5.4.3正切函数的性质与图象课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.3　正切函数的性质与图象 课标定位 素养阐释 1.能作出正切函数的图象. 2.能借助图象理解正切函数在区间 上的性质. 3.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、正切函数的周期性和奇偶性 1.正切函数y=tan x的定义域是什么? 提示:周期性. 提示:奇偶性. 4.(1)周期性:正切函数是周期函数,周期是π; (2)奇偶性:正切函数是奇函数. 答案:B 二、正切函数的图象 1.如图,设 ,在平面直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B(x0,y0).过点B作x轴的垂线,垂足为M;过点A(1,0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T.你能推导出x的正切值与哪条线段的长度有关吗? 3.(1)正切函数的图象(如图):   (2)正切函数的图象,我们把它叫做正切曲线. (3)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线____________所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. A.关于原点对称 B.关于y轴对称 C.关于x轴对称 D.没有对称轴 答案:B 三、正切函数的单调性和值域 提示:单调递增. 答案:(-∞,-1]∪[1,+∞) 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)函数y=tan x在其定义域上是增函数.( × ) (2)函数y=tan x的图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z).( × ) (3)正切函数y=tan x无单调递减区间.( √ ) 合作探究·释疑解惑 探究一 求正切函数的定义域 反思感悟 探究二 正切函数的单调性和周期性 分析:先化简已知解析式,再根据正切函数的单调性建立不等式求解. 反思感悟 求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0)的单调区间的方法 (2)当ω<0时,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的取值范围即可. 答案:1 探究三 比较大小 答案:(1)<　(2)< 反思感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用正切函数的周期性或诱导公式将角转化到同一单调区间内; (2)运用正切函数的单调性比较大小关系. 答案:> 易 错 辨 析 将正切曲线的对称中心误认为是(kπ,0)(k∈Z)致错 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?怎么防范? 提示:误认为y=tan x图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z)致错. 防范措施 随 堂 练 习 答案:B 答案:A 答案:> 5.求函数y=tan 2x的定义域、值域和周期,并画出它在区间 [-π,π]上的图象. 提示:. 2.诱导公式tan(π+x)=tan x,x∈R,且x≠+kπ,k∈Z说明了正切 函数的什么性质? 3.诱导公式tan(-x)=-tan x,x∈R,且x≠+kπ,k∈Z说明了正切函 数的什么性质? 5.函数f(x)=tan的最小正周期为(　　) A. B. C.π D.2π 解析:因为tan=tan, 即tan=tan, 所以f=f(x), 故函数f(x)的最小正周期为. x∈ 提示:tan x==AT,x的正切值就是线段AT的长度. 2.怎样画函数y=tan x,x∈的图象? 提示:利用线段AT的长度描点,然后用光滑的曲线连接即可,注意x趋向于时,图象向右上方无限逼近直线x=. x=+kπ,k∈Z (4)画正切函数在区间上的简图,常用“三点两线”法,三点:,(0,0),,两线:x=-,x=. 4.当x∈时,函数y=|tan x|的图象(　　) 2.当x∈时,正切函数的值域是什么? 提示:当x∈时,正切函数的值域是R. 1.观察正切曲线,在区间上,正切函数的单调性是怎样的? 3.(1)正切函数在每一个区间 (k∈Z) 内 都单调递增. (2)正切函数的值域是实数集R. (3)正切曲线的对称中心是(k∈Z). 4.函数y=tan x(≤x≤,且x≠)的值域是　　　　. 解析:因为函数y=tan x在区间内单调递增,在区间上也单调递增,所以函数的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞). (4)正切函数在区间上单调递增.( × ) 【例1】 求下列函数的定义域: (1)y=tan; (2)y=. 解:(1)由x+≠kπ+(k∈Z), 得x≠kπ+,k∈Z, 所以函数y=tan的定义域为. (2)由-tan x≥0,得tan x≤. 结合y=tan x的图象可知,在区间内, 由tan x≤,可知-<x≤, 所以函数y=的定义域为{x<x≤kπ+,k∈Z}. 将本例(2)中函数改为“y=”,其定义域又是什么? 解:根据题意,得(k∈Z) 解得(k∈Z), 所以函数的定义域为[+kπ,+kπ]∪(+kπ,+kπ)(k∈Z). 求与正切函数有关的函数的定义域时,除了函数定义域的一般 要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.而 对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解. 【变式训练1】 函数y=3tan的定义域为　　　　　.  解析:由+kπ,k∈Z,得x≠--4kπ,k∈Z, 即函数的定义域为. 答案: 【例2】 求函数y=tan的单调区间及最小正周期. 解:y=tan=-tan, 令kπ-x-<kπ+(k∈Z), 得2kπ-<x<2kπ+(k∈Z), 所以函数y=tan的单调递减区间是 (k∈Z), 没有单调递增区间,最小正周期T==2π. (1)当ω>0时,由于y=tan x在每一个单调区间上都单调递增, 故可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ<kπ+,k∈Z,解得x 的取值范围即可. 【变式训练2】 (1)函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π,则f=　　　　　.  解析:由已知=2π,所以ω=, 所以f(x)=tan, 所以f=tan=tan=1. (2)求函数y=3tan的单调区间. 解:y=3tan=-3tan, 令-+kπ<2x-+kπ,k∈Z, 得-<x<(k∈Z), 所以y=3tan的单调递减区间为(-)(k∈Z),没有单调递增区间. 【例3】 比较大小: (1)tan 32°　　　　　tan 215°;  (2)tan　　　　　tan.  解析:(1)tan 215°=tan(180°+35°)=tan 35°. ∵当0°<x<90°时,y=tan x单调递增,32°<35°, ∴tan 32°<tan 35°=tan 215°. (2)tan=tan=tan,tan =tan=tan. ∵y=tan x在区间内单调递增,且-<-, ∴tan<tan,即tan<tan. 【变式训练3】 比较大小:tan　　　　　tan.  解析:tan=-tan=tan,tan=-tan=tan. ∵y=tan x在区间内单调递增,0<, ∴tan<tan, ∴tan>tan. 【典例】 已知y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为, 若-<θ<,则θ=　　　　　.  错解:函数y=tan x图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z), 令2x+θ=kπ(k∈Z). 因为y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为, 所以当x=时,有θ=kπ-(k∈Z). 又因为-<θ<,所以θ=. 答案: 正解:函数y=tan x图象的对称中心是 (k∈Z), 令2x+θ=(k∈Z). 因为y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为, 所以当x=时,有θ=(k∈Z). 又因为-<θ<,所以当k=1时,θ=-; 当k=2时,θ=. 所以θ=-或θ=. 答案:或- 对正切函数图象的对称中心是而非(kπ,0)(k∈Z).要特别 注意所求参数的取值范围,注意分情况讨论. 【变式训练】 函数y=2tan的对称中心是　　　　　.  解析: 由3x-(k∈Z),解得x=(k∈Z), 即函数y=2tan的图象的对称中心是(k∈Z). 答案: 1.函数y=2tan的最小正周期是(　　) A. B. C. D.π 解析:T=. 2.函数y=tan x+(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 解析:因为函数y的定义域是, 且tan(-x)+=-tan x-=-, 所以函数y=tan x+是奇函数. 3.比较大小:tan　　　　　tan.  解析:因为tan>0,tan<0, 所以tan>tan. 4.函数y=tan,x∈的值域是　　　　　.  解析:∵-<x<,∴-<2x-. ∴tan<1,即函数的值域为(-∞,1). 答案:(-∞,1) 解:由2x≠+kπ(k∈Z),得x≠kπ(k∈Z). 所以函数y=tan 2x的定义域为{xkπ,k∈Z}, 值域为(-∞,+∞),周期为T=,在区间[-π,π]上的图象如图所示. $$