标，再结合与相似，可得△DOQ为等腰直角三角形，利用坐标建立方程，求解即可. 【详解】解：（1）抛物线和抛物线关于轴对称，且：， ： ， 经过点和点， 经过点和点， 把点和点代入：可得： ， 解得：， ：； （2）设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线， ：， 的解析式可以表示为： ， 抛物线与轴的交点为点和点，且在的右侧， ， 抛物线与轴交于点， ， ∵A（-3，0），C（0，3）， ∴△AOC为等腰直角三角形， ∴当△AOC和△DOQ相似时， △DOQ为等腰直角三角形， ∴OQ=OD， 当点Q在y轴正半轴上时， OQ=OD=OA=OC， ∴， 解得：a=0（舍）或2， 此时：； 当点Q在y轴负半轴时， OD=OQ， 则， 解得：a=-1（舍）或4， 此时：； 综上：平移后抛物线W3的表达式为：或. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象变化，以及二次函数和相似三角形的存在性问题，熟练掌握二次函数的图象平移和对称变化规律，同时对相似三角形的存在性进行正确的分类讨论是求解本题的关键. 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值； （2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出； （3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可． 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键． 【典型例题十一 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）若 是抛物线 上的两个点，则抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是； 故选A． 2．（23-24九年级上·广西柳州·期中）二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如： x … 0 1 … y … ﹣6 … 则该函数图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴，找到对称点即可求解． 【详解】解：有表格数据可知，点是抛物线上对称的两点， ∴该函数图象的对称轴是 故选：B． 3．（23-24九年级上·广东广州·期末）二次函数的图象上有两点，，则此抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，掌握抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称是解题的关键．根据抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴该抛物线的对称轴是直线 故答案为： 4．（23-24九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的的部分对应值如下表： … … … … 则该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，由于时的函数值相等，根据二次函数的对称性列式计算即可得解． 【详解】二次函数在时，函数值均为． 对称轴为直线： 即： 故答案为：． 5．（22-23九年级上·福建漳州·期末）我们知道： （1）观察以上结果，可以发现： ； ； （2）若点P（m,n)在抛物线上，且n>0，试化简： 【答案】(1)a,-a;(2)-m+1 【分析】(1)根据题目和二次根式的性质可直接得出结果； （2）由点P（m,n)在抛物线上可得，由n>0得据此推出 m-1即可求解. 【详解】（1）当a0时，，当a时，； （2）∵点P（m,n)在抛物线上， ∴ ∵n>0， ∴ ∴ ,∴ ∴m-1 ∴ . 故答案为：(1)a,-a;(2)-m+1. 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，抛物线上点的坐标特点. 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③对于任意实数m，有；④对于实数，若为抛物线上两点，则；其中正确的是 （填写序号）．    【答案】①③④ 【分析】由函数图象可以判断，由对称轴为直线，可以得出，从而判断①；由函数图象过点以及得出，再根据可判断②；根据抛物线对称轴为直线以及a，b，c的关系可得函数的最小值为，由函数的性质可判断③；根据n，到1的距离，由函数的性质可判断④． 【详解】解：由图象可知，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 故①正确； ∵二次函数的图象过点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②错误； 由②知，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∴对于任意实数m，有， 即， 故③正确； 当时， ∵对称轴为直线， ∴，， ∴． 故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．利用数形结合思想解答是答题关键． 【典型例题十二 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标是，它与轴的另一个交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，先求出抛物线对称轴为． 直线，再根据抛物线的对称轴进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 故选B． 2．（23-24九年级上·山东威海·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（  ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，根据对称性求出抛物线经过点，则当时，，熟知抛物线上函数值相同的两点关于抛物线对称轴对称是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线经过点， ∴当时，， 故选A． 3．（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称的性质求解． 【详解】解：∵的对称轴为直线， 关于的对称点为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 4．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 2 1 2 5 10 则的值为 ． 【答案】5 【分析】通过观察表格中对称的点可得函数对称轴以及顶点坐标，进而求解． 【详解】∵函数图像经过，， ∴抛物线对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图像的性质． 5．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【答案】(1) (2)，顶点 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由题意知是抛物线上关于对称轴对称的两点，据此即可求解； （2）由题意可得点的坐标，将其代入即可求出抛物线的解析式． 【详解】（1）解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为： （2）解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴              解得 ∴.      故顶点坐标为 6．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上． （1）求b、c的值； （2）画出抛物线的简图并写出它与y轴的交点C的坐标； （3）根据图象直接写出：点C关于直线x＝2对称点D的坐标　 　；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为　 　（用含m、n的式子表示）． 【答案】（1）b＝4，c＝﹣4；（2）见解析，(0，﹣4)；（3）(4，﹣4)，(4﹣m，n) 【分析】（1）根据图象写出抛物线的顶点式，化成一般式即可求得b、c； （2）利用描点法画出图象即可，根据图象得到C（0，﹣4）； （3）根据图象即可求得． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上， ∴顶点为（2，0）， ∴抛物线为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4， ∴b＝4，c＝﹣4； （2）画出抛物线的简图如图： 点C的坐标为（0，﹣4）； （3）∵C（0，﹣4）， ∴点C关于直线x＝2对称点D的坐标为（4，﹣4）； 若E（m，n）为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为（4﹣m，n）， 故答案为（4，﹣4），（4﹣m，n）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及其对称性，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键. 【典型例题十三 y=ax²+bx+c的最值】 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）二次函数的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，是基础题，熟记二次函数的最值问题是解题的关键．根据二次函数的图像和性质解答． 【详解】解：， 二次函数有最小值3， 故选：B． 2．（2023九年级下·江苏·专题练习）二次函数的最大值是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质可以直接判断． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点， ∴当时，y有最大值是． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，了解最值定义是解题关键． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的最值是 ． 【答案】最小值3 【分析】本题考查了求二次函数的最值；根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵二次项系数， ∴二次函数有最小值是3； 故答案为：最小值3． 4．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）飞机着陆后滑行的距离米关于滑行的时间秒的函数解析式是，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是 秒． 【答案】 【分析】飞机停下时，即滑行距离最远，根据二次函数顶点横坐标即可求出最大时对应的值； 【详解】解：由题意得，当飞机停下时，即滑行距离最远， 当时，最大， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数顶点坐标的应用，熟练掌握二次函数性质是解决本题的关键． 5．（22-23九年级上·山东济南·期末）求函数的最值． 【答案】 【分析】直接利用二次函数的最值公式，即可即可得到答案． 【详解】解：二次函数， ，，， ， 该二次函数开口向上， 函数有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的最值公式是解题关键． 6．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数与一次函数的解析式设出点C，D的坐标,然后然后用点C的纵坐标减去点D纵坐标表示出，再根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：设， ， 当时，有最大值，最大值为2． 【典型例题十四 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 3．（2023·四川达州·二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 4．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 5．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（，） 【分析】（1）利用二次函数图像与x轴交点时，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B两点坐标，图像与y轴相交，x=0，带入可以求出y值，即可求出C点坐标； （2）有题可知本问考查的是“两定一动”，故需要利用“将军饮马”的方法进行解题，B点关于对称轴的对称点为A点，连接AC，AC与对称轴的交点即为P点，求出AC所在直线解析式，之后求出与对称轴交点即为P点坐标． 【详解】解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1， ∴A（-2，0），B（1，0）， 由 x＝0，得 y＝-2， ∴C（0，-2）． （2）连接AC与对称轴的交点即为点P． 设直线 AC 为 y＝kx+b， 则﹣2k+b＝0，b＝﹣2： 得 k＝﹣1， y＝﹣x﹣2． 对称轴为 x＝， 当 x＝时， y＝-2＝， ∴P（，）． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的基本性质，以及“两定一动”的动点问题，熟练掌握二次函数中的综合运用是解题的关键． 6．（22-23九年级上·江西宜春·期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)当点D的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）与对称轴的交点即为点D，此时的周长最小． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将A、B、C三点代入， 得， 解得：，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线的对称轴为， 如图，连接与对称轴交于点D， ∵，， ∴B、C关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵为定值， 此时的周长取得最小值，点D即为所求； 设直线解析式为， 将A、C两点代入得， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ∴当点D的坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，最短路径问题，掌握两直线交点求法是求出点D的关键． 【典型例题十五 二次函数图象的平移】 1．（2024·广西百色·二模）将抛物线向左平移一个单位，得到的新抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：上加下减，左加右减，即可得到答案，熟练掌握二次函数的图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：D． 2．（2024·江苏盐城·三模）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为， 故选：A． 3．（2024·江苏徐州·二模）把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数平移的规律：上加下减，左加右减．根据函数平移的规律上加下减，左加右减直接代入即可得到答案； 【详解】解：把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为即 故答案为：． 4．（2024·广西·三模）把二次函数的图象向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：把二次函数的图象向下平移2个单位长度， 平移后抛物线的解析式为． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）能否沿y轴方向适当地平移抛物线，使得到的新的抛物线经过点？若能，请求出平移后新的抛物线对应的函数表达式，并说明平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 【答案】能；，沿y轴方向向下平移个单位 【分析】本题考查了二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式；抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有，将代入即可求解；掌握平移规律和解法是解题的关键． 【详解】解：能；理由如下： 设抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有 ， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 即m沿y轴方向向下平移个单位； 故平移后新的抛物线对应的函数表达式为，沿y轴方向向下平移个单位． 6．（2023·河南许昌·二模）如图，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，且，已知点为抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线解析式及顶点坐标． (2)将抛物线沿着轴向左平移个单位长度得到一条新抛物线，若新抛物线与线段有唯一交点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质以及用待定系数法求解析式中的系数，抛物线的平移问题： （1）先求出点C的坐标为，可得到点B的坐标，再把将点B的坐标代入解析式即可解题． （2）抛物线平移的规律可得将抛物线向左平移个单位长度，等同于将线段向右平移个单位长度，再由线段与抛物线有唯一交点，可得的移动区间为平行四边形（不含，包含），即可． 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得： ， 解得：， 抛物线解析式为， 将抛物线解析式整理为：， 顶点的坐标为； （2）解：当时，， 解得：， ∴点， 将抛物线向左平移个单位长度，等同于将线段向右平移个单位长度，如下图， ∵线段与抛物线有唯一交点， ∴的移动区间为平行四边形（不含，包含）， ∵， ∴， ∴线段向右平移4个单位长度， 即的取值范围为：． 【典型例题十六 二次函数综合】 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，联立解析式进行求解即可． 【详解】解：联立，得：或； ∴在第一象限的交点坐标为； 故选A． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 【答案】A 【分析】利用二次函数的性质，在顶点处取最值解题即可． 【详解】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+3，a＝﹣1＜0， ∴当x＝2时，y有最大值， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用—面积问题．关键是掌握二次函数顶点式的意义． 3．（2023·山东青岛·模拟预测）一次函数与二次函数交于两点和B，则B点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，先把点代入两个解析式，求出的值，再联立解析式求出B点坐标即可． 【详解】解：把点代入两个解析式，得：， ∴， ∴两个函数解析式为：， 联立，得：或； ∴B点坐标是； 故答案为：． 4．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，平移后的抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ．    【答案】4 【分析】确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，， 平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积， ． 故答案为：4．    【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键． 5．（2024·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)点N的坐标为或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与相似三角形综合，掌握求二次函数解析式和相似三角形的性质与判定是解题关键． （1）将点，，代入，用待定系数法求二次函数解析式； （2）连接，可得顶点P的坐标为，设，求出，进而得出，再分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，连接，顶点P的坐标为． 设， 当时，，解得，， ． ，，， ． 当时，， ，解得． 点N的坐标为． 当时，， ，解得， 点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【典型例题十七 y=ax²的图象和性质】 1．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）下列各点在二次函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数自变量与函数值的计算，掌握二次函数自变量与函数值的对应关系是解题的关键． 根据题意，把点坐标代入二次函数计算，即可求解． 【详解】解：A、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； B、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； C、当时，故在二次函数图象上，符合题意； D、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据性质即可作答． 【详解】关于轴的对称点为． 中二次项系数 当时，值随值的增大而增大 和的横坐标 故选：C． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据二次函数解析式可得二次函数开口向下，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，由此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故答案为：． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【答案】 抛物线 轴 向下 【分析】本题考查二次函数的性质．熟记知识点是关键． 【详解】图像为抛物线；对称轴为轴；顶点坐标为；，开口向下； 故答案为：抛物线；轴；；向下． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得、的坐标是解题的关键．由抛物线的解析式求得的坐标，然后利用抛物线的对称性求得的坐标，即可求得，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：点在抛物线上， ， ， 过点作轴，交抛物线于另一点， 由抛物线的对称性可知，当时，， ， ， 的面积． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 【变式训练1 y=ax'+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是（    ） A．向右 B．向上 C．向左 D．向下 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握“，开口向上，，开口向下，”即可求解． 【详解】解：中二次项系数为，， 抛物线开口向上． 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南焦作·期末）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数（a，h，k为常数，a≠0） 的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(0，k)，对称轴是y轴．直接根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：B． 3．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）已知点在二次函数的图象上，那么 （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， 点在二次函数的图象上，， ． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题抛物线的性质，能判断出抛物线开口向下是解题的关键．由已知条件得抛物线开口向下，得到，即可求出a的取值范围． 【详解】解：抛物线（a为常数）恒过点，且经过了平面直角系的四个象限， 抛物线开口向下， ， 解得：， 故答案：． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）二次函数与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向､对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看．二次函数的图象与二次函数的图象呢？ 【答案】二次函数的图象与二次函数的图象都是拋物线．并且形状相同，只是位置不同；将函数的图象向下平移3个单位长度，就得到函数的图象．二次函数的图象是轴对称图形，它的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐称为．二次函数的图象与二次函数的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同；将二次函数的图象向上平移5个单位长度．就得到函数的图象． 【分析】由于二次函数与二次函数的二次项系数相同，所以将的图象向下平移3个单位可以得到的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，由二次项系数可知开口方向，再根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴． 【详解】二次函数的图象与二次函数的图象都是拋物线．并且形状相同，只是位置不同；将函数的图象向下平移3个单位长度，就得到函数的图象．二次函数的图象是轴对称图形，它的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐称为．二次函数的图象与二次函数的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同；将二次函数的图象向上平移5个单位长度．就得到函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握． 6．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点．    (1)分别写出A、B、C三点坐标：A______，B______，C______； (2)在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像示意图； (3)任写出两条该函数图像具备的特征：①______；②______． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)①开口向上；②当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 【分析】（1）令，即可得到A、B的坐标，令，即可得到C的坐标； （2）根据二次函数图像特点描点连线即可； （3）根据二次函数图像特点即可解答． 【详解】（1）（1）令，得 ， 又∵A在B左侧， ∴，， 令，得， 故答案为：，，． （2）   描点连线得图像如图所示； （3）根据二次函数图像特点，该函数图像开口向上，当时，y随x的增大而增大， 故答案为：①开口向上；②当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了画二次函数的图像及判断函数图像具备的特征，解题的关键是熟练掌握二次函数及其函数图像． 【变式训练2 y=a(x-h)2的图象和性质】 1．（23-24九年级上·广西玉林·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线 C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的图象和性质，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：对于， ∵，故抛物线开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B正确； 该函数有最小值，最小值是0，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：B． 2．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知点，在抛物线，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是根据二次函数的性质可以判断出与的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴开口向下，对称轴为直线， ∵，是抛物线上的两点，且离对称轴较近， ∴， 故选：A． 3．（23-24六年级上·辽宁朝阳·阶段练习）抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式的性质．直接利用抛物线的解析式即可写出． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）已知，当时，函数值y随x的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数，在对称轴左侧函数值y随x的增大而减小，在对称轴右侧，函数值y随x的增大而增大是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案． 【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)． （2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)． （3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6) 【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系． 6．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知函数y＝﹣（x+2）2﹣2 （1）指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是　 　，顶点坐标为　 　． （2）当x　 　时，y随x的增大而减小； （3）怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣2． 【答案】（1）向下，直线x＝﹣2，（﹣2，﹣2）；（2）＞2；（3）把抛物线y＝﹣x2就先向左平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣2． 【分析】（1）根据二次函数的性质求解； （2）根据二次函数的性质求解； （3）根据平移的平移规律求解． 【详解】（1）函数图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2）； （2）当x＞﹣2时，y随x的增大而小； （3）把抛物线y＝﹣x2先向左平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣2． 故答案为向下，直线x＝﹣2，（﹣2，﹣2）；＞2； 【点睛】此题考查二次函数的性质、函数解析式的平移规律，根据规律“自变量左加右减，函数值上加下减”得到答案. 【变式训练3 y=a(x-h)2+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的的顶点坐标为，即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：A 2．（2023·江苏连云港·模拟预测）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练二次函数的顶点式是解决问题的关键． 由得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，因此当时，取得最小值1． 故选：B． 3．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知函数，当x 时，y随x的增大而增大． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由解析式得对称轴为直线，再由即可求解；理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 当时， y随x的增大而增大； 故答案：． 4．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，正确理解二次函数的顶点式是解题的关键．二次函数的顶点式为，其中顶点为．根据二次函数的顶点式，即得答案． 【详解】函数的顶点坐标是． 故答案为：． 5．（22-23九年级上·广西河池·期末）求二次函数的最值． 【答案】有最小值，为 【分析】先将二次函数解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解： ， ∵二次项系数，二次函数的图像开口向上， ∴二次函数有最小值，当时，． ∴二次函数有最小值，为． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·广西梧州·期中）已知二次函数 (1)将二次函数化为一般式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先按照完全平方公式计算函数右边的乘法运算，再合并同类项即可得到答案； （2）把代入函数解析式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当时，． 【点睛】本题考查的是把抛物线化为一般式，计算函数的函数值，熟练的把二次函数化为一般式是解本题的关键． 【变式训练4 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求出函数顶点坐标即可判断出定点所在位置． 【详解】解：抛物线的顶点为，在y轴上， 故选D． 2．（22-23九年级下·河北邢台·开学考试）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：    接力中，自己负责的出现错误的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丙 【答案】A 【分析】将正确进行配方，即可发现错误步骤． 【详解】解：老师—甲： ，故甲错误； 甲－乙：，故乙错误； 乙－丙：，故丙正确； 丙－丁：的顶点坐标为，故丁正确． A：正确；B：错误；C：错误；D：错误． 故选：A 【点睛】本题考查将抛物线的一般式配成顶点式．易错点：直接除以二次项系数、加了常数不减． 3．（23-24九年级上·云南昭通·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是二次函数顶点坐标式的应用．把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：把二次函数化为顶点式为：； 顶点坐标为：． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解，本题考查了二次函数的对称轴，解题的关键是：熟练应用配方法，将二次函数化为顶点式． 【详解】解：， ， 二次函数的对称轴为：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； （2）二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）通过配方，确定抛物线的顶点坐标，并直接写出y随x的增大而怎样变化． 【答案】，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【分析】将抛物线的解析式配成顶点式即可求解． 【详解】解： ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线的对称轴为直线，且 故：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【点睛】本题考查将抛物线的一般式化成顶点式．注意每一步变形的准确性． 【变式训练5 画y=ax²+bx+c的图象】 1．（22-23九年级上·山东泰安·期末）如图，函数的图象大致是下图的 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：y=2x（3-x）=-2x2+6x ∵a=-2＜0， ∴开口向下， ∵b=6＞0， ∴对称轴在y轴的右侧， ∵c=0， ∴经过原点， ∴B选项符合， 故选B． 考点: 二次函数的图象. 2．（22-23九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）请写出一个同时满足下列条件的抛物线的表达式 ． ①升口向下；②当时，随的增大而增大 【答案】 【分析】开口向下，则a＜0，在对称轴的左侧，随的增大而增大，据此解答即可． 【详解】∵开口向下，则a＜0，在对称轴的左侧，随的增大而增大， 又当时，随的增大而增大 ∴对称轴 故抛物线的表达式可以为：（答案不唯一） 故答案为： 【点睛】本题考查的是求抛物线的表达式，解答本题的关键是要由所给定的条件，确定a的正负及对称轴的位置，取一个比较简单的a值，即可得抛物线的解析式． 5．（22-23九年级上·福建·阶段练习）已知二次函数图象的顶点为P（－1，3），且与y轴交于点A（0，2），求该函数的解析式并画出该函数的图象． 【答案】；图象见解析 【分析】根据顶点 设出二次函数的顶点式 ，将点代入得到的值，即可得到答案，最后画出函数图象即可． 【详解】解：抛物线的顶点为 设出二次函数的顶点式， 将点代入，得，解得， 二次函数的解析式为， 图象如图所示． 【点睛】本题主要考查求二次函数的解析式以及函数的图象，掌握求二次函数解析式得方法是解题的关键． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知：二次函数 （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图． 【答案】（1） (－2，－1)；（2）见解析 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）利用五点法画二次函数的图象即可． 【详解】（1）化为顶点式为 则该函数图象的顶点坐标为； （2）先求出自变量x在处的函数值，再列出表格 当和时， 当和时， 当时， 列出表格如下： 由此画出该函数的草图如下： 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键． 【变式训练6 y=ax²+bx+c的图象与性质】 1．（23-24九年级上·广西柳州·期中）若抛物线经过点，则b的值是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把代入后解方程求出b的值. 【详解】解：把代入得， 解得 故选：C 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）点，为抛物线上两点，且，则c的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，先求出抛物线的对称轴，再求出关于对称轴对称的点坐标，结合函数图像即可求解． 【详解】解：抛物线， ∴对称抽为：， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， 当， 可得出， 故线：D． 3．（2024·安徽芜湖·一模）二次函数的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据对称轴方程解答即可是解题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 4．（2023·贵州贵阳·二模）二次函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】1 【分析】 本题考查了求整式的值，点在函数图象上的意义；将代入函数关系式，即可求解；理解点在函数图象上的意义是解题的关键． 【详解】解：图象经过点， ， 即． 故答案：． 5．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)，，， (2)77 (3)或 【分析】（1）形如的函数称为二次函数，根据此定义即可判断； （2）把代入解析式进行计算即可得解； （3）当代入解析式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：二次函数化为一般形式， 其中，，； （2）解：当时，； （3）解：当时，即， 解得或． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义以及求函数值，关键是要牢记二次函数的定义． 6．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数． (1)下表是y与x的部分对应值，请补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 3 … (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象． 【答案】(1)0，-1，0 (2)见解析 【分析】（1）将x=1，2，3代入求解． （2）通过描点，连线，作图． 【详解】（1）分别将x=1，2，3代入得y=0，-1，0， 故答案为：0；-1；0． （2）如图， 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【变式训练7 二次函数图象与各项系数符号】 1．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知点，在二次函数的图象上，且满足，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性．根据二次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小，且， ∵， ∴． 故选：A 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（　　）    A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根据函数图象确定二次函数字母系数的取值范围，根据二次函数的图象确定c的取值范围即可得． 【详解】解：根据二次函数图象可得：抛物线与y轴的正半轴相交， ∴， ∴只有A符合题意， 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）二次函数的图象的开口方向为 ． 【答案】向上 【分析】根据a的符号判断抛物线的开口方向． 【详解】解：在中， ， 二次函数的图象的开口方向向上， 故答案为：向上． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）写出一个图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数中，时图象开口向上，时，图象与y轴的交点为，因此只要满足，即可． 【详解】解：根据二次函数图象与系数的关系可得： 图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式，只要满足，即可， 因此二次函数解析式可以为：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 5．（22-23九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【答案】抛物线与轴总有两个不同的公共点 【分析】根据根的判别式进行求解，当时，二次函数有两个不相等的实根，即与轴总有两个不同的交点，由此即可求解． 【详解】解：， ， ∴抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴有交点的条件，掌握二次函数图象与轴有两个交点的条件是的知识是解题的关键． 6．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）抛物线经过点． (1)求的值； (2)求把此抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】对于（1），直接将点的坐标代入可得答案； 对于（2），根据抛物线的平移特征可得关系式，再整理即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得； （2）由（1），得． 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度为． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，求二次函数的系数等，理解抛物线上的点与关系式的关系是解题的关键． 【变式训练8 一次函数、二次函数图象综合判断】 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象综合．利用过，过，可知两图象交于，据此排除A、C，然后根据a的正负和函数图象的关系进而求解即可．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：已知与， ∴过，过， ∴A、C选项不符合题意； 当时，抛物线开口向上，直线图象上升，D选项不符合题意； 当时，抛物线开口向下，直线图象下降，B选项符合题意． 故选：B． 2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性和与轴的交点位置可判断的正负；结合二次函数图象的开口和对称轴位置，即可进行判断． 【详解】解：A：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故A正确； B：：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故B错误； C：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故C错误； D：：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故D错误； 故选：D 【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断．熟记相关结论是解题关键． 3．（2023·河南驻马店·模拟预测）观察函数与的图像，写出一条它们的共同特征： ． 【答案】都过等 【分析】从函数图像的分布，图像过点等角度去探索答案． 【详解】∵函数与的图像都经过点（0，-1）， 故答案为：（0，-1）． 【点睛】本题考查了函数图像的特点，熟练掌握图像的特点是解题的关键． 4．（2024·四川德阳·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 5．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得； （2）由图像即可得． 【详解】（1）解：将点A（4，4）代入得， 解得． （2）解：由图像可知，当或时，． 【点睛】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号； （2）若y1＜0，指出x的取值范围； （3）若y1＞y2，指出x的取值范围． 【答案】（1）b＜0，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0；（2）1＜x＜4；（3）x＜1或x＞5． 【分析】（1）根据二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b的符号，再利用二次函数与坐标轴的交点个数得出b2﹣4ac符号，再利用x=﹣1时求出a﹣b+c的符号； （2）根据图象即可得出y1=ax2+bx+c小于0的解集； （3）利用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系． 【详解】解：（1）∵二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b＜0， ∴b＜0， ∵二次函数与坐标轴的交点个数为2， ∴b2﹣4ac＞0， ∵x=﹣1时，y=a﹣b+c，结合图象可知， ∴a﹣b+c＞0； （2）结合图象可知， 当1＜x＜4 时，y1＜0； （3）结合图象可知， 当x＜1或x＞5时，y1＞y2． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及一次函数的图象性质，结合图象比较函数的大小关系是初中阶段难点，同学们应重点掌握． 【变式训练9 反比例函数、二次函数图象综合判断】 1．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与图象的交点个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题只需结合函数的图象联立两方程进行求解，根据解的个数即可判断交点的个数． 【详解】解：依题意有 解得 ， 无解， 故两函数没有交点． 故答案选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，也可以通过画两条函数的图象，没有交点，即交点为0． 2．（2024·江苏淮安·一模）如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题．根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：从图象得出当时，二次函数的图象在双曲线的上方， ∴不等式的解集为． 故选：C． 3．（2023·广东梅州·一模）写出一个函数使其图像与反比例函数的图像有3个不同的交点 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先判断出该函数为二次函数，再结合函数的图像和性质写出即可． 【详解】解：若要与反比例函数的图像有3个不同的交点， 这样的函数可以为二次函数，设， 如图，二次函数与反比例函数有3个交点， 可得开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， 这样的函数可以是， 其中，，， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数图像，解题的关键是抓住3个交点的条件，利用数形结合思想解决． 4．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 【答案】(，0) 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题 【详解】解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求， ∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6）， ∴点B（3,3）， ∴ 解得， ∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2 ∴点A的坐标为（2,2）， ∴点A＇的坐标为（2，-2）， 设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n ∴ ∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12, 令y=0,则0=5x-12得x=, 故答案为（） 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知反比例函数的图象与直线都过点． 求，的值； 若抛物线的顶点在反比例函数的图象上，求这条抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）（2）， 【分析】（1）根据反比例函数y=的图象与直线y=x+1都过点（-3，n），直接代入一次函数解析式求出即可，进而得出k的值； （2）利用抛物线y=x2-2mx+m2+m+1的顶点在反比例函数y=的图象上，表示出二次函数的顶点坐标，代入反比例函数解析式求出即可. 【详解】∵反比例函数的图象与直线都过点， ∴将点，代入， ∴， ， ∴点的坐标为：，将点代入， ∴， ；∵抛物线的顶点为： ∴， ， ∴抛物线的顶点为：， ∵抛物线的顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点为：，． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及二次函数顶点坐标的求法,求出二次函数顶点坐标再利用图象上点的性质得出是解题关键. 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“属派生点”为，即． 若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标________； 试说明点的“属派生点”一定满足（其中） 【答案】（1）（1，2）；（2）1 【分析】（1）根据“k属派生点”的定义可知纵坐标是横坐标的k倍，然后根据p′的坐标求出k＝1，然后求出点p的横坐标与纵坐标的关系，再求解即可；（2）根据P（a，b）的“k属派生点”p′（x，y）可得出x＝，y＝ka＋b，代入进行计算即可. 【详解】．∵点的“属派生点”， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键. 【变式训练10 根据二次函数的图象判断式子符号】 1．（2023·上海虹口·一模）如果抛物线开口向下，那么的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的开口向下可得不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．” 2．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法： ①abc＜0； ②a+b＝0； ③4a+2b+c＜0； ④若（﹣2，y1），（﹣3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2， 其中说法正确的是（　　） A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①② 【答案】D 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号； ②根据对称轴求出b＝﹣a； ③把x＝2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系； ④根据﹣3＜﹣2＜，结合抛物线的性质即可判断y1和y2的大小． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴c＞0， ∵对称轴是直线x＝， ∴﹣＝， ∴b＝﹣a＞0， ∴abc＜0． 故①正确；      ②∵由①中知b＝﹣a， ∴a+b＝0， 故②正确； ③把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c， ∵抛物线经过点（2，0）， ∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0． 故③错误； ④∵抛物线开口向下，对称轴为x＝， ∴在对称轴的左边y随x的增大而增大， ∵﹣3＜﹣2＜， ∴y1＞y2． 故④错误； 综上所述，正确的结论是①②． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下． 3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，且，，则一定有 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，根据题意抛物线开口向上，顶点在轴的下方是解题的关键． 根据题意可知抛物线与轴有两个交点，即可判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴当时，， ∴抛物线的顶点在轴的下方， ∴抛物线与轴有两个交点， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的不等式的解集为；； ④（t为任意实数）．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质； 熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．先判断、、的值即可判断①；然后根据对称轴为得到，然后代入当时即可判断②；利用数形结合即可判断③；由时抛物线有最小值，即可得到，然后得到结论判断④. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴位于y轴右侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为， ∴，即， ∵当时，， ∴，故②正确； 借助图象可得关于x的不等式的解集为或，故③错误； ∵当时，二次函数有最小值， ∴， ∴，故④正确； 正确的是②④， 故答案为：②④． 5．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 【答案】(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据x值的取值判断函数表达式和用顶点式求函数最大值是解本题的关键． 6．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知：函数． （1）当时， ①求随增大而增大时，的取值范围； ②当时，求的取值范围； ③当时，设的最大值与最小值之差为，当时，求的值． （2）若，连结.当此函数的图象与线段只有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①或；②；③或；（2）或或． 【分析】（1）①利用函数图像，直接作答即可； ②观察函数图像直接作答即可； ③分、、、四种情况分类讨论即可； （2）利用两个函数的对称轴都是直线，分类讨论所处的位置，即可得出答案． 【详解】（1）①或. 当时，函数变为 ， 函数图像如图所示： 函数的对称轴是直线， 所以通过观察图像可以得到当随增大而增大时，的取值范围是：或； ②； 通过观察图像可以得到：当时，； ③当，即时， ， 当时，由图象可知 当时， 由， 得， 当时， 舍去. 综上所述:或； 或或， ∵ ∴的对称轴为直线：， 的对称轴为直线：， ①由（1）可知：当时，函数与AB有两个交点，一个为（0,2），一个为（），满足条件； ②当时，函数变为：，此时只有一个交点，不合题意； ③当时，函数变为：，此时只有一个交点，不合题意； ④当时，此时的顶点坐标为， ∵， ∴与AB无交点； 对于函数一直小于0，因此与AB无交点； ⑤当时， 对于函数来说，当时，有最小值此时，因此函数与AB最多有一个交点， 对于函数，当时，有最大值，为，与AB无交点； ⑥当时， 对于函数来说，，因此与AB必有一个交点， 只须保证：与AB有一个交点即可， 当时，当时，有最大值为，根据对称性可知：此时与AB有两个交点， ∴当时，有三个交点，不合题意； 当时， 函数变为：，此时与AB共有两个交点； 当时：与AB有一个交点， ∴此时函数与AB有两个交点； ⑦当时， 对于函数：，与AB无交点， 当函数过时， 得：，解得：， ∵， ∴，此时与AB有两个交点， ∴当时，与AB有两个交点； 综上所述：当或或时，与AB只有两个交点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，利用了数形结合思想，分类讨论思想，牢记图像与性质以及对称轴不确定性的分类讨论思想的利用是解决本题的关键． 【变式训练11 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）二次函数的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数交点式与对称轴．通过二次函数交点式可知函数与轴交点,因为交点关于对称轴对称,再利用中点公式求出中点,继而得到答案． 【详解】解:∵, ∴令,即, ∴与轴两个交点横坐标分别是, ∴对称轴为． 故选:B． 2．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，则的值是（    ） A． B．3 C．0 D．9 【答案】C 【分析】由对称轴是直线，且经过点，可知抛物线与轴的另一个交点是，代入抛物线即可． 【详解】解：因为抛物线对称轴是且经过点， 所以抛物线与轴的另一个交点是， 将代入抛物线解析式中，得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出抛物线与轴的另一个交点，难度不大． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查的是已知抛物线上的两点求解抛物线的对称轴，可得本题抛物线的对称轴为直线． 【详解】解：∵一条抛物线经过点和， ∴该抛物线的对称轴是直线； 故答案为： 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的部分对应值列表如表： x … 0 3 5 … y … 7 ﹣8 7 … 则抛物线的对称轴为 ． 【答案】 【分析】由表格可得抛物线经过即可得到抛物线的对称轴，此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性是解题的关键． 【详解】解：由表格可得抛物线经过， ∴抛物线对称轴为直线， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息． 【答案】a＜0，b＞0，c=2，a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0等，答案不唯一 【分析】利用抛物线图象的开口方向，与y轴交点坐标，对称轴位置进行判定a、b、c的信息． 【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0； ∵抛物线与y轴的交点为（0，2），故c=2； ∵抛物线对称轴x=＞0， 故a、b异号，b＞0； ∵抛物线经过点（-1,0）和（2,0）, ∴有a-b+c=0①， 4a+2b+c=0②， ②-①得3a+3b=0， 即a+b=0； 又∵抛物线经过（0，2）， 故c=2， ∴a+b+c=0+2=2； a＜0，b＞0，c=2, a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，利用数形结合思想是解决问题的关键． 6．（2023·江苏南京·一模）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)点是该函数图象上两点，若求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将，代入函数解析式求解； （2）由抛物线解析式及可得． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得， 故的值为，的值为； （2）解：由（1）得 点是该函数图象上两点， ， ， ， 点是图象上两点， ． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握待定系数法求函数解析． 【变式训练12 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数均过点、、，则，，三者之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将x的值代入确定各个对应的值，然后比较即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查比较二次函数值的大小及求函数值，理解题意，求出相应函数值是解题关键． 2．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知二次函数的x、y部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 则当时，y的值为（   ） A．5 B．3 C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，时的函数值与时的函数值相同． 【详解】解：由图表可知，时的函数值与时的函数值相同． 所以当时，的值为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）设是抛物线上的三点，则、、的大小关系为 （用＜号连接）． 【答案】 【分析】把点的坐标分别代入可求得、、的值，比较大小可求得答案． 【详解】∵是抛物线上的三点， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 4．（22-23九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x … 0 1 2 3 … y … ﹣3 ﹣1 ﹣3 ﹣9 … 则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】先找到二次函数的对称轴，将的值看成是时的函数值，再根据对称性找到对应函数值即可． 【详解】观察表格信息可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，，此时函数值与时对应的函数值相等， 即， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是根据表格判断出二次函数的对称轴． 5．（23-24九年级上·广东珠海·期中）抛物线过点与，且抛物线最小值是，通过计算，判断点是否在此函数图象上？ 【答案】点不在此函数图象上 【分析】根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，即可求解． 【详解】解：∵抛物线过点与，且抛物线最小值是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点不在此函数图象上． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 6．（23-24九年级上·陕西安康·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据抛物线的对称性求得即可； （3）根据表格中数据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等 ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵点关于直线的对称点为 ∴， 故答案为：； （3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时， 故答案为：． 【变式训练13 y=ax²+bx+c的最值】 1．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）已知二次函数，当，下列说法正确的是（　　） A．有最小值11 B．有最小值3 C．有最小值2 D．有最大值3 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向上， ∴在的取值范围内，当时取得最大值11，当时，取得最小值2， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值． 2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知代数式，下列说法正确的有（   ） ①无论取何值，的值总是正数；②的值可正可负也可以是0；③当时，取得最大值，最大值为；④当时，取得最小值，最小值为． A．② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数最大（小值的求法．求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 【详解】 解：①、函数，所以无论取何值，的值总是正数，正确； ②、的值可正可负也可以是0，错误； ③、函数有最小值，当时，最小值为，取得最大值，错误； ④、函数可化为，当时，取得最小值，最小值为，正确． 故选：D． 3．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）二次函数的最小值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数的最值问题，将一般式转化为顶点式，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，函数取得最小值为； 故答案为：0． 4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知a、b、m满足，，则的最大值为 ． 【答案】5 【分析】 本题考查了二次函数的性质，配方法求最值．两个等式联立成方程组，②①得，利用配方法求最大值即可． 【详解】 解：， ②①得：， ， 当时，有最大值，最大值为5． 故答案为：5． 5．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点． (1)若，求该拋物线的对称轴； (2)已知点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 将已知点代入抛物线求得关于a和b的关系式，结合对称轴的表达式即可求得对称轴； 假设抛物线对称轴为直线，可求得抛物线上点关于对称轴的对称点为，结合题意可得．进一步得到在对称轴的左侧随增大而减小．将点对称轴为且，此时三点均在对称轴左侧，且，即可求得函数值的大小． 【详解】（1）解：抛物线过， 即， 则抛物线对称轴为直线； （2） 理由如下： 设抛物线对称轴为直线，则抛物线上点关于对称轴的对称点为， 存在，恰好使． ，即． 抛物线开口向上， 在对称轴的左侧随增大而减小． 又关于对称轴的对称点为且， 点都在对称轴左侧，且， ． 6．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 m 12 … (1)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该图象的一条性质； (2)的值为______； (3)求这个二次函数的解析式. 【答案】(1)见解析，性质：对称轴为直线（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，求二次函数解析式，画二次函数图象，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （2）根据抛物线的对称性可知当时和当时的函数值相同，则和时函数值相等解题即可； （3）根据顶点坐标，利用待定系数法求解即可； 【详解】（1）解：这个函数的图象如图所示： 性质为：对称轴为直线； （2）解：∵对称轴为， ∴当和时函数值相等，根据表格可得， 故答案为：； （3）设函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴． 【变式训练14 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 2．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 【答案】D 【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1， 连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点， 当x＝﹣1时，y＝﹣1， 当x＝2时，y＝﹣4， 所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， 设直线A′B为 当x=0时，y=-2 即C（0，-2） 故选D 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键． 3．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可． 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 5．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图像的平移问题： （1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可； （2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图像的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，二次函数有最大值， ∵该二次函数的最大值为， ∴， ∴； （2）解：把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为， ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， ∴． 6．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答． （2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答． （3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可 【详解】（1）解：依题意，把代入 得出 则对称轴， 把代入， 得出， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上 ∴， ， ∵， ∴， 则， 解得； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴该函数的开口向上， ∴该函数的对称轴为， 则把代入， 得出， ∴的最小值为． 【变式训练15 二次函数图象的平移】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向右平移1个单位再向下平移2个单位后，得到的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【详解】解：由题意得，平移后解析式为， 故选：D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（    ） A．，3 B．， C．2， D．2，3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键． 【详解】解：二次函数向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到二次函数， 故选：D． 3．（2024·广东惠州·二模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到的新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线的解析式为． 故答案为：． 4．（2024·上海长宁·三模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是， 故答案为：． 5．（2023九年级·陕西·专题练习）如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标． 【答案】P(1，－2)． 【分析】根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P点，从而结合图形性质求解即可． 【详解】如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的． 如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小． 由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3， ∴A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1， ∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°， ∴DB＝DP＝2， ∴P(1，－2)． 【点睛】本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关键． 6．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线与直线分别相交于、两点，其中点在轴上，且此抛物线与轴的一个交点为． （1）求抛物线的解析式 （2）在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小，请求出这个周长的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用的解析式求解的坐标，把，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案； （2）联立两个函数解析式，求解的坐标，线段的长度， 如图，要使的周长最小，则最小，设二次函数与轴的另一交点为，抛物线的对称轴为： 点，连接 交对称轴于 ，此时，最小，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】.解：（1）抛物线与直线交于轴上一点， 令 则 点 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）将直线与二次函数联立得方程组： 解得：或， ， 如图，要使的周长最小，则最小， 设二次函数与轴的另一交点为， 抛物线的对称轴为： 点， 连接 交对称轴于 ， 此时，最小， 此时：， 的周长最小值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键． 【变式训练16 二次函数综合】 1．（23-24九年级上·河南周口·期末），分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的综合应用；根据解析式得出抛物线的顶点为，当最大时，的面积最大，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线 该抛物线的顶点为 当最大时，的面积最大， 当时，最大为，即为时的面积最大 故选：A． 2．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线的解析式，令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论即可得到答案； 【详解】解：设所在直线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∵二次函数与线段有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ①当时， 此时函数的开口向上， ∴，， 解得：， ②当时 此时函数的开口向下， ∴，， 解得：， 综上所述得：，， 故选：B． 3．（22-23九年级上·江西赣州·阶段练习）二次函数y=x2+4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，则三角形ABC的面积为 ． 【答案】3 【详解】∵抛物线y=x2+4x+3=（x+1）（x+3）， ∴它与坐标轴的三个交点分别是：（-1，0），（-3，0），（0，3）， ∴该三角形的面积为． 故答案是3. 4．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作正方形．则抛物线的顶点坐标是 ，正方形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，可求出顶点坐标，当点运动到抛物线的顶点处时，的最小，正方形的周长最下，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线， ∴顶点坐标为； ∵四边形是正方形， ∴， ∵点在抛物线上运动， ∴当点运动到抛物线的顶点处时，的最小， ∴当时，，则有最小值， ∴的最小值是，正方形周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与线段最小值的综合，掌握二次函数顶点坐标的计算方法，线段最小值的计算是解题的关键． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）由抛物线向下平移个单位得到的图象过点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移、待定系数法求二次函数解析式；先由平移规律求出平移后的抛物线解析式，因为它经过点，所以把点代入新的抛物线解析式就可求的值，熟练掌握二次函数的平移法则：上加下减，左加右减是解此题的关键． 【详解】解：抛物线向下平移个单位得到 平移后的图象过点， ， 解得． 6．（2024·河南周口·二模）定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”． (1)求m，n的值． (2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，理解题意，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）将配成顶点式为，可知抛物线的顶点坐标为，再根据“相关抛物线”定义即可求解； （2）由（1）可知，由此得抛物线的表达式为，联立抛物线和抛物线，求得抛物线和抛物线与x轴的交点为和，再根据当直线经过点时，当直线与抛物线有一个交点时，求得临界值，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线与抛物线为“相关抛物线”， ∴抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ，， ∴， （2）由（1）可知， ∵抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线的表达式为， 联立抛物线和抛物线得：，解得：， ∴抛物线和抛物线与x轴的交点为和， 若直线 与图形M的边界有4个公共点，则直线需在如图所示的两条虚线之间． 当直线经过点时， ，解得：， 当直线与抛物线有一个交点时， 方程有两个相等的实数根， 方程化简为 ， 则， ， 综上，当直线 与图形 M 的边界有 4个公共点时，a的取值范围为 ． 【变式训练17 y=ax²的图象和性质】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的性质即可作答． 【详解】根据二次函数和的图象，可得两图象都关于轴对称，两图象的顶点相同，两图象的开口方向不同，的图象开口向上，的图象开口向下，点只在抛物线上，所以①③④正确． 故选：B． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 3．（2024·广东广州·一模）二次函数的图象开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可． 【详解】∵为二次函数， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下． 故答案为：下． 4．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）二次函数的图象对称轴右侧上有两点，，若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据，得到y随x增大而减小直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴ 当时，y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，抛物线经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点坐标． (2)点是抛物线上一点，且当时，的最大值为3，求的面积． 【答案】(1)，点为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求抛物线的表达式以及与面积有关的综合问题. （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，以及当当时，即可求出C点的坐标． （2）根据时，的最大值为3，可确定m的值，进而可求出答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得：， ； 当时，， ∴点为． （2）由题意得，二次函数经过点 由（1）得，，，； ， 6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标； (3)若抛物线上存在一点D，使得．求出点D的坐标 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)对称轴为：直线；顶点坐标为： (3)点D的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、将一般式写成顶点式等知识点，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）将，两点代入即可求解； （2）将一般式写成顶点式即可求解； （3）根据可求出点的纵坐标，即可求解 ． 【详解】（1）解：将，两点代入得： ， 解得： ∴抛物线的解析式为： （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线；顶点坐标为： （3）解：∵， ∴ 由（2）得：抛物线的顶点坐标为， ∴ 令， 解得：， ∴点D的坐标为或 1．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 2．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 3．（2024·陕西西安·一模）如图，二次函数的图象与轴的交点纵坐标为1，对称轴为直线，有以下结论：①当时，随的增大而减小；②若点在二次函数图象上，则；③若将该二次函数的图象向右平移个单位，则顶点落在轴上．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由抛物线开口向下，对称轴是直线，从而当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故可判断①；关于对称轴的对称点为即为，可知在下方，而当时，随的增大而减小，从而可以判断②；又抛物线的对称轴是直线，进而若将该二次函数的图象向右平移个单位，则顶点落在轴上，故可判断③． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，直线在对称轴左侧，故①错误． ∵对称轴是直线， ∴关于对称轴的对称点为，即为， 由得在下方， ∵当时，随的增大而减小， ，故②正确． 抛物线的对称轴是直线， 若将该二次函数的图象向右平移个单位，对称轴变为y轴，则顶点落在轴上，故③正确． 综上，正确的有2个． 故选：C． 4．（2024·山东济宁·二模）已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：二次函数图象开口方向向下， ， 对称轴为直线， ， ， 与轴的正半轴相交， ， 的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数的图象在第一三象限， 只有C选项图象符合． 故选：C． 5．（2023·安徽·模拟预测）如图，直线与抛物线交于两点，为上的一点，过点作轴的平行线交直线于点．设点的横坐标为的长为，则关于的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，过点作轴，交直线于点．由题意得，，根据即可求解． 【详解】解：过点作轴，交直线于点．如图所示：    由直线得直线与轴正方向的夹角为， ∵轴， ∴， ． ∵点的横坐标为，轴， ∴，， ， ∴． 故选：C． 6．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知函数图象上两点，，其中，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数解析式得到其增减性，再根据其增减性即可判断、的大小． 【详解】解：函数解析式为，其中， 函数图象开口向下， 函数的对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 7．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知二次函数，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a≤1 【分析】由函数图象可得函数的增减性，即可得答案． 【详解】解：∵由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴a≤1， 故答案为a≤1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 9．（2024·辽宁大连·三模）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为、，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点，此题难度一般．根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点坐标的最小值． 【详解】解：根据题意知，点的横坐标的最大值为3， 即可知当对称轴过点时，点的横坐标最大， 此时的点坐标为， 当可知当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为， 此时点的坐标最小为， 故点的横坐标的最小值为， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，以为边的正方形的顶点在抛物线上，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据正方形的性质，求出，进而求出对称轴，根据对称性求出点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴关于对称轴对称， ∴对称轴为直线， ∵抛物线交轴于点， ∴； 故答案为：． 11．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴． 【答案】抛物线解析式为，对称轴为y轴 【分析】把已知点的坐标代入中求出a，从而得到抛物线解析式，然后利用二次函数的性质得到对称轴． 【详解】解：把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为，对称轴为y轴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握：顶点在原点的抛物线的对称轴为y轴． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是一个二次函数的图象，顶点是原点，且过点．求出二次函数的解析式．    【答案】 【分析】根据顶点是原点，可设二次函数的解析式为，把点代入求出完整解析式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象，顶点是原点， ∴设二次函数的解析式为， ∴把点代入得， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，根据顶点是原点，设二次函数的解析式为是解题的关键． 13．（2023九年级下·全国·专题练习）用配方法求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 14．（2023·广东深圳·模拟预测）已知，抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．    (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）采用“五点作图”法即可求解； （2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： 图象如图所示：    （2）解：将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 可得： 即： 【点睛】本题考查二次函数的图象及平移．掌握二次函数的平移规律是关键． 15．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1)函数表达式为，抛物线的对称轴为 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． （1）将，代入，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【详解】（1）抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为； （2）点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$