5.3第1课时诱导公式二、三、四 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.3　诱导公式 第1课时　诱导公式二、三、四 课标定位 素养阐释 1.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式二、三、四. 2.能应用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 3.体会逻辑推理的过程,提升数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、诱导公式二 1.如图,角π+α的终边与角α的终边有什么关系?角π+α的终边与单位圆的交点P1(cos(π+α),sin(π+α))与点P(cos α,sin α)有什么关系? 提示:角π+α的终边与角α的终边关于原点对称,点P1与点P也关于原点对称. 2.诱导公式二 sin(π+α)= -sin α  cos(π+α)= -cos α  tan(π+α)=tan α 答案:B 二、诱导公式三 1.如图,角-α的终边与角α的终边有什么关系?角-α的终边与单位圆的交点P2(cos(-α),sin(-α))与点P(cos α,sin α)有怎样的关系? 提示:角-α的终边与角α的终边关于x轴对称,点P2与点P也关于x轴对称. 2.诱导公式三 sin(-α)= -sin α  cos(-α)= cos α  tan(-α)= -tan α  三、诱导公式四 1.如图,角π-α的终边与角α的终边有什么关系?角π-α的终边与单位圆的交点P3(cos(π-α),sin(π-α))与点P(cos α,sin α)有什么关系? 提示:角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称,点P3与点P也关于y轴对称. 2.诱导公式四 sin(π-α)= sin α  cos(π-α)= -cos α  tan(π-α)= -tan α  3.若sin 110°=a,则sin 70°等于　　　　　.  解析: sin 70°=sin(180°-110°)=sin 110°=a. 答案:a 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)tan 210°= .( √ ) (2)诱导公式中的角α一定是锐角.( × ) (3)由公式三知cos[-(α-β)]=-cos(α-β).( × ) (4)在△ABC中,sin(A+B)=sin C.( √ ) (5)sin(α-π)=sin α.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 利用诱导公式解决给角求值问题 反思感悟 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤:(1)“负化正”:用公式一或公式三来转化.(2)“大化小”:用公式一将角化为0°~360°的角.(3)“角化锐”:用公式二或公式四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值. 【变式训练1】 求sin(-1 200°)·cos 1 290°+cos(-1 020°) ·sin(-1 050°)+tan 945°的值. 探究二 利用诱导公式解决给值求值问题 分析:先利用诱导公式将待求式化简,再根据已知求值. 反思感悟 利用诱导公式解决给值求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系,然后利用诱导公式进行变形,将已知式向所求式转化,或将所求式向已知式转化. 答案:B 探究三 利用诱导公式化简 反思感悟 三角函数式的化简方法:(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数;(2)常用“切化弦”法,即将式中的正切函数化为正弦函数、余弦函数;(3)注意“1”的变形应用: 易 错 辨 析 答案:-sin α 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:上述求解忽略了n的奇偶性致错.因为n是整数,可能是奇数也可能是偶数,所以需要对n的奇偶性进行讨论. 答案:±sin α 防范措施 诱导公式是一个有机的整体,解题时要根据角的特征,选取适当的公式进行化简计算,对形如nπ±α(n∈Z)的角,要注意对n的奇偶性进行讨论. 随 堂 练 习 答案:D 答案:B 答案:D 答案:B 5.已知600°角的终边上有一点P(a,-3),则a的值为　　　　　. 3.若sin(3π+α)=,则sin α等于(　　) A. B.- C.3 D.-3 解析:∵sin(3π+α)=sin[2π+(π+α)]=sin(π+α)=-sin α=, ∴sin α=-. 3.cos=　　　　　.  解析:cos=cos =cos=cos . 答案: 【例1】 求下列各式的值: (1)sin; (2)cos(-120°)sin(-150°)+tan 855°. 解:(1)sin=-sin =-sin =-sin=sin . (2)原式=-cos(180°-60°)sin(180°-30°)+tan(135°+2×360°) =-(-cos 60°)sin 30°+tan 135° =-(-cos 60°)sin 30°+tan(180°-45°) =-(-cos 60°)sin 30°-tan 45° =-1=-. 解:原式=-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°) -cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)+tan(2×360°+225°) =-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)· sin(360°-30°)+tan(180°+45°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°+tan 45° =+1=2. 【例2】 已知cos,求cos-sin2的值. 解:因为=cos=-cos=-, sin2=sin2=1-cos2=1-, 所以cos-sin2=-=-. 【变式训练2】 已知sin,则sin-α的值为(　　) A. B.- C. D.- 解析:sin=sin =-sin=-. 【例3】 化简下列各式: (1); (2). 解:(1)原式===-=-tan α. (2)原式= = ==-1. 若将例3(1)改为:(n∈Z),如何化简. 解:当n=2k(k∈Z)时,原式==-tan α; 当n=2k+1(k∈Z)时,原式==-tan α. 如1=sin2α+cos2α=tan . 【变式训练3】 化简下列各式: (1); (2). 解:(1)原式==1. (2)原式 = =. 【典例】 化简(n∈Z)的结果为　　　　　.  错解:=-sin α. 正解: (1)当n=2k(k∈Z)时, 原式==-sin α. (2)当n=2k+1(k∈Z)时, 原式===sin α. 所以化简所得的结果为±sin α. 1.tan 300°+sin 450°的值是(　　) A.-1+ B.1+ C.-1- D.1- 解析:原式=tan(360°-60°)+sin(360°+90°) =tan(-60°)+sin 90°=-tan 60°+1=-+1. 2.已知α∈,tan α=-,则sin(α+π)的值为(　　) A. B.- C. D.- 解析:因为tan α=-,α∈,所以sin α=. 所以sin(α+π)=-sin α=-. 3.已知sin(π-α)=,则sin(α-2 021π)的值为(　　) A. B. C. D.- 解析: sin(α-1 021π)=sin[(α-π)-1 020π]=sin(α-π)=-sin(π-α)=-. 4.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值为(　　) A.- B. C.- D. 解析:∵sin(π+α)=,且sin(π+α)=-sin α, ∴sin α=-.又α是第四象限角, ∴cos(α-2π)=cos α==. 解析:∵tan 600°=tan(360°+240°)=tan(180°+60°) =tan 60°=-,∴a=-. 答案:- 6.化简:·sin(α-2π)·cos(2π-α). 解:原式=·sin α·cos(-α)=·sin α·cos α=cos2α. $$