1.4 充分、必要的条件（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

1.4 充分、必要的条件 【考点1：充分条件的判断及性质】 【考点2：必要条件的判断及性质】 【考点3：判断命题的充分不必要和必要不充分的条件】 【考点4：利用充分条件、必要条件求参数范围】 【考点5：充分性和必要性的证明】 【考点6：充要条件的证明】 知识点1：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【注意】 （1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后； （2）p是q的充分条件或q是p的必要条件； （3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p； “q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 知识点2 ：充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 【考点1：充分条件的判断及性质】 【典例1】多选题使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点2：必要条件的判断及性质】 【典例2】多选题下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】多选题使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【考点3：判断命题的充分不必要和必要不充分的条件】 【典例3】若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点4：利用充分条件、必要条件求参数范围】 【典例4】多选题若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式4-1】多选题可以作为“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【考点5：充分性和必要性的证明】 【典例5】设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式5-1】设全集，集合，集合. (1)若，求与； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式5-2】已知集合 或. (1)若 ，求； (2)若 “ ” 是 “” 的充分条件，求的取值范围. 【变式5-3】已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【考点6：充要条件的证明】 【典例6】若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【变式6-1】命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 【变式6-2】若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【变式6-3】方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．条件“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 9．巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知，为实数，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 12．已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 14．设，则“"是“”的 条件． 15．已知集合. (1)若集合是集合的充分条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 16．已知集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17．已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 18．设集合 . (1)若，试求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 充分、必要的条件 【考点1：充分条件的判断及性质】 【考点2：必要条件的判断及性质】 【考点3：判断命题的充分不必要和必要不充分的条件】 【考点4：利用充分条件、必要条件求参数范围】 【考点5：充分性和必要性的证明】 【考点6：充要条件的证明】 知识点1：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【注意】 （1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后； （2）p是q的充分条件或q是p的必要条件； （3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p； “q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 知识点2 ：充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 【考点1：充分条件的判断及性质】 【典例1】多选题使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分条件的定义及集合间的关系判定即可. 【详解】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 【变式1-1】使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出不等式，然后根据充分条件的定义求解即可. 【详解】由，即， 因为， 所以使不等式成立的一个充分条件是， 而其他选项皆不满足. 故选：A. 【变式1-2】的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】逐个分析或者举出反例即可. 【详解】对于A：当时，满足，此时， 所以不是的充分条件； 对于B：，则，所以， 所以是的充分条件； 对于C：当时，满足，此时， 所以不是的充分条件； 对于D：，则，所以，即， 所以是的充分条件， 故选：BD 【变式1-3】若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意可得， 所以且，解得， 故选：C 【考点2：必要条件的判断及性质】 【典例2】多选题下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据必要条件的定义求解. 【详解】“”成立的必要条件即不能比范围小， 观察选项，BCD符合， 故选：BCD. 【变式2-1】使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断． 【详解】 ， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 【变式2-2】多选题使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据必要条件的基本概念逐项判断即可得到答案. 【详解】对于选项A，由不能推出，由可以推出， 所以是的必要条件. 对于选项B，由不能推出，由可以推出， 所以是的必要条件. 对于选项C，由能推出，由不能推出， 所以是的充分条件. 对于选项D，由能推出，由不能推出， 所以是的充分条件. 故选：AB. 【考点3：判断命题的充分不必要和必要不充分的条件】 【典例3】若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据集合关系考查充分性及必要性即可求解. 【详解】 若，则，， 则“”是“”的充分条件； 若，则， 则时，不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件, 故选：A. 【变式3-1】已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】因为，所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件求解即可. 【详解】因为，而推不出，例如满足，但不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【变式3-3】使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解出不等式解集，根据题意可知所选取的条件为不等式解集的真子集，由此作出选择即可. 【详解】由题意可得， 又因为， 所以的一个充分不必要条件可以是D选项， 故选：D. 【变式3-4】“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 【考点4：利用充分条件、必要条件求参数范围】 【典例4】多选题若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】AB 【分析】根据必要不充分条件的定义求解. 【详解】由，解得或，所以p：或， 因为p是q的必要不充分条件，所以方程一定有解，则， 所以或，解得或， 故选:AB. 【变式4-1】多选题可以作为“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据充分不必要条件的知识求得正确答案. 【详解】“”的充分不必要条件可以是：、， 所以BD选项正确，AC选项错误. 故选：BD 【变式4-2】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 【考点5：充分性和必要性的证明】 【典例5】设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，然后列出关于的不等式组可求得结果； （2）分和两种情况求解即可. 【详解】（1）因为是的充分条件，所以， 因为，， 所以，解得 故实数a的取值范围为 （2）①当时，满足，所以，解的； ②当时，因为，，且， 所以，解得， 综上所述：实数a的取值范围 【变式5-1】设全集，集合，集合. (1)若，求与； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）当时，可得，结合集合的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据给定条件，转化成集合的真包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）当时，可得， 因为集合， 则 又由或， 则或或. （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得， 因为，， 可得且等号不能同时取到，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式5-2】已知集合 或. (1)若 ，求； (2)若 “ ” 是 “” 的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由集合的补集和交集的定义可得结果； （2）利用充分条件的定义，结合子集的定义得出关于a的不等式组，解出即可. 【详解】（1）若 ，则或， 所以或. （2）“” 是 “” 的充分条件 ①当时，，即时，满足题意； ②当时，依题意有或，解得：， 综上，的取值范围是. 【变式5-3】已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解． （2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解． 【详解】（1）∵，又， ∴． （2）∵是的必要不充分条件， ∴ ， ∴（等号不同时成立），解得， ∴a的取值范围为． 【考点6：充要条件的证明】 【典例6】若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值. 【详解】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 【变式6-1】命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 【变式6-2】若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 【变式6-3】方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】， 则不能推出，但可以推出， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据充分条件的定义可得，结合集合间的关系即可求解. 【详解】由题意，因为“”的充分条件是“”， 所以，即， 解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 3．条件“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】由可得或，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由可得或， 故由条件“”不能推出“”，故充分性不成立． 当时，，故由“”能推出“”，故必要性成立． 综上，条件“”是“”必要不充分条件， 故选：B． 4．“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解方程求的根，根据充分、必要性定义判断它们的关系. 【详解】由，可得或， 所以是的充分不必要条件. 故选：C 5．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合交集的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】，此时不一定成立， ， 所以”是“”的必要不充分条件， 故选：A 6．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由“”解得的范围，进行判断. 【详解】由可得，即,解得或, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可. 【详解】由，得，解得或, 所以时，具有充分性； 而时，或，不具有必要性. 故选：B 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求得的解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，解得或，所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 9．巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种， 则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”. 所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件. 故选：B 10．已知，为实数，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】直接由不等式的性质、充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】一方面：若，，则； 另一方面：若，此时有，但； 即“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 11．设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】分别验证充分性和必要性得到答案. 【详解】若是方程的根，则； 若，则，即是方程的根. 综上所述：关于的方程有一个根是1是的充要条件. 故选：A. 12．已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】，由可以推出，故必要性满足； 由不能推出，故充分性不满足； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 13．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据必要不充分条件列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】由于“”是“”的必要不充分条件， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 14．设，则“"是“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】解不等式得到，根据推出关系得到答案. 【详解】，故，解得， 因为，但， 故“"是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 15．已知集合. (1)若集合是集合的充分条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原问题等价转换为由包含关系求参数，根据包含关系列出不等式组求解即可. （2）由题意分集合是否为空集进行讨论即可，讨论时，根据题意列出相应的不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意若集合是集合的充分条件，则当且仅当，即当且仅当， 解得，即的取值范围为. （2）当时，满足题意，即满足，此时，解得； 当且时，当且仅当或，解得或； 综上所述，若，则的取值范围为. 16．已知集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据集合的交补运算求解即可； （2）先把“”是“”的充分不必要条件转化为P是Q的真子集，再利用集合间的关系求解即可. 【详解】（1）当时，集合，可得或 因为，所以； （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以P是Q的真子集， ①当时，即时，满足P是Q的真子集； ②当时，即时， 满足且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为 17．已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集概念求出答案； （2）根据题意得到，得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）当时，，则． （2）因为“”时“”的充分条件，所以． 由，解得． 综上，的取值范围是． 18．设集合 . (1)若，试求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）将代入可得，再根据补集及交集运算即可求得结果； （2）依题意可知，通过限定集合端点处的取值解不等式即可求得. 【详解】（1）根据题意由可得， 所以或， 因此或； （2）由是的充分条件可得， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$