专题1.4 充分、必要的条件（6个考点1个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

专题1.4 充分、必要的条件（6个考点1个易错点） 【考点1：充分条件的判断及性质】 【考点2：必要条件的判断及性质】 【考点3：判断命题的充分不必要和必要不充分的条件】 【考点4：利用充分条件、必要条件求参数范围】 【考点5：充分性和必要性的证明】 【考点6：充要条件的证明】 【易错点1 充分条件与必要条件】 【考点1：充分条件的判断及性质】 1．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，那么p的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 4．设，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 6．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）使成立的充分条件是（　　） A． B． C． D． 【考点2：必要条件的判断及性质】 8．可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 9．已知，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．的一个必要条件是（     ） A． B． C． D． 11．“，”的一个必要条件为（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 【考点3：判断命题的充分不必要和必要不充分的条件】 14．“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．“”是“” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．设，则“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．若，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 22．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 25．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 26．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．设x为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．已知命题：，：，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点4：利用充分条件、必要条件求参数范围】 29．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（多选题）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 32．（多选题）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 33．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 34．若“”的一个充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是 . 35．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 36．已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 37．已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【考点5：充分性和必要性的证明】 38．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 39．已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 40．已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 41．已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 42．已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 43．已知集合，． (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 44．已知集合，集合,． (1)若“”是真命题，求实数取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 45．已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 46．已知集合，，，实数集为全集． (1)求，； (2)若是的必要条件，求的取值范围． 【考点6：充要条件的证明】 47．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 48．下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 49．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 50．下列四个选项中，是的充要条件的有（    ） A．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等 B．：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例 C． D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 51．若集合，集合，则“”的充要条件是 【易错点1 充分条件与必要条件】 1．b2﹣4ac＜0是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的（　　） A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“x＝1，是x2﹣4x+3＝0”的（　　）条件． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设a，b∈R，则“a＞b＞0”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知集合A＝{x|x≤2或x＞5}，B＝{x|﹣m＜x＜2m+1}． （1）若B＝∅，求实数m的取值范围； （2）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 充分、必要的条件（6个考点1个易错点） 【考点1：充分条件的判断及性质】 【考点2：必要条件的判断及性质】 【考点3：判断命题的充分不必要和必要不充分的条件】 【考点4：利用充分条件、必要条件求参数范围】 【考点5：充分性和必要性的证明】 【考点6：充要条件的证明】 【易错点1 充分条件与必要条件】 【考点1：充分条件的判断及性质】 1．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义求解. 【详解】， 是不等式成立的充分条件，则，解得， 故选：D． 2．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解，得到，再利用条件即可求出结果. 【详解】由，得到， 又不等式的一个充分条件为，所以， 故选：C. 3．已知，那么p的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断各选项中不等式能否推出成立，即可得出答案. 【详解】因为推不出，故不是的充分条件，A错误； 因为推不出，故不是的充分条件，B错误； 因为一定能推出，故是的充分条件，C正确； 因为推不出，故不是的充分条件，D错误； 故选：C 4．设，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件的判定即可得到答案. 【详解】设是的一个充分条件，则根据充分条件的判定得，则， 故选：C. 5．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可. 【详解】由题意得， 所以，且等号不能同时成立，解得. 故选：D. 6．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可． 【详解】若不等式的一个充分条件为， 则，所以，解得. 则实数的取值范围是. 故选：D. 7．（多选题）使成立的充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分条件的判断即可由选项求解. 【详解】 和 不可推出．所以使成立的充分条件是或 ， 故选：AB 【考点2：必要条件的判断及性质】 8．可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件． 【详解】因为关于的一元二次方程有实数解， 所以， 解得，而可以推出， 所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件， 故选：A． 9．已知，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由于可得，故“”是“”的必要条件， 由不能得到，，，比如， 故选：D 10．的一个必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过一一判断即可. 【详解】由题意， ∵， ∴，A正确 对B项，，故B错误； 对C项，不能小于2，故C错误， 对D项，不能等于1，故D错误， 故选：A. 11．“，”的一个必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件结合必要条件的定义探求出由“，”推出的结论即可. 【详解】对于A，因，，则，即是“，”的必要条件，A正确； 对于B，当，时，不可能成立，B不正确； 对于C，当，时，不一定成立，如满足条件，而，C不正确； 对于D，当，时，必有成立，即不能推出，D不正确. 故选：A 12．（多选题）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可. 【详解】解：因为，所以，则成立的必要条件是或 故选：AB. 13．（多选题）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可． 【详解】由，得， 所以使成立的一个必要条件是或. 故选：CD． 【考点3：判断命题的充分不必要和必要不充分的条件】 14．“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的要求进行顺向和逆向两个方向判断能否推出即得. 【详解】由名言可知其意为如果不“积小流”，便不能“成江海”，即“积小流”是“成江海”的必要条件，而非充分条件， 荀子的名言表明“成江海”一定是从“积小流”开始的，而“积小流”未必一定能“成江海”，故“成江海”是“积小流”的充分不必要条件. 故选：A. 15．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，即可判断. 【详解】解：， 因为“”“”，但“””， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 16．“”是“” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件概念直接判断即可. 【详解】将代入中，得， 所以“”是“”的充分条件； 由，得，即或， ∴“”不是“”的必要条件， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 17．“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“两个三角形全等”和“两个三角形的周长相等”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当两个三角形全等时，它们的周长一定相等， 当两个三角形的周长相等时，它们不一定全等， 比如边长为3，4，5的直角三角形和边长为4的正三角形， 故“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的充分不必要条件， 故选：A 18．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解. 【详解】当时，， 当时， ， 则“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 19．若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据子集与真子集的定义及充分必要条件的定义可判断结果. 【详解】对于：因为，所以集合M中一定含有元素2，且元素4，5至少有一个， 则集合M可能为三种情况，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 20．设，则“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，根据充分不必要条件的定义得到答案. 【详解】，即，解得， 由于是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 21．若，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则，即由推不出且，故充分性不成立； 若且，则，即由且推得出， 即必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 22．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可得， 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 23．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解一元一次不等式结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】由题意， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 24．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，再利用集合的包含关系判断. 【详解】由题易知的解集为，真包含于， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 25．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据⫋，利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：因为⫋， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：C 26．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解出不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式等价于等价于，所以， 即，解得或， 故能推出成立，但是成立不一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 27．设x为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式所表示的集合的包含关系和必要不充分的条件即可判断. 【详解】因为“”推不出“”， “”能推出“”， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 28．已知命题：，：，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接根据范围的大小关系得到答案. 【详解】命题：，：，，故是成立的必要不充分条件. 故选：B. 【考点4：利用充分条件、必要条件求参数范围】 29．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 30．设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系即可求解. 【详解】因为，，又是的必要不充分条件， 所以，解得，经检验满足题意. 故选：D. 31．（多选题）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由已知结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则. 故选：AB 32．（多选题）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】ACD 【分析】根据题意，可得或，再结合选项，即可得答案. 【详解】解：因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以  或 所以或， 即或. 故选：ACD. 33．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 34．若“”的一个充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用集合的包含关系解不等式即可. 【详解】因为“”是“”的一个充分不必要条件， 所以是的真子集，故， 故答案为： 35．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件的定义求解. 【详解】因为是的充分条件， 所以， 所以. 故答案为： 36．已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别把不等式表示为集合形式，将必要不充分条件转化为集合间的真包含关系，从而得到结果. 【详解】设，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 37．已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据命题的必要性可判断集合间关系，分别讨论集合和，列出不等式，解不等式即可. 【详解】由是的必要条件， 得， 当时，，解得，此时成立， 当时，由，得，解得， 综上所述，， 故答案为：. 【考点5：充分性和必要性的证明】 38．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当时，求得，结合集合的交集的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，集合 ， 因为集合或，所以或. （2）解：由集合或，可得， 因为，且 “”是“”充分不必要条件， 可得，则，解得，即实数的取值范围是. 39．已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果. （2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 所以； （2）由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 40．已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解不等式确定集合A，根据集合的交集以及并集运算，即可求得答那； （2）由题意可得⫋，列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）解可得， 故可知， 当时，， 所以，； （2）因为是的充分不必要条件， 所以⫋，则， 解得. 41．已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可； （2）利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. 42．已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用并集概念求解，先求出，然后再求解即可； （2）根据题意知集合是集合的真子集，分和讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 43．已知集合，． (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) ； (2)或. 【分析】（1）利用集合交补运算求即可； （2）由题意，讨论、求参数范围. 【详解】（1）由，则 或， 若，则， 所以 ． （2）若是的必要条件，则． 当时，即时，，符合题意； 当时，即时，， 要满足，可得，解得； 综上，实数m的取值范围为或． 44．已知集合，集合,． (1)若“”是真命题，求实数取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据，得到不等式，求出答案； （2）是A的真子集，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）若“”是真命题，则， 解得．实数取值范围是． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则是A的真子集， 即或，解得， 故实数的取值范围是． 45．已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据交集的概念计算即可； （2）根据必要条件的定义判定两集合的关系，分类讨论计算即可. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为是的必要条件，则， ①当时，，解得； ②当时，，解得； 综上所述：m的取值范围为． 46．已知集合，，，实数集为全集． (1)求，； (2)若是的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据集合的运算法则计算可得； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，或， 所以或. （2）因为是的必要条件，所以， 当，即时，满足题意； 当，即时，则，解得， 综上可得. 【考点6：充要条件的证明】 47．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】 解：因为， 所以，即， 又因为也能推出 故“”是“”的是充要条件， 故选：C. 48．下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的判定逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故A错误； 对于选项B：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故B错误； 对于选项C：因为不能推出，例如，即必要性不成立，故C错误； 对于选项D：因为等价于，所以是的充要条件，故D正确； 故选：D 49．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：， 对两边同时平方可得，所以 ， 所以”是“”的充要条件. 故选：C. 50．下列四个选项中，是的充要条件的有（    ） A．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等 B．：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例 C． D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】AB 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】三角形是等腰三角形，则两底角相等，从而存在两角相等；反之，当三角形中有两角相等时，所对的边相等，即为等腰三角形，所以“三角形是等腰三角形”的充分必要条件是“三角形存在两角相等”，故A正确； 根据相似三角形的定义，可知三边对应成比例；反之，当三边对应成比例时，根据边边边的判定定理，可知两个三角形相似，故“两三角形相似”是“两三角形三边成比例”的充分必要条件，故B正确； 时，可能或者，故“”不是“”的充分条件，故C错误； 正方形的对角线互相垂直且平分，但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是任意的菱形，不一定是正方形，故“四边形是正方形”是“四边形对角线互相垂直且平分”的充分不必要条件，故D错误. 故选：AB 51．若集合，集合，则“”的充要条件是 【答案】 【分析】先由交集运算可得关于的方程，解出；再由代入集合，由交集运算得. 【详解】（1），，又， 故，解得. 即. （2）当时，， 所以，，则. 即， 综上所述，“”的充要条件是. 故答案为： . 【易错点1 充分条件与必要条件】 1．b2﹣4ac＜0是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的（　　） A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：若一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为R，则有a＞0且Δ＝b2﹣4ac＜0； 若b2﹣4ac＜0，则ax2+bx+c＞0的解集可能是R（当a＞0时），也可能是∅（当a＜0时）． “b2﹣4ac＜0”是“一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R”的必要不充分条件． 故选：B． 2．“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：由“a＞b＞0”能推出“a2＞b2”，是充分条件， 由“a2＞b2”推不出“a＞b＞0”，不是必要条件， 故选：A． 3．“x＝1，是x2﹣4x+3＝0”的（　　）条件． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：若x＝1，则x2﹣4x+3＝0，是充分条件， 若x2﹣4x+3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件， 故选：A． 4．设a，b∈R，则“a＞b＞0”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：若a＞b＞0，则﹣＝＜0，即＜成立． 若＜则﹣＝＜0，a＞b＞0或0＞a＞b 所以“a＞b＞0是＜”的充分不必要条件． 故选：A． 5．已知集合A＝{x|x≤2或x＞5}，B＝{x|﹣m＜x＜2m+1}． （1）若B＝∅，求实数m的取值范围； （2）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）（﹣∞，﹣]； （2）（﹣∞，]． 【解答】解：（1）因为集合B＝{x|﹣m＜x＜2m+1}， 若B＝∅，则﹣m≥2m+1，解得m≤﹣， 所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]； （2）因为集合A＝{x|x≤2或x＞5}，B＝{x|﹣m＜x＜2m+1}， p是q的必要不充分条件，所以B⫋A， ①若B＝∅，则﹣m≥2m+1，解得m≤﹣， ②若B≠∅，则，解得﹣＜m≤， 综上，实数m的取值范围是（﹣∞，]． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$