1.2 集合间的基本关系（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的基本关系 【考点1： 集合相等】 【考点2： 集合间的关系判段】 【考点3：（真）子集的个数】 【考点4：根据集合间的关系求参数】 知识点1：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点2：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【考点1： 集合相等】 【典例1】多选题给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】多选题下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【变式1-3】多选题给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 【考点2： 集合间的关系判段】 【典例2】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D．以上都不正确 【变式2-2】设， ，则（    ） A． B． C． D．无关 【考点3：（真）子集的个数】 【典例3-1】已知集合，则的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．8 D．16 【典例3-2】集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【变式3-1】集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】满足⫋的集合A的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【变式3-3】满足的集合M共有（    ） A．16个 B．15个 C．8个 D．7个 【变式3-4】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【变式3-5】集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【考点4：根据集合间的关系求参数】 【典例4】（多选题）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【变式4-1】已知集合，，若，则实数（    ） A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或4 【变式4-2】已知集合，且，则 . 【变式4-3】已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 1．已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 2．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．集合的所有真子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 5．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知集合，，则集合，间的关系为（    ） A． B． C． D． 7．同时满足①；②若，则的非空集合有（    ） A．3个 B．5个 C．8个 D．10个 8．已知集合，若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 10．（多选题）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B．C．D． 11．满足的集合的个数为 . 12．集合的子集个数为 ． 13．已知集合且，则集合A的非空真子集的个数为 . 14．已知集合，则集合子集的个数为 . 15．集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 16．已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的基本关系 【考点1： 集合相等】 【考点2： 集合间的关系判段】 【考点3：（真）子集的个数】 【考点4：根据集合间的关系求参数】 知识点1：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点2：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【考点1： 集合相等】 【典例1】多选题给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通过此定义逐一判定各选项即可. 【详解】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合； 对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合； 对于选项C， ,所以是相等集合； 对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合. 故选：BC. 【变式1-1】下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合的定义及集合中元素的特性分别判断. 【详解】A选项：与不是同一个点，A选项错误； B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误； C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确； D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误； 故选：C. 【变式1-2】多选题下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【答案】ABC 【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确， 对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确， 对于C，M，P因此C正确， 对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确. 故选：ABC 【变式1-3】多选题给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】为点集，为数集，所以，故A错误； ，，所以，故B错误； ，，所以，故C正确； ，，所以，故D正确； 故选：CD 【考点2： 集合间的关系判段】 【典例2】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合包含关系判断即可. 【详解】因为任意，都有，故，则B正确，A错误； 但，故CD错误. 故选：B 【变式2-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】C 【分析】利用集合间的基本关系即可判断. 【详解】由集合间的包含关系可知. 故选：C 【变式2-2】设， ，则（    ） A． B． C． D．无关 【答案】B 【分析】满足集合M性质的元素，均满足集合N的性质，进而得到，都有，然后，，可得结论. 【详解】若，则， 即M中元素都是N中元素，所以，． 而当时，，而，所以. 故选：B. 【考点3：（真）子集的个数】 【典例3-1】已知集合，则的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】先确定出集合中元素个数，然后可求子集个数. 【详解】因为，集合中有个元素， 所以子集个数为个， 故选：C. 【典例3-2】集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【答案】C 【分析】根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数. 【详解】由，， 所以，集合中含有5个元素， 所以集合的真子集个数为个. 故选：C. 【变式3-1】集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若集合中有个元素，则集合中有个真子集，即可求解. 【详解】集合有个元素，所以真子集个数为：，故C正确. 故选：C. 【变式3-2】满足⫋的集合A的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据已知条件可知集合中必有，集合还可以有元素，写出集合的所有情况即可求解. 【详解】因为集合满足⫋， 则集合中必有，集合还可以有元素， 满足条件的集合有，共7个. 故选：B 【变式3-3】满足的集合M共有（    ） A．16个 B．15个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】根据集合满足的条件，列举出所有情况即可. 【详解】集合M满足， 所以集合M可以为： 共有8个. 故选：C 【变式3-4】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合，然后分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】由，得，解得或， 所以， 当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 【变式3-5】集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】C 【分析】用集合的性质计算即可. 【详解】因为集合， 所以 所以集合的子集个数为个， 去掉它本身和空集，还剩个， 故选：C 【考点4：根据集合间的关系求参数】 【典例4】（多选题）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和-1. 故选：ABC. 【变式4-1】已知集合，，若，则实数（    ） A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或4 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系即得. 【详解】因，，且，故，且，则有或. 故选：C. 【变式4-2】已知集合，且，则 . 【答案】2 【分析】根据子集的性质进行求解即可. 【详解】①当时，，舍去, ②，由上可知，舍去， 综上所述：， 故答案为： 【变式4-3】已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【答案】D 【分析】利用集合的确定性和互异性，翻译集合相等这一条件即可. 【详解】由题意可知，解得 故选：D 1．已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A，“”表示集合与集合间关系，而“0”是元素，故A错； 对于BC，“”表示元素与集合间关系， 而0是集合中的元素，为集合，故B正确，C错误； 对于D，集合中，所以D错. 故选：B. 2．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 3．若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据子集的定义逐一列举求解. 【详解】因为集合，所以集合的子集有：，，，. 所以集合的子集共有4个. 故选：C. 4．集合的所有真子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据子集个数的求法公式计算即可求解. 【详解】由题意知，集合的真子集个数为. 故选：C 5．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样. 【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 6．已知集合，，则集合，间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法表示集合A，结合集合B判断集合间的关系. 【详解】由题设，，而，∴， 而A,B的连接符号错误，C选项，故ABC错误，D正确. 故选：D. 7．同时满足①；②若，则的非空集合有（    ） A．3个 B．5个 C．8个 D．10个 【答案】A 【分析】依题意可得与同时在集合中，与同时在集合中，即可列出符合题意的集合. 【详解】当时，当时，则集合可能为、、. 故选：A 8．已知集合，若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分、讨论可得答案. 【详解】当时，，符合题意； 当时，，又， 所以，或，解得，或， 所以实数组成的集合为. 故选：D. 9．（多选题）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的值. 【详解】因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或. 故选：ABD 10．（多选题）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，只有当和时，，故，D正确. 故选：BD 11．满足的集合的个数为 . 【答案】8 【分析】由集合中元素的个数，确定其子集个数. 【详解】，集合中3个元素，则有子集个 . 故答案为：8 12．集合的子集个数为 ． 【答案】8 【分析】首先计算出集合A，再根据子集个数的公式得出答案. 【详解】由题意可知，所以集合A的子集的个数为 故答案为：8 13．已知集合且，则集合A的非空真子集的个数为 . 【答案】14 【分析】先得到，从而根据公式求出非空真子集的个数. 【详解】，故集合A的非空真子集的个数为. 故答案为：14 14．已知集合，则集合子集的个数为 . 【答案】 【分析】求出集合中的元素，由元素个数求出子集个数即可. 【详解】当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 所以的所有取值为：，故共个元素. 所以子集的个数为：. 故答案为：. 15．集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）讨论当时和当时两种情况，当时，，从而可得答案. （2）讨论当时和当时两种情况，列出方程，即可得解； 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 16．已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)1或4 【分析】（1）根据题意分析可知2为方程的根，代入运算求解即可； （2）根据题意求集合，结合子集关系分析求解. 【详解】（1）因为，可知2为方程的根， 则，解得. （2）由（1）可得：，且， 若，则或， 所以或4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$