1.5 全称量词与存在量词（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 【考点1：全称量词命题的判断】 【考点2：存在量词命题的判断】 【考点3：判断全称、存在量词命题的真假】 【考点4：命题的否定】 【考点5：求含有量词的参数】 知识点1：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围）， 符号表示为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” 知识点2：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假。 知识点4：命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【考点1：全称量词命题的判断】 【典例1】多选题下列命题中，全称量词命题为（    ） A．存在一个菱形，它的四条边不相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．任何一个素数是奇数 D．梯形有两边平行 【变式1-1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数，使得是质数 D．， 【变式1-2】下列命题中为全称量词命题的是（   ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．存在一个实数与它的相反数的和为0 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【考点2：存在量词命题的判断】 【典例2】下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【变式2-1】下列命题是存在量词命题的是（    ） A．一次函数的图象都是上升的或下降的 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0 C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直 【考点3：判断全称、存在量词命题的真假】 【典例3】多选题下列命题是真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数x，使 【变式3-1】下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】下列命题中的假命题是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】多选题下列命题是真命题的有（    ） A．“，”的否定为“，”. B．“且”是“”的充分不必要条件. C．“”是“”的必要不充分条件. D．“”的充要条件是“”. 【考点4：命题的否定】 【典例4】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】命题“存在”的否定是（    ） A．存在 B．任意的 C．任意的 D．任意的 【变式4-3】命题“，”的否定形式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点5：根据全称，存在性命题的真假求参数取值范围】 【典例5】已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【变式5-1】已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式5-2】若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ． 【变式5-3】多选题已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 1．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．已知命题，则（    ） A． B． C． D． 3．已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．下列命题是假命题是（    ） A．， B．，使得成立 C．， D．所有的菱形都是平行四边形 5．已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．多选题下列四个命题为真命题的是（    ） A．所有平面四边形的内角和都是 B． C．是无理数}，是无理数 D．对所有实数a，都有 8．多选题下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A． B． C．菱形的对角线互相垂直 D．任意四边形均有外接圆 9．多选题已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（ ） A． B． C． D． 10．多选题下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 11．命题：“”的否定是 ． 12．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 全称量词与存在量词 【考点1：全称量词命题的判断】 【考点2：存在量词命题的判断】 【考点3：判断全称、存在量词命题的真假】 【考点4：命题的否定】 【考点5：求含有量词的参数】 知识点1：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围）， 符号表示为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” 知识点2：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假。 知识点4：命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【考点1：全称量词命题的判断】 【典例1】多选题下列命题中，全称量词命题为（    ） A．存在一个菱形，它的四条边不相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．任何一个素数是奇数 D．梯形有两边平行 【答案】BCD 【分析】根据全称量词命题的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”，含有存在量词， 则命题为存在量词命题，故A不是； 对于B，命题可以换成“任意平行四边形的对角线互相平分”， 则命题为全称量词命题，故B是； 对于C，命题“任何一个素数是奇数”为全称量词命题，故C是； 对于D，命题可以换成“任意梯形有两边平行”， 则命题为全称量词命题，故D是. 故选：BCD. 【变式1-1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数，使得是质数 D．， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义分析判断. 【详解】对于ACD，均为存在量词命题， 对于B中的命题是全称量词命题. 故选：B 【变式1-2】下列命题中为全称量词命题的是（   ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．存在一个实数与它的相反数的和为0 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【答案】B 【分析】根据全程量词命题和存在量词命题的定义即可得出答案. 【详解】解：对于A，含有存在量词有些，为存在量词命题； 对于B，含有全称量词都有，为全称量词命题； 对于C，含有存在量词存在一个，为存在量词命题； 对于D，含有存在量词有一条，为存在量词命题. 故选：B. 【考点2：存在量词命题的判断】 【典例2】下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【答案】D 【分析】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题. 【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题. 故选：D 【变式2-1】下列命题是存在量词命题的是（    ） A．一次函数的图象都是上升的或下降的 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0 C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义作出判断. 【详解】选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题． 故选：C 【考点3：判断全称、存在量词命题的真假】 【典例3】多选题下列命题是真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数x，使 【答案】ABD 【分析】利用配方法即可判断AC，利用正方形概念判断B，解二次方程判断D. 【详解】对于A，，，正确； 对于B，所有的正方形都是矩形，正确； 对于C，，，错误； 对于D，因为，所以，即有两个实数x，使，正确. 故选：ABD 【变式3-1】下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对A：由判断命题为假；对B：当时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由判断命题为假. 【详解】，，故是假命题； 当时，，故是假命题； ，，故是真命题； 方程中，此方程无解，故是假命题. 故选:：C. 【变式3-2】下列命题中的假命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解. 【详解】对于A，当时，，为真命题，故A错误； 对于B，因为，所以，则，为真命题，故B错误； 对于C，当时，，为假命题，故C正确； 对于D，由，得，为真命题，故D错误. 故选：C. 【变式3-3】多选题下列命题是真命题的有（    ） A．“，”的否定为“，”. B．“且”是“”的充分不必要条件. C．“”是“”的必要不充分条件. D．“”的充要条件是“”. 【答案】BC 【分析】根据特称命题的否定得到A错误，根据充分不必要条件条件和必要不充分条件的判断得到BC正确，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：“，”的否定为“，”，错误； 对选项B：若且，则； 若，取，不满足且. 故“且”是“”的充分不必要条件，正确； 对选项C：若，当时，；若，则且， 故“”是“”的必要不充分条件，正确； 对选项D：当时，，但是不成立，错误； 故选：BC 【考点4：命题的否定】 【典例4】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】全称命题的否定是特称命题。 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是“”． 故选：A 【变式4-1】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 【变式4-2】命题“存在”的否定是（    ） A．存在 B．任意的 C．任意的 D．任意的 【答案】D 【分析】根据带量词的命题的否定要求，分别否定量词和结论即得. 【详解】由题意可得：命题“存在”的否定是“任意的”. 故选：D. 【变式4-3】命题“，”的否定形式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得 命题“，”的否定形式是，. 故选：D. 【考点5：根据全称，存在性命题的真假求参数取值范围】 【典例5】已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 【变式5-1】已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知命题的否定为真命题，转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“任意，”是真命题， 即在上恒成立， 当时，不等式化为恒成立， 当时，若在R上恒成立， 则，解得， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式5-2】若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】原命题转化为“方程有实数解”，再由可求实数的取值范围. 【详解】若命题“，使得”是真命题，也就是“方程有实数解”， ∴ . 故答案为： 【变式5-3】多选题已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可. 【详解】命题，为假命题，则，. 当时满足题意；当时，有，解得. 综上有 故选：ABC 1．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得正确的选项. 【详解】命题“，”的否定为：，”， 故选：C. 2．已知命题，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题的否定是：. 故选：B 3．已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知需要大于的最小值，求出其最小值即可得. 【详解】由题意得，又，此时，故. 故选：A. 4．下列命题是假命题是（    ） A．， B．，使得成立 C．， D．所有的菱形都是平行四边形 【答案】C 【分析】直接判定全称命题和特称命题的真假即可. 【详解】对于A，显然，使成立，故A为真命题； 对于B，显然，使得成立，故B为真命题； 对于C，显然时，，故C为假命题； 对于D，显然所有菱形均是平行四边形，故D为真命题. 故选：C 5．已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次方程判别式与存在量词命题的真假性即可得解. 【详解】因为为真命题， 所以，解得. 故选：A. 6．已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：因为命题p“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 令，其对称轴为， 当，即时，，解得，此时； 当，即时，，解得，此时无解； 当，即时，，即，此时， 综上：实数a的取值范围是， 故选：B 7．多选题下列四个命题为真命题的是（    ） A．所有平面四边形的内角和都是 B． C．是无理数}，是无理数 D．对所有实数a，都有 【答案】AC 【分析】根据全称命题和特称命题的性质逐项判断真假即可. 【详解】对于A，所有平面四边形的内角和都是，故A是真命题； 对于B，由于方程的，再根据二次函数图象可得一元二次不等式在实数上解集为，故B是假命题； 对于C，例如是无理数，则也是无理数，故C是真命题； 对于D，当时，，故D是假命题. 故选：AC. 8．多选题下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A． B． C．菱形的对角线互相垂直 D．任意四边形均有外接圆 【答案】AC 【分析】根据全称量词的定义，逐项判断命题真假即可. 【详解】对于A，“”是全称量词，且由于，故对，为真命题，故A正确； 对于B，“”是存在量词，故B错误； 对于C，“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，故C正确， 对于D，任意四边形不一定有外接圆，对角和为的四边形，有外接圆； 对角和不是的四边形，没有外接圆，故D错误. 故选：AC. 9．多选题已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据命题是假命题得到对应的真命题，然后利用判别式完成计算，从而确定出的可能范围. 【详解】因为命题是假命题， 所以可知“,”为真命题， 所以，所以， 又因为“”可以推出“”， “”可以推出“”， 故选：BCD. 0．多选题下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 【答案】AB 【分析】对A，求出判别式判断；对B，由平行四边形的性质判断；对C，将配方可判断；对D，根据菱形的性质可判断. 【详解】对于A，方程的判别式，故A正确； 对于B，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误. 故选：AB. 10．命题：“”的否定是 ． 【答案】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定. 【详解】命题：“”的否定是“”. 故答案为： 11．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论和，根据条件列出不等式组求解m的取值范围； （2）将条件转化为，进而求出m的取值范围. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数m的取值范围为 （2）由题意，所以即， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$