专题1.1 集合的概念（7个考点3个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

专题1.1 集合的概念（7个考点3个易错点） 【考点1： 集合的概念】 【考点2： 元素和集合的关系】 【考点3：集合的表示方法-自然语言法】 【考点4：集合的表示方法-描述法】 【考点5：集合的表示方法-列举法】 【考点6：元素的个数】 【考点7：已知元素的特征求参数】 【易错点1 元素与集合关系的判断】 【易错点2集合的确定性、互异性、无序性】 【易错点3 集合的表示法】 【考点1： 集合的概念】 1．下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 2．下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 4．下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 5．下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 6．多选题下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【考点2： 元素和集合的关系】 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．下列关系中不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 10．多选题下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 11．多选题下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．多选题已知集合，则下列表示正确的是（　　 ） A． B． C． D． 【考点3：集合的表示方法-自然语言法】 13．常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 【考点4：集合的表示方法-描述法】 14．集合 “正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（  ） A．} B． C． D． 15．用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合 ； （2）被9除余2的数组成的集合 ． 16．用描述法表示下列集合： (1)大于1的所有偶数组成的集合； (2)不等式的解集. 17．用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 18．用描述法表示下列集合： (1)； (2)偶数集； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)． 【考点5：集合的表示方法-列举法】 19．一次函数与的图象交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 20．集合用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 21．方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 22．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 23．集合（    ） A． B． C． D． 24．将集合用列举法可以表示为（　　） A．1，2 B． C． D． 25．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 26．集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 27．用列举法表示小于4的自然数构成的集合，正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点6：元素的个数】 28．已知集合，则中元素的个数为（　　） A．1 B．5 C．6 D．无数个 29．若集合，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 30．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 31．已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 32．已知集合，则集合中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 33．对于、，规定，集合，则中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 34．集合的元素个数为（    ） A． B． C． D． 35．集合，则M中元素的个数为 . 【考点7：已知元素的特征求参数】 36．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 37．若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 38．集合中实数的取值范围是(　　) A．或B．且C．或 D．且 39．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 40．多选题若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 41．已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【易错点1 元素与集合关系的判断】 1．已知集合A＝{2，﹣5，3a+1，a2}，B＝{a+5，9，1﹣a，4}，若A∩B＝{4}，则实数a的取值的集合为（　　） A．{1，2，﹣2} B．{1，2} C．{1，﹣2} D．{1} 2．若a∈{1，a2+2a﹣2}，则实数a的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．0 D．1或﹣2 【易错点2集合的确定性、互异性、无序性】 3．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 【易错点3 集合的表示法】 4．方程组的解集是（　　） A．{x＝0，y＝1} B．{0，1} C．{（0，1）} D．{（x，y）|x＝0或y＝1} 5．已知集合M＝{a|∈N+，且a∈Z}，则M等于（　　） A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{﹣1，2，3，4} 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合的概念（7个考点3个易错点） 【考点1： 集合的概念】 【考点2： 元素和集合的关系】 【考点3：集合的表示方法-自然语言法】 【考点4：集合的表示方法-描述法】 【考点5：集合的表示方法-列举法】 【考点6：元素的个数】 【考点7：已知元素的特征求参数】 【易错点1 元素与集合关系的判断】 【易错点2集合的确定性、互异性、无序性】 【易错点3 集合的表示法】 【考点1： 集合的概念】 1．下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可. 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 2．下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 3．下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 4．下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合； 对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合； 对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合， 故选：C 5．下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 【答案】D 【分析】根据集合的性质判断即可. 【详解】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性. 故选：D 6．多选题下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【答案】BC 【详解】根据集合的知识确定正确答案. 【分析】A选项，“难题”无法确定，所以不能组成集合. B选项，“2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合. C选项，“小于9的所有素数” 是“”，可以组成集合. D选项，“视力比较好”无法确定，所以不能组成集合. 故选：BC 【考点2： 元素和集合的关系】 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合为一个点集，根据元素与集合的关系得到答案. 【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即. 故选:C. 8．下列关系中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见的数集及元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为为自然数集，所以，，故A、D正确； 为实数集，所以，故B错误； 为有理数集，所以，故C正确； 故选：B 9．已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【分析】由元素和集合的关系判断. 【详解】由解得， 因为，， 故，且， 故选：A 10．多选题下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可. 【详解】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确； 对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确. 故选：BCD. 11．多选题下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据数集的定义判断元素与集合的关系即可. 【详解】由正整数、有理数、整数的定义知：，，，， 所以A、C错，B、D对. 故选：BD 12．多选题已知集合，则下列表示正确的是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用元素与集合的关系计算即可. 【详解】易知，，， 令， 即B、C、D正确，A错误； 故选：BCD 【考点3：集合的表示方法-自然语言法】 13．常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 【答案】 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 【分析】略 【详解】略 【考点4：集合的表示方法-描述法】 14．集合 “正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（  ） A．} B． C． D． 【答案】A 【分析】由正偶数定义，应用描述法写出对应集合“正偶数的全体”. 【详解】正偶数的全体为，故集合 “正偶数的全体”可描述为. 故选：A 15．用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合 ； （2）被9除余2的数组成的集合 ． 【答案】 【分析】（1）（2）根据描述写出所有正偶数、被9除余2的数，即可得对应集合. 【详解】（1）令，则所有正偶数为，故所有正偶数组成的集合为； （2）令，则被9除余2的数为，故被9除余2的数组成的集合为. 故答案为：；. 16．用描述法表示下列集合： (1)大于1的所有偶数组成的集合； (2)不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出偶数，即可表示大于1的所有偶数组成的集合； （2）解不等式，即可求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意， 设大于1的偶数为x，并且满足条件 ，，. 因此，这个集合表示为：. （2）由题意， ，解得， ∴不等式的解集为：. 17．用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【答案】(1) (2) (3)且 (4) 【分析】（1）根据点的特点得出解集； （2）根据被3除余1的整数可表示为得出解集； （3）解不等式即可； （4）解方程得出解集. 【详解】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 18．用描述法表示下列集合： (1)； (2)偶数集； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) 【分析】（1）、（2）、（3）、（4）根据描述法求得正确答案. 【详解】（1）原集合为， 则描述法表示为：且. （2）偶数集，用描述法表示为：. （3）被3除余2的正整数组成的集合， 用描述法表示为：. （4）原集合为， 用描述法表示为. 【考点5：集合的表示方法-列举法】 19．一次函数与的图象交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立两函数方程求出交点，用点的集合表示即可. 【详解】因为，解得， 所以两函数图象交点组成的集合为. 故选：C. 20．集合用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合描述列举出集合元素即可. 【详解】由. 故选：B 21．方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可． 【详解】因为，所以代入， 即，解得. 当时，； 当时，. 故的解集是. 故选：A. 22．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合，求解中的元素，即可求出集合. 【详解】因为，所以. 故选：C. 23．集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，再根据元素是自然数求出集合内的元素即可. 【详解】解不等式，解得， 又因为，所以满足的的值有， 所以集合为， 故选：C 24．将集合用列举法可以表示为（　　） A．1，2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的描述法和列举法分析求解. 【详解】对于方程，解得或， 所以，故C正确，ABD错误. 故选：C. 25．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的定义确定其元素． 【详解】. 故选：D． 26．集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可. 【详解】因为，， 所以或2或4或8， 即或4或2或， 即. 故选：D. 27．用列举法表示小于4的自然数构成的集合，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据列举法即可得结果. 【详解】小于4的自然数构成的集合为， 故选：A. 【考点6：元素的个数】 28．已知集合，则中元素的个数为（　　） A．1 B．5 C．6 D．无数个 【答案】C 【分析】由集合描述列举出元素，即可确定元素个数. 【详解】由，则可为， 所以，共6个元素. 故选：C 29．若集合，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据条件，直接写出集合，即可得到结果. 【详解】由，即， 所以集合中的元素个数为5个， 故选：C. 30．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由题意，即方程组的解的个数，再联立方程求解即可. 【详解】由题意，即方程组的解的个数，即，解得或.故，则中元素的个数为2. 故选：B 31．已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可得答案. 【详解】因为，，所以或或或， 故，即集合中含有个元素； 故选：C. 32．已知集合，则集合中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合交集的定义与运算，求得集合，由此得出集合中的元素个数. 【详解】因为结合， 根据集合交集的运算，可得， 所以集合中元素的个数为3个. 故选：C. 33．对于、，规定，集合，则中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论，列举出满足条件的元素，即可得出集合的元素个数. 【详解】分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论： ①如果、的奇偶性相同，且、， 此时，可为：、、、、、、、、 、、，共个； ②如果、的奇偶性不同，且、， 此时，可为：、、、，共个. 因此，集合的元素个数为个. 故选：C. 34．集合的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案． 【详解】集合 ， 所以集合的元素个数为9个． 故选：B． 35．集合，则M中元素的个数为 . 【答案】5 【分析】解不等式求出，得到答案. 【详解】∵，∴. 又，∴，所以M中元素的个数为5. 故答案为：5 【考点7：已知元素的特征求参数】 36．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 37．若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【分析】根据集合的元素不重复可解得. 【详解】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 故选：B 38．集合中实数的取值范围是(　　) A．或B．且C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据集合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 39．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可得或解方程，再利用集合元素的互异性即得. 【详解】因为，， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性， 故（舍去）， 当，解得（舍去）或，此时，满足题意， 故实数的值为. 故选：B. 40．多选题若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】ABD 【分析】根据元素和集合的关系、集合元素的互异性求得正确答案. 【详解】三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论． 当时，，此时，，故符合题意； 当时，，此时（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，经检验符合题意． 综上可知，或． 故选：ABD 41．已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况， 的取值范围为. 【易错点1 元素与集合关系的判断】 1．已知集合A＝{2，﹣5，3a+1，a2}，B＝{a+5，9，1﹣a，4}，若A∩B＝{4}，则实数a的取值的集合为（　　） A．{1，2，﹣2} B．{1，2} C．{1，﹣2} D．{1} 【答案】D 【解答】解：∵A∩B＝{4}，∴4∈A， ①若3a+1＝4，则a＝1； 则A＝{2，﹣5，4，1}， B＝{6，9，0，4}，成立； ②若a2＝4，则a＝2或﹣2； 当a＝2时，A＝{2，﹣5，7，4}，B＝{7，9，﹣1，4}，不成立； 当a＝﹣2时，3a+1＝﹣5，不成立； 综上所述，a＝1， 即实数a的取值的集合为{1}， 故选：D． 2．若a∈{1，a2+2a﹣2}，则实数a的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．0 D．1或﹣2 【答案】B 【解答】解：∵a∈{1，a2+2a﹣2}， ∴a＝1或a＝a2+2a﹣2， 解得a＝1或a＝﹣2， 当a＝1时，1＝a2+2a﹣2，故不成立， 故a＝﹣2； 故选：B． 【易错点2集合的确定性、互异性、无序性】 3．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 【答案】C 【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3， ∴a2﹣a+2＝14， ∴A＝{2，4，14}； 若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1， a＝2时，1﹣a＝﹣1， ∴A＝{2，﹣1，4}； a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍）， 故选：C． 【易错点3 集合的表示法】 4．方程组的解集是（　　） A．{x＝0，y＝1} B．{0，1} C．{（0，1）} D．{（x，y）|x＝0或y＝1} 【答案】C 【解答】解：方程组， 两式相加得，x＝0， 两式相减得，y＝1． ∴方程组的解集为{（0，1）}． 故选：C． 5．已知集合M＝{a|∈N+，且a∈Z}，则M等于（　　） A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{﹣1，2，3，4} 【答案】D 【解答】解：因为集合M＝{a|∈N+，且a∈Z}， 所以5﹣a可能为1，2，3，6， 所以a可取4，3，2，﹣1 所以M＝{﹣1，2，3，4}； 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$