1.3探索三角形全等的条件HL讲义2023-2024学年苏科版数学 八年级上册

探索三角形全等的条件HL 1、 知识解读 全等三角形判定5——“HL” 斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成HL) 要点诠释：如图，如果在Rt△ABC和Rt△JKL中，∠B=∠K=90°，AB=JK,AC=JL，那么△ABC≌△JKL 注意：前提条件是在两个直角三角形中，直角三角形用Rt表示 二、经典例题 【例1】下列条件不能作出唯一的直角三角形的是（　　） A．已知两条直角边 B．已知一锐角和一斜边 C．已知两锐角 D．已知斜边和一直角边 【变式1-1】如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线）． （1）若以“SAS”为依据，则可添加条件 　 　； （2）若以“HL”为依据，则可添加条件 　 ； （3）若以“ASA”为依据，则可添加条件 　 　； （4）若以“AAS”为依据，则可添加条件 　 　． 【例2】如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°． 【变式2-1】如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE． 求证：BC＝BE． 【例3】如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（BC＝EF），且AC＝DF，已知AC⊥BF，ED⊥BF，则∠B+∠F＝　 　°． 【变式3-1】如图，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC上点且CD＝CA，DE⊥BC．若AB＝5cm，DE＝2cm，则BE＝　 　cm． 【变式3-2】如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝135°，则∠EDF＝　 　． 【变式3-3】△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠C＝50°，AM、DN分别为BC、EF边的高，且AM＝DN，则∠F的度数为 　 　． 【例4】如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F．若求△DEF的周长，则只需知道（　　） A．AB的长 B．FE的长 C．DE的长 D．DF的长 【变式4-1】如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是 　 　． 【例5】如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF； （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）求证：AB＝CE+BF； （3）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数． 【变式5-1】四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO． 【例6】如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动．当AP的长为多少时，才能使以点P，A，Q为顶点的三角形与△ABC全等？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 探索三角形全等的条件HL 1、 知识解读 全等三角形判定5——“HL” 斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成HL) 要点诠释：如图，如果在Rt△ABC和Rt△JKL中，∠B=∠K=90°，AB=JK,AC=JL，那么△ABC≌△JKL 注意：前提条件是在两个直角三角形中，直角三角形用Rt表示 二、经典例题 【例1】下列条件不能作出唯一的直角三角形的是（　　） A．已知两条直角边 B．已知一锐角和一斜边 C．已知两锐角 D．已知斜边和一直角边 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】利用三角形全等的判定方法对各选项进行判定． 【解答】解：A、符合全等三角形的判定SAS，能作出唯一直角三角形； B、符合全等三角形的判定AAS，能作出唯一直角三角形； C、因为已知两个锐角，而边长不确定，故这样的三角形可作很多，而不是唯一的； D、符合全等三角形的判定HL，能作出唯一直角三角形； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【变式1-1】如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线）． （1）若以“SAS”为依据，则可添加条件 　PB＝PD　； （2）若以“HL”为依据，则可添加条件 　AB＝CD　； （3）若以“ASA”为依据，则可添加条件 　∠A＝∠C　； （4）若以“AAS”为依据，则可添加条件 　∠B＝∠D　． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】由全等三角形的判定方法即可判断． 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠APB＝∠CPB＝90°， 由AP＝CP，∠APB＝CPB，增加一个条件，使△ABP≌△CDP， （1）“SAS”为依据，则可添加条件PB＝PD； （2）若以“HL”为依据，则可添加条件AB＝CD； （3）若以“ASA”为依据，则可添加条件∠A＝∠C； （4）若以“AAS”为依据，则可添加条件∠B＝∠D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 【例2】如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°． 【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．版权所有 【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°． 【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠EAC＝∠BCF， ∵∠EAC+∠ACE＝90°， ∴∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式2-1】如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE． 求证：BC＝BE． 【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．版权所有 【分析】根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，∴CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，∴BD＝BF，∴BD﹣CD＝BF﹣EF，即BC＝BE． 【解答】证明：在Rt△ADC和Rt△AFE中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）． ∴CD＝EF． 在Rt△ABD和Rt△ABF中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）． ∴BD＝BF． ∴BD﹣CD＝BF﹣EF． 即BC＝BE． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．利用三角形全等提供的条件证明三角形全等是常见的方法，注意掌握． 【例3】如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（BC＝EF），且AC＝DF，已知AC⊥BF，ED⊥BF，则∠B+∠F＝　90　°． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【分析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF得到∠F＝∠ACB，则∠B+∠F＝∠B+∠ACB＝90°． 【解答】解：∵AC⊥BF，ED⊥BF， ∴∠BAC＝∠EDF＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∵BC＝EF，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠F＝∠ACB， ∴∠B+∠F＝∠B+∠ACB＝90°， 故答案为：90． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【变式3-1】如图，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC上点且CD＝CA，DE⊥BC．若AB＝5cm，DE＝2cm，则BE＝　3　cm． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】连接CE，由HL证得Rt△CDE≌Rt△CAE，得出DE＝AE＝2cm，即可得出结果． 【解答】解：如图，连接CE， ∵DE⊥BC， ∴∠CDE＝90°， 在Rt△CDE和Rt△CAE中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△CAE（HL）， ∴DE＝AE＝2（cm）， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣2＝3（cm）， 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，由“HL”证明Rt△CDE≌Rt△CAE是解题的关键． 【变式3-2】如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝135°，则∠EDF＝　45°　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由DE⊥AB，DF⊥BC得∠BED＝∠CDF＝90°，又有Rt△BED和Rt△CDF的斜边相等，还有一条直角边相等，可以证明Rt△BED≌Rt△CDF，则∠BDE＝∠CFD＝180°﹣135°＝45°，可以求得∠EDF＝45°，得到问题的答案． 【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠BED＝∠CDF＝90°， 在Rt△BED和Rt△CDF中 ， ∴Rt△BED≌Rt△CDF（HL）， ∴∠BDE＝∠CFD， ∵∠AFD＝135°， ∴∠CFD＝180°﹣∠AFD＝180°﹣135°＝45°， ∴∠BDE＝45°， ∴∠EDF＝180°﹣∠BDE﹣∠CDF＝180°﹣45°﹣90°＝45°， 故答案为：45°． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，根据“有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”证明Rt△BED≌Rt△CDF是解题的关键． 【变式3-3】△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠C＝50°，AM、DN分别为BC、EF边的高，且AM＝DN，则∠F的度数为 　50°或130°　． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【分析】分别画出两个三角形，①AM、DN都在三角形内部，根据直角三角形全等的判定定理（HL）可得出Rt△ACM≌Rt△DFN，从而可得出∠ABC＝∠DEF；②AM、DN有一个在三角形的外部，可证明Rt△ACM≌Rt△DFN，可求得∠DFN＝∠ACM＝60°，然后可求得∠DFE的度数． 【解答】解：如图1所示： ∵AM、DN分别为BC、EF边上的高， ∴△ACM和△DFN均为直角三角形． ∵在Rt△ACM和Rt△DFN中， ， ∴Rt△ACM≌Rt△DFN（HL）． ∴∠DFE＝∠ACB＝50°． 如图2所示： ∵AM、DN分别为BC、EF边上的高， ∴△ACM和△DFN均为直角三角形． ∵在Rt△ACM和Rt△DFN中， ， ∴Rt△ACM≌Rt△DFN（HL）． ∴∠DFN＝∠ACB＝50°． ∴∠DFE＝130°． 故答案为：50°或130°． 【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，需要掌握三角形的判定定理包括：SAS，AAS，ASA，SSS，HL（直角三角形的判定），注意AAA，SSA不能判定全等，分类画出图形是解题的关键． 【例4】如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F．若求△DEF的周长，则只需知道（　　） A．AB的长 B．FE的长 C．DE的长 D．DF的长 【考点】正方形的性质；平移的性质；勾股定理．版权所有 【分析】过B作BH⊥m于H，连接BE，BF，然后利用已知条件可以证明Rt△AEB≌Rt△HEB（HL），Rt△FCB≌Rt△FHB（HL），接着利用全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：过B作BH⊥m于H，连接BE，BF， ∵直线l向上平移线段AB的长得到直线m， ∴AH＝AB， 而∠A＝∠BHE＝90°，EB＝EB， ∴Rt△AEB≌Rt△HEB（HL）， ∴AE＝EH， 同理Rt△FCB≌Rt△FHB（HL）， ∴HF＝CF， ∴△DEF的周长为：DE+EF+DF＝DE+EH+HF+DF＝DE+AE+DF+CF＝AD+CD＝2AB． ∴求△DEF的周长，则只需知道AB的长． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，综合性比较强． 【变式4-1】如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是 　3　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】过点A作AH⊥BC于H，判定△ABC≌△AED，得出AF＝AH，再判定Rt△AFG≌Rt△AHG，判定Rt△ADF≌Rt△ABH，得出S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，再根据Rt△AFG≌Rt△AHG，求得Rt△AFG的面积＝6，进而得到FG的长． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示： 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED， 又∵AF⊥DE， 即×DE×AF＝×BC×AH， ∴AF＝AH， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC， ∴在Rt△AFG和Rt△AHG中， ∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL）， 同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL）， ∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12， ∵Rt△AFG≌Rt△AHG， ∴Rt△AFG的面积＝6， ∵AF＝4， ∴×FG×4＝6， 解得：FG＝3； 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 【例5】如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF； （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）求证：AB＝CE+BF； （3）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，可以得到Rt△ABE和Rt△CBF全等的条件，从而可以证明Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）根据Rt△ABE≌Rt△CBF，可以得到AB＝BC，BE＝BF，然后即可转化为AB、CE、BF的关系，从而可以证明所要证明的结论； （3）根据Rt△ABE≌Rt△CBF，AB＝CB，∠CAE＝30°，可以得到∠ACF的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠CBF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； （2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴AB＝BC，BE＝BF， ∵BC＝BE+CE， ∴AB＝CE+BF． （3）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∠CAE＝30°，∠CAB＝∠CAE+∠EAB， ∴∠BCA＝∠BAC＝45°， ∴∠EAB＝15°， ∵Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠EAB＝∠FCB， ∴∠FCB＝15°， ∴∠ACF＝∠FCB+∠BCA＝15°+45°＝60°， 即∠ACF＝60°． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件． 【变式5-1】四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据已知条件得到BF＝DE，由垂直的定义得到∠AED＝∠CFB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE＝∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵BE＝DF， ∴BE﹣EF＝DF﹣EF， 即BF＝DE， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， 在Rt△ADE与Rt△CBF中，， ∴Rt△ADE≌Rt△CBF； （2）如图，连接AC交BD于O， ∵Rt△ADE≌Rt△CBF， ∴∠ADE＝∠CBF， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【例6】如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动．当AP的长为多少时，才能使以点P，A，Q为顶点的三角形与△ABC全等？并说明理由． 【考点】全等三角形的判定；勾股定理．版权所有 【分析】当点P位于AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，分别利用HL定理进行判定即可． 【解答】解：当点P位于AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等， 理由是：∵∠C＝90°，AQ⊥AC， ∴∠C＝∠QAP＝90°， ①当AP＝3＝BC时， 在Rt△ACB和Rt△QAP中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL） ②当AP＝6＝AC时， 在Rt△ACB和Rt△PAQ中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL）， 故当AP为3或6时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$