5.5.1 第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课标定位 素养阐释 1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式. 2.熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式的形式及符号特征,并能利用公式进行求值、计算. 3.体会类比推理的过程,提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、两角和的余弦公式 1.在两角差的余弦公式cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β中,以-β代换β,你会得到什么公式? 提示:cos(α+β)=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 2.cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β (C(α+β)).记忆口诀:“余余正正,符号相反”.  答案:A 二、两角和与差的正弦公式 1.如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式? 2.怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式? 提示:用-β代换β,可得sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. 3.两角和与差的正弦公式 记忆口诀:“正余余正,符号相同”. 答案:A 三、两角和与差的正切公式 1.怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式? 2.由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式? 提示:用-β替换β即可得到. 3.(1)两角和与差的正切公式 (2)S(α+β),C(α+β),T(α+β)都叫做和角公式;S(α-β),C(α-β),T(α-β)都叫做差角公式. 答案:1 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. 合作探究·释疑解惑 探究一 给角求值 反思感悟 1.对于非特殊角的三角函数式,要利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求出具体数值,一般有以下三种途径 (1)化为特殊角的三角函数值; (2)化为正负相消的项,相消去求值; (3)化为分子、分母形式,先约分再求值. 2.在进行求值过程的变换中,一定要本着先整体后局部的基本原则.整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,那么整体变形,否则要进行局部的变换. 探究二 给值求值(角) 1.本例条件不变,如何求cos(α-β)的值? 反思感悟 1.给值(式)求值问题的解题策略 (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应先着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 2.给值求角问题本质上为给值求值问题,解题时应注意对角的取值范围加以讨论,以免产生增解或漏解. 答案:B 探究三 和角、差角公式的变形使用 分析:(1)因为23°+37°=60°,所以可逆用正切公式求解; (2)先提取公因数,再逆用两角和与差的正弦公式或余弦公式求解. 反思感悟 1.两角和与差的正切公式有两种变形形式 2.研究形如f(x)=asin x+bcos x的函数的性质,要逆用两角和差的正弦(或余弦)公式进行变换. 易 错 辨 析 忽略角的取值范围致错 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:没有依据题设条件进一步缩小角α,β的取值范围,导致2α-β的取值范围过大而致错. 防范措施 对于知值求角问题,个别条件所附带的信息有时较为隐蔽,应注意依据需要对题设隐含条件进一步挖掘,如本例要依据“ ,且α,β∈(0,π)”来进一步限定角α,β的取值范围. 随 堂 练 习 答案:D 答案:A 答案:B 答案:7 3.cos 22°cos 38°-sin 22°sin 38°的值为(　　) A. B. C. D. 解析:原式=cos(22°+38°)=cos 60°=. 提示:sin(α+β)=cos =cos =coscos β+sinsin β =sin αcos β+cos αsin β. 简记 公　　式 S(α+β) sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β S(α-β) sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β 4.计算-sin 133°cos 197°-cos 47°cos 73°的结果为(　　) A. B. C. D. 解析:-sin 133°cos 197°-cos 47°cos 73° =-sin 47°(-cos 17°)-cos 47°sin 17° =sin(47°-17°)=sin 30°=. 提示:tan(α+β)=, 分子分母同除以cos αcos β便可得到. 简记符号 公　式 使　用　条　件 T(α+β) tan(α+β)= α,β,α+β均不等于kπ+(k∈Z) T(α-β) tan(α-β)= α,β,α-β均不等于kπ+(k∈Z) 4.已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,则tan(α+β)=　　　. 解析:因为tan α=,tan β=, 所以tan(α+β)==1. (1)对于任意角α,β,总有tan(α+β)=.( × ) (2)使公式tan(α±β)=有意义,只需α,β均不等于 kπ+(k∈Z)即可.( × ) (3)存在实数α,β,使cos(α+β)=cos α-cos β成立.( √ ) (4)当α≠kπ-,且α≠kπ+,k∈Z时,tan.( √ ) 【例1】 求下列各式的值: (1); (2). 解:(1)原式==tan(30°-75°) =tan(-45°)=-tan 45°=-1. (2)原式= = = =sin 30°=. 【变式训练1】 计算: (1)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°; (2). 解:(1)原式=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°) =sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°) =sin 30°=. (2)原式== =tan 15°=tan(45°-30°) ==2-. 【例2】 已知sin,cos,且0<α<<β<, 求cos(α+β). 解:∵0<α<<β<, ∴+α<π,--β<0. 又sin,cos, ∴cos=-,sin=-. ∴cos(α+β)=sin =sin =sincos-cossin ==-. 解:∵0<α<<β<, ∴+α<π,--β<0. 又sin,cos, ∴cos=-,sin=-. ∴cos(α-β)=-cos(π+α-β) =-cos =-coscos+sinsin =-. 2.把本例变为“已知sin,cos,α∈, β∈,求cos(α+β)”,如何求解? 解:∵α∈,β∈, ∴α+,β-. 又sin,cos, ∴cos,sin=-. ∴cos(α+β)=cos =coscos-sin· sin. 【变式训练2】 已知α,β为第二象限角,cos=-, sin,则sin(α+β)的值为(　　) A. B.- C. D.- 解析:∵α,β为第二象限角,且cos=-,sin, ∴sin, cos=-=-. ∴sin(α+β)=sin =sincos+cossin ==-. 【例3】 化简下列各式: (1)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°; (2)sincos. 解:(1)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37° =tan(23°+37°)(1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 37° =tan 60°(1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 37°=. (2)原式= = =cos =cos. (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β); (2)1∓tan α·tan β=. 当α±β为特殊角时,常考虑使用变形形式(1);遇到1与正切的 乘积的和(或差)时常用变形形式(2). 【变式训练3】 (1)化简下列各式: ①3sin x-cos x=　　　　　;  ②sin+cos=　　　　　.  解析:①3sin x-cos x=2(sin x·-cos x·) =2=2sin. ②sin+cos [sin(2x+)·+cos] =sin[]=sin(2x+)=cos 2x. 答案:①2sin　 ②cos 2x (2)若锐角α,β满足(1+tan α)(1+tan β)=4,求α+β的值. 解:∵(1+tan α)(1+tan β) =1+(tan α+tan β)+3tan αtan β=4, ∴tan α+tan β=(1-tan αtan β), ∴tan(α+β)=. 又α,β均为锐角,∴0<α+β<π,∴α+β=. 【典例】 已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则2α-β= 　　　　　.  错解:因为tan α=tan[(α-β)+β]=, 又α∈(0,π),所以α∈.则tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1, 由题意可知β∈,故2α-β∈. 所以2α-β=-或2α-β=. 答案:- 正解:因为tan α=tan[(α-β)+β]=, 又α∈(0,π),所以α∈, 则tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1. 由题意可知β∈,所以2α-β∈(-π,0). 所以2α-β=-. 答案:- tan(α-β)=,tan β=- 【变式训练】 若tan α+tan β-tan αtan β+1=0,α,β∈, 则α+β=　　　　　.  解析:tan(α+β)==-1. ∵α,β∈, ∴α+β∈(π,2π).∴α+β=. 答案: 1.计算sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°的值是(　　) A. B.- C. D.- 解析:原式=sin(21°-81°)=-sin 60°=-. 2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)等于(　　) A. B.- C.3 D.-3 解析:tan(α-β)=. 3.计算cossin的值是(　　) A. B.2 C.2 D. 解析:cossin =2 =2 =2sin=2sin=2. 4.已知cos α=-,且α∈,则tan等于　　　　　.  解析:∵cos α=-,且α∈, ∴sin α=.∴tan α==-. ∴tan=7. 5.已知=3,tan(α-β)=2,求tan(β-2α). 解:∵=3,∴tan α=2. ∵tan(α-β)=2,∴tan(β-α)=-2. ∴tan(β-2α)=tan[(β-α)-α] =. $$