1.1 集合的概念（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

1.1 集合的概念 【考点1： 集合的概念】 【考点2： 元素和集合的关系】 【考点3：集合的表示方法-自然语言法】 【考点4：集合的表示方法-描述法】 【考点5：集合的表示方法-列举法】 【考点6：元素的个数】 【考点7：已知元素的特征求参数】 知识点1： 元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互异性、无序性. 知识点2：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点3：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点4：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【考点1： 集合的概念】 【典例1】（23-24高一上·河北·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【变式1-1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【变式1-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．，，，，，，， 【变式1-3】多选题（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【考点2： 元素和集合的关系】 【典例2】（2023·河南驻马店·一模）已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点3：集合的表示方法-自然语言法】 【典例3】（21-22高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【变式3-1】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列命题正确的有（    ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合与集合是同一个集合； （3），，，0.5，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合是指第二和第四象限内的点集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点4：集合的表示方法-描述法】 【典例4】（2022高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【变式4-1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【变式4-2】（2022高一上·全国·专题练习）所有正偶数组成的集合是 ． 【变式4-3】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【考点5：集合的表示方法-列举法】 【典例5】（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·湖南邵阳·期中）已知，若且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 【考点6：元素的个数】 【典例6】（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）若，则集合P中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点7：已知元素的特征求参数】 【典例7】（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式7-1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 【变式7-2】（23-24高二下·天津河西·期中）含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ． 【变式7-3】（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数 . 1．（2022高一上·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 3．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若集合，则中的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 6．（23-24高一上·云南昆明·期中）方程组的解组成的集合为（     ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 8．（22-23高一上·全国·期中）已知集合，则的元素个数是（    ） A．16 B．8 C．6 D．4 9．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 11．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 12．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 13．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，集合，则集合（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）设集合且，则集合中元素个数为 . 16．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 17．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 18．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则实数 ． 19．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 20．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，且，求的值 . 21．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念 【考点1： 集合的概念】 【考点2： 元素和集合的关系】 【考点3：集合的表示方法-自然语言法】 【考点4：集合的表示方法-描述法】 【考点5：集合的表示方法-列举法】 【考点6：元素的个数】 【考点7：已知元素的特征求参数】 知识点1： 元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互异性、无序性. 知识点2：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点3：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点4：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【考点1： 集合的概念】 【典例1】（23-24高一上·河北·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合； 对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合； 对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合； 对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 【变式1-1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【分析】根据集合元素的确定性逐项判断. 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 【变式1-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．，，，，，，， 【答案】B 【分析】根据构成集合元素的特征满足确定性、互异性判断各选项即可. 【详解】对于A，充分接近的所有实数不能满足集合元素的确定性，故A错误； 对于B，所有的正方形可以构成一个集合，故B正确； 对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，故C错误； 对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，故D错误. 故选：B. 【变式1-3】多选题（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】BCD 【分析】利用集合的性质进行判断即可. 【详解】因为集合中的元素具有互异性， 所以， 所以可以构成四边都不相等的梯形，但是不可能构成平行四边形，菱形和矩形. 故选：BCD 【考点2： 元素和集合的关系】 【典例2】（2023·河南驻马店·一模）已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合元素与集合的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由方程，解得或，所以， 所以，，. 故选：A. 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定. 【详解】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 【变式2-2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系即可求解. 【详解】由题意. 故选：D. 【变式2-3】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系依次判断选项即得. 【详解】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误. 故选：B. 【考点3：集合的表示方法-自然语言法】 【典例3】（21-22高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合； (2)大于的实数构成的集合； (3)大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合； （2）解：集合表示：大于的实数构成的集合； （3）解：集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【变式3-1】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列命题正确的有（    ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合与集合是同一个集合； （3），，，0.5，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合是指第二和第四象限内的点集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】（1）由集合元素的确定性特征判断；（2）由数集和点集判断；（3）由集合元素的互异性判断；（4）由x，y可以为0判断. 【详解】（1）很小的实数不确定，不能构成集合，故错误； （2）集合表示二次函数的值域，是数集， 集合是二次函数图象上的点构成的集合，是点集，故不同一个集合，故错误； （3），，，0.5，这些数组成的集合有，，，是3个元素，故错误； （4）集合是指第二和第四象限内及坐标轴上的点集，故错误. 故选：A 【考点4：集合的表示方法-描述法】 【典例4】（2022高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 （1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【详解】（1） 因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2） 设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3） 设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4） 因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 【变式4-1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【答案】 【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可. 【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 . 故答案为：. 【变式4-2】（2022高一上·全国·专题练习）所有正偶数组成的集合是 ． 【答案】 【分析】直接根据正偶数的定义得到集合． 【详解】 所有正偶数组成的集合是． 故答案为：． 【变式4-3】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用列举法表示集合； （2）利用列举法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用列举法表示集合； （5）利用描述法表示集合； （6）利用描述法表示点集合. 【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． （2）． （3） （4）. （5）. （6）. 【考点5：集合的表示方法-列举法】 【典例5】（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：C 【变式5-1】（23-24高二下·湖南邵阳·期中）已知，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合所满足的条件即可直接得出答案。 【详解】因为，且，所以. 故选：C 【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 【变式5-3】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏. 【详解】当时，； 当时，； 当或时，； 所以. 故选：B. 【变式5-4】（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 【答案】 【分析】根据题意可知为的约数，求得的取值，用列举法表示集合即可. 【详解】由可知为的约数，所以， 因为，所以，此时， 集合为. 故答案为：. 【考点6：元素的个数】 【典例6】（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 【变式6-1】（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用集合的描述法计算即可. 【详解】由题意可知只有，符合题意.即. 故选：A 【变式6-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）若，则集合P中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合和元素的概念进行求解. 【详解】集合P中元素为，，共2个． 故选：B 【变式6-3】（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当， 当， 当， 当， 当， 当， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B 【考点7：已知元素的特征求参数】 【典例7】（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可. 【详解】当，时，，或任意，（舍去）； 当，时，，，不成立， 所以，，. 故选：A. 【变式7-1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值. 【详解】∵，显然， 所以 ，∴. 根据集合中元素的互异性得，∴ . ∴ 故答案为： 【变式7-2】（23-24高二下·天津河西·期中）含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ． 【答案】1 【分析】利用相等集合的元素关系，即可求解. 【详解】因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为， 所以，，即， 则，即或， 当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾， 故，， . 故答案为：1． 【变式7-3】（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数 . 【答案】 【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案. 【详解】①当时，解得， 当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去； 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； ②当时，解得， 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； 当时，， 得到，符合题意，所以. 故答案为： 1．（2022高一上·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】 根据元素与集合的关系逐个判断即可. 【详解】 由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 3．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若集合，则中的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】计算出集合后可求其含有的元素的个数. 【详解】依题意可得，则中的元素个数为5. 故选：B. 4．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的定义可得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：A. 5．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【详解】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 故选：C. 6．（23-24高一上·云南昆明·期中）方程组的解组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义分析求解. 【详解】由方程组解得， 所以方程组的解组成的集合为. 故选：C. 7．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 8．（22-23高一上·全国·期中）已知集合，则的元素个数是（    ） A．16 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】分别在集合中取，由此可求得所有可能的取值，进而得到结果. 【详解】因为， 所以，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，，所以. 故选：C. 9．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 10．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分类求解即得. 【详解】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或． 故选：C 11．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 12．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】A 【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以BD错误，A正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：A. 13．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据1是集合中的一个元素，求得a，进而再解方程求解. 【详解】解：， 集合中的方程为， 解得或， ， 故选：C． 14．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算，直接得出集合B. 【详解】由题意知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 故选：D 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）设集合且，则集合中元素个数为 . 【答案】 【分析】 解出绝对值不等式，可得及的可能取值，即可得解. 【详解】 可得，又， 故可为、、、、、、共七个数， 可得，又， 故可为、、、、、、、、共九个数， 集合中元素个数为. 故答案为：. 16．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 【答案】 【分析】根据集合的元素特征直接列举出即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 17．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 18．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则实数 ． 【答案】 【分析】直接根据求解即可. 【详解】， ， 解得. 故答案为：. 19．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 【答案】 【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得. 【详解】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 20．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，且，求的值 . 【答案】或 【分析】根据集合元素的性质分情况讨论即可. 【详解】因为，所以或，解得或， 当时，，满足集合元素的互异性，所以符合题意； 当时，，也满足集合元素的互异性，所以也符合题意. 综上，的值为或， 故答案为：或 21．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$