第十八章平行四边形暑假大复习2023-2024学年人教版数学八年级下册

第4讲 平行四边形的性质 考点一 平行四边形的对边平行且相等，对角相等 1．如图所示，的顶点坐标是，顶点坐标的是，则顶点坐标是　 　． 【变式1-1】．如图，四边形为平行四边形，作的平分线，交边于点，若，则的度数为　 　． 【变式1-2】．如图，在中，平分，交于点，平分交于点，，，则长为　 　． 2．在中，若，则等于　　 A． B． C． D． 【变式2-1】．在中，的值可以是　　 A． B． C． D． 【变式2-2】．如图所示，在平行四边形中，，，，是的中点，于点，则的面积为 　 　平方单位． 考点二 平行四边形的对角线互相平分 3．如图，在中，，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【变式3-1】．如图，在中，对角线、相交于点，过点作，交于点，连接，若的周长为8，则的周长为　 　． 【变式3-2】．在平行四边形中，已知，，对角线与相交于点，则的周长比的周长多 　 　． 【变式3-3】．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是30，，则四边形的周长是　 　． 【变式3-4】．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，若，，则的周长为 　 　． 【变式3-5】．如图所示，平行四边形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交、于点、，若的面积为2，的面积为4，则的面积为　 　． 考点三 平行四边形的中心对称图形 4．如图，已知点的坐标是，点的坐标是，平行四边形的对角线交于坐标原点，则点的坐标是　 　． 【变式4-1】（2023春·师大滨江第一次月考）如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（ ） A B. C. D.不能确定 5．如图，在中，，为对角线，，边上的高为6，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【变式5-1】．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形中，顶点，，，则顶点的坐标为 　 　． 考点四 中位线性质 6．如图，的对角线与相交于点，且．若是边的中点，，，则的长为　 　． 【变式6-1】．如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是，中点，若，则的长为 　 　． 【变式6-2】．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点，分别是，的中点，连接，于点，交于点，若，，则线段的长为 　 　． 考点五 几何最值 7．如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是　　． 【变式7-1】．如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 　　 ． 【变式7-2】．如图，已知的顶点，分别在直线和上，是坐标原点，则对角线长的最小值为　　 ． 【变式7-3】．如图，在中，，，平分交于点，为直线上一动点．以、为邻边构造平行四边形，连接，若．则的最小值为 　　． 考点六 平行四边形的性质综合 8．如图，在，，，、点从点出发沿边运动到点，点从点出发沿边向点运动，点运动速度为，点运动速度为，它们同时出发，同时这运动，经过　　时，． 9．如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①②③④，正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】．如图，已知平行四边形中，，于，于，，相交于，，的延长线相交于，下面结论：①；②；③．其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【变式8-2】．如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④图中共有4对全等三角形；⑤；其中正确的结论有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-3】．如图，已知中，，于，于，、相交于，、的延长线相交点，下面结论：①；②；③；④点为中点．其中正确的结论有 　　 （把正确结论的序号都填上） 课后作业 一．作业（共13小题） 1．如图，平行四边形的对角线相交于点，且，过点作，交于点．如果的周长为8，那么平行四边形的周长是　 ． 2．如图所示，的对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为　 ． 3．如图，在中，平分，连接交于点，，，则的周长为 　 ． 4．如图，，对角线、相交于点，点是的中点，，则是 　 　． 5．如图，在平行四边形中，，，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．若，则的长为　 　． 6．如图所示，在中，与相交于点，若，，，则的面积为 　 　． 7．如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④图中共有4对全等三角形；⑤；其中正确的结论有　 ． 8．如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①②③④，正确的个数是　 ． 9．如图，在平行四边形中，连接，且，过点作于点，过点作于点，，在的延长线上取一点，满足，则　 ． 10．如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④ 成立的有　 　（把所有正确结论的序号都填在横线上） 11．如图，已知三个顶点坐标是、、，那么第四个顶点的坐标是　　 A． B． C． D． 12．如图，已知平行四边形中，，，，为上任意一点（可以与、重合），延长到，使得，以、为边作平行四边形，则长度的最小值　　． 13．如图，在中，，若为中点，为的中点． （1）求证：平分； （2）若，求的值． 第5讲 平行四边形的判定 考点一 平行四边形的判定（一） 判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1．已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，． 求证：四边形是平行四边形． 2．已知：如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【变式1-1】．如图，在四边形中，，点，是上的两点，，连接，，，求证：四边形是平行四边形． 【变式1-2】．如图，的对角线，交于点，点，在上，点，在上，，，求证：． 考点二 平行四边形的判定（二） 判定三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定四：对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3．如图，在平行四边形中，点，分别为边，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【变式3-1】．已知：在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 4．已知：如图，在四边形中，，，为对角线上两点，且，． 求证：四边形为平行四边形． 【变式3-4】．已知：如图，在中，点在上，连接，交于点，与交于点，与交于点．求证：四边形是平行四边形． 考点三 平行四边形的判定综合 5．（2020春·中雅培粹八下入学考试T23·9分）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 【变式5-1】．（2021春·广益实验八下第一次月考T23·8分）如图，在中，是边上任意一点，是边中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 课后作业 一．作业（共5小题） 1．（2021春•麓山国际八下期末T18·10分）已知：如图，在中，中线，交于点，，分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 2．（2022春•长沙市一中教育集团八下期中T18·6分）如图，已知平行四边形中，是它的一条对角线，过、两点作，，垂足分别为、，延长、分别交、于点、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，，求的长． 3．（2022春•长郡梅溪湖八下期中T21·8分）在四边形中，、交于点，，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）过点作交于点，连接．若，求的度数． 4．（2021春•雅礼教育集团八下期中T21·8分）如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且，，连接、、、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求的长． 第6讲 特殊平行四边形的性质与判定 考点一 矩形的性质 1．（2022春•长郡集团八下期末T3·3分）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于　　 A．6 B．8 C． D． 2．（2022春•麓山国际八下期中T18·3分）如图，矩形中，，．点为边上的一个动点，△与关于直线对称，当△为直角三角形时，的长为 　　． 3．（2021春•青竹湖湘一、湘一立信八下期中T11·3分）如图，四边形为矩形，点，分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交轴于点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 4．（2021春•一中雨花新华都八下第一次月考T12·3分）如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】．（2022春•广益中学八下第一次月考T18·3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上在轴上，，，对角线的垂直平分线交于点，交于点．若轴上有一点（不与点重合），能使是以为为腰的等腰三角形，则点的坐标为 　　． 【变式1-2】．（2022春•湘郡培粹八下第一次月考T16·3分）如图，矩形中，对角线，相交于点，，，，交于点，交于点，延长交于点，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中结论正确的是 　　． 考点二 直角三角形斜边上的中线 5．（2022秋•一中双语九上入学T3·3分）如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离　　 A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 【变式5-1】．（2020秋•明德教育集团九上期末T17·3分）著名画家达芬奇不仅画意超群，同时还是一个数学家，发明家．他曾经设计过一种圆规．如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计）一根没有弹性的木棒的两端，能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来，若，则画出的圆半径为 　　． 6．（2022春•雅礼教育集团八下期末T15·3分）如图，在中，，是边上的高，、分别是、边的中点，若，，则的周长为 　　． 考点三 菱形的性质 7．（2022春•长郡双语期末T7·3分）菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为16，则的长等于　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式7-1】．（2020春•湘郡培粹八下期中T9·3分）如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，连接，若，，则　　 A． B． C． D． 8．（2022春•长郡梅溪湖八下期中）如图，在菱形中，对角线，于点，过点作于点，已知，，则　　． 【变式8-2】．（2022春•雨花区校级月考）如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若．则菱形的面积为 　　． 考点四 矩形的判定 9．（2021春·青一八下入学考试T20·8分）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，，平分交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的面积． 【变式9-1】．（2020春·北雅中学八上第一次月考T22·9分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若； ①求证：是等腰三角形； ②求的度数． 【变式9-2】．（2021春·中雅培粹八下第一次月考T19·8分）如图，点是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 考点五 菱形的判定 10（2023春·长郡八下期末).如图，平行四边形中，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【变式10-2】．（2020春·长梅八下第一次月考T21·8分）如图，矩形的对角线的垂直平分线与、、分别交于点、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 课后作业 一．作业（共8题） 2．（2022秋•雅礼实验九上入学）如图，在中，，，为中线，延长至点，使，连接，为的中点，连接，若，则的长为 　　． 3．（2023春•长郡八下期末）如图，菱形中，，，点P，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（ ）． A.1 B. C.2 D. 4．（2021春·广益实验八下第一次月考）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为　　 A． B．48 C．72 D．96 6．（2020春·长梅八下第一次月考T·3分）如图，在矩形中，，，是上一动点，于，于，则的值为　　 A．5 B．4.8 C．4.4 D．4 7．（2021春·广益实验八下第一次月考T24·8分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，若，求的面积． 8．（2024春·北雅中学八下第一次月考）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形； （2）当为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积． 考点六 正方形背景下的几何综合 5．（2023春·雅实、西雅、雅外八下第一次月考）如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式5-2】．（2020春·北雅中学八上第一次月考T12·3分）如图，在正方形中，点、、分别是、、的中点，与交于点，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有　　．（请填写序号） 【变式5-3】．（2023春·师大滨江 第一次月考）.如图正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（ ）个． A.1 B.2 C.3 D.4 微专题 四边形进阶 考点一 一线三等角的运用 1．（1）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点．，且交正方形外角的平分线于点，求证：． （2）小颖提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除，外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）小华提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，结论“”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 【变式2-1】．如图，四边形是菱形．，点是边上一点，，且交直线于点，求证：． 考点二 根号2类图形的运用 2．如图，点为正方形的对角线的交点，为正方形外一点，且． （1）求的度数； （2）求证：． 【变式2-1】．如图，若点为正方形外一点，，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 考点三 折叠与勾股方程 3．（2023春·长郡八下期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______． 【变式3-1】．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为　　． 【变式3-2】．如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为，若，则的长为　　． 【变式3-3】．如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、．求的长． 【变式3-4】．在矩形中，为边上的一点，将沿折叠，点恰好与上的点重合． （1）如图1，当点为中点时，求证：． （2）如图2，若点恰好为的三等分点，求的值． 【变式3-5】．（2021秋•一中教育集团九上七校联考T23·9分）如图，将矩形卡纸沿着对折，使得点与点重合． （1）证明：四边形为菱形； （2）如果，，试求四边形的面积； （3）若，记：四边形的面积为，四边形的面积为，试求的值． 考点四 四边形与动点问题 4．如图，在中，，，．点从点出发沿边运动到点，点从点出发沿边向点运动，点运动速度为，点的运动速度为，它们同时出发，同时停止运动，经过　 　时，． 【变式4-1】．如图，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点、同时出发，设运动时间为当　　时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 【变式4-2】．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、同时出发向右运动，点的运动速度为2个单位秒，点的运动速度为1个单位秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为 （1）当时，的长为　　； （2）若，求运动时间的值； （3）若，求运动时间的值． 【变式4-3】.（2023春·长郡八下期末）如图，在直角坐标系中，直线交y轴，x轴于点，点D在y轴正半轴上，以为边作平行四边形ABCD，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动，记点E运动时间为t秒． （1）直接写出点A的坐标__________，__________； （2）若，连接F是的中点，连接并延长交直线于点H， ①当四边形为平行四边形时，请直接写出t的值； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出t的值； （3）若，点E在上，点M位于点E的正上方，且，当四边形的面积最大时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$