浙江省丽水市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

丽水市2023学年第二学期普通高中教学质量监控 高二数学试题卷 2024.6 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，其中为虚数单位，则 A．0 B．1 C．2 D． 3．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线，和平面，则下列判断中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．若样本，，，，的平均数为10，方差为20，则样本，，，，的平均数和方差分别为 A．16，40 B．16，80 C．20，40 D．20，80 6． 已知，，，则 A． B． C． D． 7．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“第一次摸出球的标号为奇数”，则 A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．A与C互斥 D．A与C相互独立 8．已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则 A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 10．在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是 A．若，则的面积为 B．若，则 C．若，则 D．若有两解，则 11．如图，在矩形中，，是的中点，沿直线将翻折成（不在平面内），是的中点，设二面角的大小为．第11题图 MA A1 DA BA CA A EA A．若，则 B．直线与所成的角为定值 C．若，则三棱锥的外接球的表面积为 D．设直线与平面所成的角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则 . 13．已知，，则 . 14．已知，，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（满分15分）已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值，以及相应的值． 16．（满分15分）本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩，被抽取的成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按照如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，画出频率分布直方图如图所示．0.020 分数0 0.020 0.025 0.005 40 0.010 50 60 70 80 900 1000 第16题图 （1）求频率分布直方图中的值； （2）求该样本的中位数； （3）为进一步了解学生的学习情况，从分数位于的学生中，按照第二组，第三组，第四组分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数不在同一组内的概率． 17．（满分15分）如图，在四棱锥中，，，，平面，为的中点． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值．E B A D P C 18．（满分16分）已知，函数． （1）若，解不等式； （2）证明：函数有唯一零点； （3）设，证明：． 19．（满分16分）设为正整数，，，记 ． （1）当时，若，，求的值； （2）当时，设集合，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多； （3）当时，，，其中是锐角的三个内角，证明：． 高二数学试题卷 第1 页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丽水市2023学年第二学期普通高中教学质量监控 高二数学答案 （2024.06） 一、单项选择题 1-4 CBBC 5-8 BADD 2、 多项选择题 9．BD 10．ACD 11．BCD 三、填空题 12．1 13． 14． 四、解答题 15．（满分15分） （1）由题 所以周期， ……………………7分 （2）因为，所以，则， 所以当，即时，有最大值2 . ……………………15分 16． （满分15分） （1）由频率分布直方图可得： ， 得； ……………………4分 （2）设中位数为该样本的中位数为 所以，得； ……………………9分 （3）由分层抽样知，第二组中抽1人，记作，第三组中抽2人，记作，第四组中抽3人，记作， 这6人中抽取2人有，，，，，，，，，，，，，，，共个样本点； 2人来自同一组的有，，，共4个样本点， 所以2人来自不同组的的概率； ………………15分 ( E B A D P C )17．（满分15分） （1）证明：取的中点,连结,又为的中点， 所以，， 又，， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面 所以平面； ……………7分 （2）过作直线的垂线，为垂足，连结， 由三棱锥的体积为，得,解得， 因为平面，所以，又，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以直线在平面上的射影为直线， 所以即为与平面所成角， 在中，,所以， 所以与平面所成角的正弦值为.……………15分 18．（满分16分） （1）当时，不等式即为，即 所以 解得 ……………4分 （2）在定义域内单调递增， 又， ， 所以由零点存在定理得，函数有唯一零点，且零点在内. …………10分 （3）由知， 因为， 所以 …………16分 19．（满分16分） （1）因为， 所以 …………4分 （2）满足条件的集合 …………8分 （3）因为，，所以 又因为是锐角的三个内角， 所以， 所以 同理,， 所以 又 所以．…………16分 高二数学试题卷 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$