5.4.2 第2课时 单调性与最值 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第2课时　单调性与最值 课标定位 素养阐释 1.了解正弦函数和余弦函数的单调性,并能利用单调性比较大小. 2.了解正弦函数和余弦函数的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质. 4.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、正弦函数、余弦函数的单调性 2.观察余弦函数y=cos x,x∈[-π,π]的图象,余弦函数在区间 [-π,π]上函数值的变化有什么特点?推广到整个定义域呢? 提示:观察图象可知,当x∈[-π,0]时,曲线逐渐上升,函数y=cos x在区间[-π,0]上单调递增,cos x的值由-1增大到1; 当x∈[0,π]时,曲线逐渐下降,函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减,cos x的值由1减小到-1. 推广到整个定义域可得: 当x∈[(2k-1)π,2kπ],k∈Z时,余弦函数y=cos x单调递增,函数值由-1增大到1; 当x∈[2kπ,(2k+1)π],k∈Z时,余弦函数y=cos x单调递减,函数值由1减小到-1. 答案:C 二、正弦函数、余弦函数的最值 1.观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线: 余弦曲线: (1)从正弦曲线、余弦曲线上很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R,值域是什么? 提示:[-1,1]. (2)当x取何值时,正弦函数y=sin x,x∈R分别取得最大值1和最小值-1? 3.函数y=2-sin x取得最大值时x的值为　　　　　.  【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)在区间[0,3π]上,函数y=cos x仅在x=0时取得最大值1.( × ) (3)余弦函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减.( √ ) 合作探究·释疑解惑 探究一 求正弦函数、余弦函数的单调区间 反思感悟 用整体替换法求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的单调区间时,如果式子中x的系数为负数,那么先利用诱导公式将x的系数变为正数,再求其单调区间.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式. 探究二 正弦函数、余弦函数单调性的应用 反思感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时,应先将异名化同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间,再利用单调性来比较大小. 【变式训练2】 cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是　　　　　. (用“>”连接)  解析:因为0<1<2<3<π,且y=cos x在区间[0,π]上单调递减, 所以cos 1>cos 2>cos 3. 答案:cos 1>cos 2>cos 3 探究三 正弦函数、余弦函数的值域或最值 反思感悟 常见的与三角函数有关的求值域或最值的类型有以下几种: (1)形如y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)的函数,令t=ωx+φ,先根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性求出y=sin t或y=cos t的最值(值域). (2)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数,可先设t=sin x,将函数y=asin2x+bsin x+c(a≠0)转化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0),再根据二次函数的单调性求值域(最值). (3)形如y=asin x或y=acos x的函数的最值还要注意对a的讨论. 答案:C 易 错 辨 析 求三角函数最值时忽视分类讨论致错 提示:错解中默认a>0,忽视了对a<0这一情况的讨论,导致丢解. 防范措施 形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的函数,其最值与参数A的正负有关,因此在解决这类问题时,要注意分A>0和A<0两种情况进行讨论. 随 堂 练 习 1.下列不等式正确的是(　　) A.sin 11°<cos 10°<sin 168°B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10°D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 解析:由诱导公式,得cos 10°=sin 80°, sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°. 因为当0°≤x≤90°时,y=sin x单调递增, 所以sin 11°<sin 12°<sin 80°, 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C. 答案:C 2.y=sin x-|sin x|的值域是(　　) A.[-1,0] B.[0,1] C.[-1,1] D.[-2,0] 答案:D 答案:D 4.若函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是 　　　　　.  解析:因为y=cos x在区间[-π,0]上单调递增,在区间[0,π]上单调递减,所以只有-π<a≤0时满足条件,故a∈(-π,0]. 答案:(-π,0] 1.观察正弦函数y=sin x,x∈的图象,正弦函数在区间 上函数值的变化有什么特点? 提示:观察图象可知,当x∈时,曲线逐渐上升,可知y=sin x 在区间上单调递增,sin x的值由-1增大到1;当x∈ 时,曲线逐渐下降,可知y=sin x在区间上单调递减,sin x 的值由1减小到-1. 3.(1)正弦函数在每一个闭区间 (k∈Z) 上都单调递增,其值从-1增大到1;在每一个闭区间 (k∈Z) 上都单调递减,其值由1减小到-1. (2)余弦函数在每一个闭区间 [(2k-1)π,2kπ] ,k∈Z上都单调递增, 其值从-1增大到1;在每一个闭区间 [2kπ,(2k+1)π] ,k∈Z上都单 调递减,其值从1减小到-1. 4.函数y=sin x在下列区间上单调递增的是(　　) A.[0,π] B. C. D.[π,2π] 解析:由函数y=sin x的单调递增区间是[-+2kπ,+2kπ],k∈Z,可知当k=0时,y=sin x在区间上单调递增,故选C. 提示: 当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1; 当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,函数取得最小值-1. 2.(1)正弦函数当且仅当x= +2kπ,k∈Z时取得最大值1, 当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时取得最小值-1; (2)余弦函数当且仅当x= 2kπ,k∈Z 时取得最大值1,当且仅当 x= (2k+1)π,k∈Z 时取得最小值-1. 解析:当sin x=-1,即x=-+2kπ(k∈Z)时, 函数y=2-sin x取得最大值3. 答案:-+2kπ(k∈Z) (2)存在实数x,使得cos x=.( × ) 【例1】 (1)求函数y=2sin的单调递增区间. (2)求函数y=2的单调递增区间. 解:(1)y=2sin=-2sin(x-), 令z=x-,则y=-2sin z. 由y=-2sin z的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z), 可得2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z), 解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z), 所以函数y=2sin的单调递增区间为 (k∈Z). (2)y=2=2.结合y=|cos x|的图象, 可知kπ-≤x-≤kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 所以函数y=2的单调递增区间为 [kπ-,kπ+](k∈Z). 【变式训练1】 (1)求函数f(x)=2cos的单调递增区间; (2)已知ω是正数,函数f(x)=2sin ωx在区间上单调递增,求ω的取值范围. 解:(1)令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 故函数f(x)的单调递增区间是[-+kπ,+kπ],k∈Z. (2)由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z),ω>0, 得-≤x≤(k∈Z). 故f(x)的单调递增区间是[-](k∈Z). 根据题意,得⊆[-](k∈Z). 从而有解得0<ω≤, 故ω的取值范围是. 【例2】 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小: (1)sin 196°与cos 156°; (2)cos与cos. 解:(1)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°,且当0°≤x≤90°时, y=sin x单调递增,∴sin 16°<sin 66°. ∴-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°. (2)cos=cos =cos=cos , cos=cos=cos=cos. ∵0<<π,且y=cos x在区间[0,π]上单调递减, ∴cos <cos, 即cos<cos. 【例3】 (1)求函数f(x)=2cos,x∈的值域; (2)求函数f(x)=-2cos2x+2sin x+,x∈的值域. 解:(1)因为-<x<,所以0<2x+, 所以-<cos<1, 所以函数y=2cos,x∈的值域为(-1,2). (2)由已知可得f(x)=2sin2x+2sin x-. 令t=sin x,因为x∈, 所以t∈. 所以f(x)可化为y=2t2+2t-=2-1,t∈. 所以当t=时,ymin=1;当t=1时,ymax=. 所以函数f(x)的值域是. 【变式训练3】 函数y=2sin2x+2cos x-3的最大值是(　　) A.-1 B. C.- D.-5 解析: y=2sin2x+2cos x-3=-2cos2x+2cos x-1 =-2≤-,故选C. 【典例】 已知函数y=2asin+b的定义域为,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值. 错解:∵0≤x≤,∴-≤2x-. ∴-≤sin≤1. 则解得 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 正解:∵0≤x≤,∴-≤2x-. ∴-≤sin≤1. 若a>0,则解得 若a<0,则解得 解析:因为y=所以函数y的值域为[-2,0]. 3.函数f(x)=2sin,x∈[-π,0]的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 解析:令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z, 解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z. 故函数f(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z). 又因为-π≤x≤0,所以函数f(x)的单调递增区间是. 解:∵-1≤sin x≤1,∴当sin x=-1时,函数y取得最大值5, 此时x=2kπ-(k∈Z), 即x=4kπ-π(k∈Z), 故自变量x的取值集合为{x|x=4kπ-π,k∈Z}; 当sin x=1时,函数y取得最小值1,此时x=2kπ+(k∈Z), 即x=4kπ+π(k∈Z), 故自变量x的取值集合为{x|x=4kπ+π,k∈Z}. 5.求函数y=3-2sin x的最值及取到最值时的自变量x的取值 集合. $$