2.4圆的方程（六大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

2.4圆的方程 知识点1 圆的标准方程 1．圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点2 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 知识点3 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则.综上,. 知识点4 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 题型一 圆的标准方程与圆心及半径 1．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 4．圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 6．过三点的圆的标准方程是 . 7．已知圆C经过点，且有一条直径的两个端点分别在x，y轴上，则圆C的面积的最小值为 ． 8．与圆有相同圆心，且过点的圆的标准方程是 . 题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 9．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 10．若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 12．已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（多选）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 14．（多选）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 15．已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 题型三 圆的一般方程 16．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 17．经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 18．已知圆的面积为，则实数的值为 . 19．已知圆C：不经过第三象限，则实数m的最大值为 ． 20．已知点，，，四点共圆，则 . 21．圆心在y轴上，经过点且与x轴相切的圆的方程是 ． 22．已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. 题型四 点与圆的位置关系 23．已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．已知圆经过点，且点到点的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 25．已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 26．（多选）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 27．（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 28．若点在圆外，则实数的取值范围为 . 题型五 定点到圆上点的距离 29．已知圆的半径为1，以点为圆心，若圆上的点到原点的距离的最大值为7，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 30．已知点，点Q为圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．已知为坐标原点，点在圆上，则的最小值为 ． 33．已知实数，满足方程，则的取值范围为 . 34．已知圆C：，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ． 35．已知实数x，y满足方程，求的取值范围． 36．点M在圆上，点N在圆上，求的最大值． 题型六 轨迹方程——圆 37．已知，若直线上有且只有一点满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 38．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 39．已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（    ） A． B． C． D． 40．已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 41．如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 42．已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程． 43．已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4圆的方程 知识点1 圆的标准方程 1．圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点2 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 知识点3 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则.综上,. 知识点4 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 题型一 圆的标准方程与圆心及半径 1．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 2．过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆可知，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 故选：D 3．已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆经过点和，可知圆心在直线上， 又圆心在直线上， 所以的坐标为，半径， 所以圆的面积为． 故选：D． 4．圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D 5．求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 6．过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【详解】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 7．已知圆C经过点，且有一条直径的两个端点分别在x，y轴上，则圆C的面积的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为圆C的一条直径的两个端点分别在x，y轴上， 所以该圆一定过原点O， 又圆C经过点，所以当OM为圆C的直径时，圆C的面积最小， 又，所以圆C的面积最小值为. 故答案为：. 8．与圆有相同圆心，且过点的圆的标准方程是 . 【答案】 【详解】圆的标准方程为，则圆心， 因为圆过点半径， 则圆的标准方程为. 故答案为：. 题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 9．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 10．若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 11．下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，方程表示的图形是一个点； 对于B，，，方程不表示圆； 对于C，，，当时，方程不表示圆； 对于D，，，方程表示圆； 综上，以上方程能表示圆的是D选项中的方程． 故选：D． 12．已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以， 若曲线是圆，所以，所以或， 所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件. 故选：A. 13．（多选）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 14．（多选）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 【答案】ACD 【详解】将圆的方程为化为标准式为， 由，解得，故A正确，B错误； 当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大， 此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确； 故选：ACD 15．已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 题型三 圆的一般方程 16．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即， 故该圆的圆心坐标为，半径为． 故选：A． 17．经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 18．已知圆的面积为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】设圆的半径为r，则由题意， 故，将圆一般式化为标准式得， 则， 故答案为：2. 19．已知圆C：不经过第三象限，则实数m的最大值为 ． 【答案】 【详解】圆方程整理为，则圆心， ，因为圆不经过第三象限， 所以，解得，则. 故答案为：. 20．已知点，，，四点共圆，则 . 【答案】1 【详解】设过，，的圆的方程为，， 则， 解得， 所以过，，的圆的方程为， 又点在此圆上， 所以， 即， 所以， 故答案为：1 21．圆心在y轴上，经过点且与x轴相切的圆的方程是 ． 【答案】 【详解】由题意，设圆的方程为，因为圆经过点， 所以把点代入圆的方程，得，整理得，∴， 所以圆的方程为，即， 故答案为：. 22．已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. 【答案】(1)； (2)（或）； 【详解】（1）由题意可得的斜率为， 可得直线l的斜率为，由点斜式方程可得， 即直线； （2）联立直线l和方程，解得； 联立直线l和方程，解得； 如下图所示： 设过三点A，B，O的圆的方程为， 将三点坐标代入可得，解得， 可得圆的方程为（或）. 题型四 点与圆的位置关系 23．已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立，解得，即点在圆的内部， 即有，解得. 故选：D. 24．已知圆经过点，且点到点的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知：，整理得：① 又由点到点的距离为3可得：② 联立①②，解得：或. 故. 故选：B. 25．已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【答案】C 【详解】∵， ∴点P在圆外. 故选：C． 26．（多选）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】BC 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，得，即， 若点在圆内，则，解得：． 对照各个选项，可知B、C两项符合题意． 故选：BC． 27．（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 【答案】ABC 【详解】线段的中点坐标为， 又， 因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 对于A，点代入，所以点在圆上，故A正确； 对于B，点代入，所以点在圆外，故B正确； 对于C，点代入，所以点在圆内，故C正确； 对于D，点代入，所以点在圆上，故D错误. 故选：ABC. 28．若点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 由于点在圆外， 所以，解得， 故答案为： 五、 题型五 定点到圆上点的距离 29．已知圆的半径为1，以点为圆心，若圆上的点到原点的距离的最大值为7，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设为圆上的点，则. 因为. 故选：A 30．已知点，点Q为圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以在直线即上. 又圆心到直线的距离为：，所以的最小值为：. 故选：C 31．已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知， 设为圆上一动点， 设， 因为，所以在圆外， 则，其中表示圆上点P与点Q距离的平方， 因为，圆半径， 所以，即 所以. 故选：D 32．已知为坐标原点，点在圆上，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】 如图， 令，，得，，即， ， 则当时，有最小值为2． 故答案为：2． 33．已知实数，满足方程，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】方程化为：，于是，解得， 所以. 故答案为： 34．已知圆C：，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】， 所以半径，当且仅当时，半径最小， 此时圆心为，圆心到原点的距离为， 因为， 所以原点在圆外，根据圆的性质， 圆上的点到坐标原点的距离的最大值为， 故答案为： 35．已知实数x，y满足方程，求的取值范围． 【答案】 【详解】如图所示， 可以看成圆上的点到点的距离． 圆心到点的距离．    由图可知，圆上的点到的距离的取值范围是， 即的取值范围是． 36．点M在圆上，点N在圆上，求的最大值． 【答案】 【详解】，所以圆心，半径为， ，所以圆心，半径为， 如图所示：当依次在一条直线上时，最大， 最大值为：.    题型六 轨迹方程——圆 37．已知，若直线上有且只有一点满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】设动点，由题意得， 化简可得，故动点的轨迹方程为． 动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 且在直线上， 因为直线上有且只有一点满足， 所以直线与圆相切，且切点为， 由，得，所以或， 故选：D． 38．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：C. 39．已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设线段的中点，， 则，即， 又因为端点在圆上运动，所以， 即， 整理得：， 所以点的轨迹方程是以圆心为，半径为的圆. 所以该圆的面积为. 故选：C. 40．已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设，则， 即， 整理得：. ∵三点构成三角形，∴. ∴顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 41．如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【答案】 【详解】由三角形的角平分线的性质，可得，所以， 设点，则， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 42．已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程． 【答案】且 【详解】设，又，为线段的中点，∴． 由于,所以， 即可， 由于三点不共线，所以且，所以且， ∴中点的轨迹方程为且 43．已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，设点，又， 因为，即， 化简可得，即， 所以动点P的轨迹方程为； （2）设，又， 因为，所以， 即，得， 由（1）知，所以， 整理得动点Q的轨迹方程为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$