5.5.1 第1课时两角差的余弦公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 课标定位 素养阐释 1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义. 2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算. 3.体会逻辑推理的过程,提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 两角差的余弦公式 1.我们知道,30°=60°-30°,那么cos 30°=cos 60°-cos 30°吗?试计算cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°的值,并观察该值是否与cos 30°相等. 2.30°=90°-60°,那么cos 30°=cos 90°-cos 60°吗?试计算cos 90°cos 60°+sin 90°sin 60°的值,该值与cos 30°相等吗? 3.∀α,β∈R,cos(α-β)=cos α-cos β成立吗?根据问题1,2,你能猜想出cos(α-β)与α,β的正弦、余弦值之间的关系吗? 提示:cos(α-β)=cos α-cos β不成立,猜想cos(α-β)=cos αcos β+ sin αsin β. 4.对任意角α,β有cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β .(C(α-β))此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作 C(α-β) .  【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. 合作探究·释疑解惑 探究一 两角差的余弦公式的简单应用 反思感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差,正用公式直接求解. (2)在转化过程中,先充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的右边形式,再逆用公式求值. 【变式训练1】 求下列各式的值: (1)cos 105°; (2)cos 46°cos 16°+sin 46°sin 16°. (3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α. 探究二 给值(式)求值 反思感悟 给值求值的解题策略 (1)找角的差异.已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的差异. (2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有: 探究三 利用三角函数值求角 分析:本题可先求出cos(α-β)的值,结合α-β的取值范围,再求出α-β的值. 反思感悟 求解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值. (2)确定角的取值范围. (3)根据角的取值范围写出所求的角.　　　　　 易 错 辨 析 忽略三角形内角之间的关系致错 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:上述求解,忽视了隐含条件sin B<sin A,导致增解. 防范措施 涉及三角形的内角问题时,一定要注意内角和A+B+C=180°这一隐含条件.尤其是由内角的正弦值确定角的大小时,要防止增解出现. 随 堂 练 习 答案:C 答案:B 3.cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°=　　　　　.  解析:原式=cos 75°cos 15°-sin 75°sin(180°+15°) =cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°) =cos 60° 提示:cos 30°≠cos 60°-cos 30°,cos 60°cos 30°+ sin 60°sin 30°==cos 30°. 提示:cos 30°≠cos 90°-cos 60°,cos 90°cos 60°+ sin 90°sin 60°=,与cos 30°相等. (1)当α,β∈R时,cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.( × ) (2)当α,β∈R时,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.( √ ) (3)coscos+sinsin-α=cos 2α.( √ ) 【例1】 求下列各式的值: (1)cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°; (2)cos 15°+sin 15°; (3). 分析:(1)利用诱导公式以及两角差的余弦公式求解;(2)先将分别转化为cos 60°,sin 60°,再套用公式计算;(3)找出20°,10°角之间的关系,引入30°角,用两角差的余弦公式求解. 解:(1)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos 90°=0. (2)cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15° =cos(60°-15°)=cos 45°=. (3)原式= . 解:(1)原式=cos(150°-45°) =cos 150°cos 45°+sin 150°sin 45° =-. (2)原式=cos(46°-16°)=cos 30°=. (3)原式=cos[(α+45°)-α]=cos 45°= 【例2】 (1)已知cos α=,α∈,求cos; (2)已知α,β为锐角,cos(α+β)=,cos(2α+β)=,求cos α的值. 解:(1)∵cos α=,α∈,∴sin α=-. ∴cos=cos αcos+sin αsin =. (2)∵α,β为锐角,∴0<α+β<π. 又cos(α+β)=,∴0<α+β<. ∴0<2α+β<π. 又cos(2α+β)=,∴0<2α+β<. ∴sin(α+β)=,sin(2α+β)=. ∴cos α=cos[(2α+β)-(α+β)] =cos(2α+β)·cos(α+β)+sin(2α+β)·sin(α+β) =. 1.若在本例(1)中去掉α∈,如何求解? 解:∵cos α=,∴α是第一象限角或第四象限角. 当α是第一象限角时,sin α=, 可得cos. 当α是第四象限角时,sin α=-, 可得cos. 2.把本例(1)改编为:若cos=-,且α∈,求cos α. 解:∵cos=-,且α∈, ∴sin. ∵α=,∴cos α=cos =coscos+sinsin =-. α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=[(α+β)+(α-β)],α=[(β+α)-(β-α)]等. 【变式训练2】 已知α,β均为锐角,sin α=,cos(α-β)=, 求cos β的值. 解:因为α∈,sin α=, 所以0<α<.所以α-β∈. 又因为cos(α-β)=,所以-<α-β<-. 所以cos α=, sin(α-β)=-=-=-. 所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =. 【例3】 已知α,β均为锐角,且cos α=,cos β=,求α-β的值. 解:∵α,β均为锐角,cos α=,cos β=, ∴sin α=,sin β=. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 又sin α<sin β,∴0<α<β<.∴-<α-β<0.∴α-β=-. 【变式训练3】 已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值. 解:由cos α=,0<α<, 得sin α=. 由0<β<α<,得0<α-β<. 又cos(α-β)=, 所以sin(α-β)==. 由β=α-(α-β),得cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =. 又0<β<, 故β=. 【典例】 已知A,B,C是△ABC的内角,cos A=,sin B=, 求cos(A-B). 错解:由cos A=>0,可知A为锐角, 所以sin A=. 又sin B=,所以cos B=±. 所以cos(A-B)=或cos(A-B)=-. 正解:由cos A=>0,可知A为锐角, 所以sin A=. 因为sin B<sin A,所以B<A,所以B为锐角. 又sin B=,所以cos B=. 所以cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B =. 【变式训练】 已知x,y是三角形的内角,且y<x,tan xtan y=2, sin xsin y=,则x-y=　　　　.  解析:因为sin xsin y=,tan xtan y==2, 所以cos xcos y=. 所以cos(x-y)=cos xcos y+sin xsin y=. 又因为0<y<x<π,所以0<x-y<π.所以x-y=. 答案: 1.计算coscos+cossin的值是(　　) A.0 B. C. D. 解析:coscos+cossin =coscos+sinsin=cos =cos. 2.设α∈,若sin α=,则cos=(　　) A. B. C.- D.- 解析:因为α∈,sin α=,所以cos α=, 原式=(cos α+sin α) =. =. 答案: 4.已知cos=cos α,则tan α=　　　　　.  解析:∵cos=cos αcos+sin αsincos α+sin α =cos α, ∴sin α=cos α. ∴,即tan α=. 答案: 5.设α,β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,求cos β的值. 解:∵α,β都是锐角,且cos α=,∴<α<. 又>sin(α+β)=,∴<α+β<π. ∴cos(α+β)=-=-, sin α=. ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =-. $$