5.3 第2课时诱导公式五、六课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.3　诱导公式 第2课时　诱导公式五、六 课标定位 素养阐释 1.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式五和公式六. 2.能应用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题. 3.体会知识的“发生”“发现”过程,提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、诱导公式五 答案:C 二、诱导公式六 1.以-α代替公式五中的α,你会得到什么公式? 2.诱导公式六 3.sin 165°等于(　　) A.-sin 15° B.cos 15° C.sin 75° D.cos 75° 解析:sin 165°=sin(90°+75°)=cos 75°. 答案:D 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)诱导公式五、公式六与诱导公式一~公式四的区别在于函数名称要改变.( √ ) (2)sin(90°+α)=-cos α.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 利用诱导公式求值 分析:先分析已知角与未知角的关系,再合理地选用诱导公式求值. 反思感悟 探究二 利用诱导公式进行化简 反思感悟 1.进行三角函数式化简时:一是注意化异为同,即化异角为同角、化异名为同名、化异次为齐次;二是对“切弦混合”问题,一般作“切化弦”处理. 2.化简结果要求:角尽量少,函数名尽量少,函数次数尽量低,尽量不含分母,必须有分母时分母中尽量不含根式等. 探究三 利用诱导公式证明三角恒等式 分析:观察待证等式,左边比较复杂,可以由左向右证明. 反思感悟 利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活运用,其证明的常用方法: (1)从一边开始变形,使得它等于另一边,一般由繁到简. (2)左右归一法:即证明左、右两边都等于同一个式子. (3)凑合法:即针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除其差异,化异为同. 易 错 辨 析 对诱导公式记忆不准确致错 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 防范措施 诱导公式共有六组,数量较多,易错记错用(如本题错解),应特别注意诱导公式右边的符号. 随 堂 练 习 答案:B 答案:C 1.如图,角-α的终边与角α的终边有什么关系?角-α的终边 与单位圆的交点P1cos,sin与点P(cos α,sin α) 有什么关系? 提示:角-α的终边与角α的终边关于 直线y=x对称,点P1与点P也关于直 线y=x对称. 2.诱导公式五 sin= cos α  cos= sin α  3.已知sin α=,则cos的值为(　　) A. B. C. D.- 解析:cos=sin α=. 提示:sin=cos(-α)=cos α,cos(+α)=sin(-α)=-sin α. sin=cos α  cos=-sin α  三、诱导公式的推广 sin= -cos α ,cos= -sin α ,  sin= -cos α ,cos= sin α .  (3)sin=±cos α.( × ) 【例1】 已知cos,求sinα+的值. 解:∵α+, ∴sin=sin =cos. 1.在例1已知的基础上添加条件≤α≤,其他不变,如何求 cos的值? 解:∵, ∴cos=cos=sin. 又≤α≤,且cos>0, ∴<α+≤.∴sin=-, ∴cos=sin=-. 2.在例1已知的基础上添加条件≤α≤,其他不变,如何求 tan的值? 解:由延伸探究1,知cos=-, ∴cos=-. 又≤α≤,∴≤α-, ∴sin. ∴tan=tan=tan=-. 解决这类问题的关键是发现它们的互余、互补关系,如-α与+α,+α与-α,-α与+α互余;+θ与-θ,+θ与-θ互补. 【变式训练1】 已知sin,求cos的值. 解:∵+α+-α=,∴-α=. ∴cos=cos =sin. 【例2】 已知f(α)=. (1)化简f(α); (2)若角A是△ABC的内角,且f(A)=,求tan A-sin A的值. 解:(1)f(α)==cos α. (2)由(1)得f(A)=cos A=. ∵A为△ABC的内角,∴0<A<π. ∴sin A=. ∴tan A=. ∴tan A-sin A=. 【变式训练2】 已知sin(3π+α)=2sin, 则=　　　　　.  解析:∵sin(3π+α)=2sin, ∴-sin α=-2cos α,即sin α=2cos α. ∴原式===-. 答案:- 【例3】 求证:=-tan α. 证明:∵左边== ===-=-tan α=右边, ∴原等式成立. 【变式训练3】 求证:=. 证明:∵右边== = ==左边, ∴原等式成立. 【典例】 已知sin=a,0<α<,求sin的值. 错解:∵0<α<,∴--α<. ∴cos>0. ∴cos. ∴sin=sin=cos. 提示:对诱导公式中三角函数值的符号掌握不到位,在sin中,要把“-α”看成锐角来确定三角函数值的符号. 正解:∵0<α<,∴--α<. ∴cos>0. ∴cos. ∴sin=sin =-sin=-sin =-cos=-. 【变式训练】 化简:. 解:原式==-sin θ. 1.若sin<0,且cos>0,则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三角限角 D.第四象限角 解析:因为sin=cos θ<0,cos=sin θ>0, 所以角θ是第二象限角,故选B. 2.化简sin·cos·tan的结果是(　　) A.1 B.sin2α C.-cos2α D.-1 解析:因为sin=cos α, cos=cos=-sin α, tan, 所以原式=cos α(-sin α)=-cos2α,故选C. 3.已知cos(75°+α)=,且-180°<α<-90°,则cos(15°-α)=　　　. 解析:因为cos(75°+α)=,且-180°<α<-90°, 所以sin(75°+α)=-, 所以cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=-. 答案:- 4.已知sin φ=,则cos+sin(3π-φ)=　　　　　.  解析:∵sin φ=, ∴cos=cos=cos-+φ=cos =sin φ=, sin(3π-φ)=sin(π-φ)=sin φ=. ∴cos+sin(3π-φ)=. 答案: 5.求证:. 证明:∵左边= ==右边, ∴原等式成立. $$