5.2.2同角三角函数的基本关系课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.2　同角三角函数的基本关系 课标定位 素养阐释 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系. 2.理解同角三角函数的基本关系式: sin2x+cos2x=1, 3.能运用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化简、求值和证明. 4.体会逻辑推理的过程,提升数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 同角三角函数的基本关系 1.计算下列式子的值: (1)sin20°+cos20°; (2)sin245°+cos245°; (3)sin260°+cos260°. 由此你能得出什么结论?尝试证明它. 提示:3个式子的值均为1.由此可以猜想: 对于任意角α,有sin2α+cos2α=1,下面用三角函数的定义证明: 设角α的终边与单位圆☉O的交点为P(x,y), 则由三角函数的定义,得sin α=y,cos α=x. 故sin2α+cos2α=x2+y2=|OP|2=1. 2.由三角函数的定义,tan α与sin α,cos α之间具有怎样的等量关系? 4.(1)sin24 092°+cos24 092°=(　　) A.0 B.1 C.4 092 D.4 092° (2)若sin θ+cos θ=0,则tan θ=　　　　　.  解析:(1)由平方关系知sin24 092°+cos24 092°=1. (2)由sin θ+cos θ=0,得sin θ=-cos θ, 答案:(1)B　(2)-1 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. 合作探究·释疑解惑 分析:直接代入公式求解,注意角α的取值范围,对未指出角α所在象限的,要先确定α所在的象限. 探究一 利用同角三角函数的基本关系求值 反思感悟 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的要点:(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,选择对应的公式;(2)若角α所在的象限已经确定,则求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,则应分类讨论,一般有两组结果. 探究二 利用同角三角函数的基本关系化简或证明 分析:(1)根据平方关系化简,注意“1”的妙用;(2)由右向左证明,或由左向右证明,也可以证明左、右两边等于同一个式子. 反思感悟 1.三角函数式的化简技巧:(1)化切为弦,即把正切函数化为正弦函数、余弦函数,目的是减少函数名称.(2)含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,目的是去根号.(3)含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,目的是降次. 2.证明三角恒等式的过程,实质上是化异为同的过程,证明恒等式常用以下方法: (1)一般是由繁的一边到简的一边. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). 探究三 同角三角函数的基本关系的综合应用 2.本例条件不变,如何求2sin2x-3cos2x的值? 反思感悟 1.关于sin α,cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值. 2.已知正切值求形如sin αcos α,2sin2α-3cos2α等的值,代数式中不含分母,可以视分母为1,灵活地进行“1”的代换.即先将1=sin2α+cos2α代换后,再同除以cos2α,构造出关于tan α的代数式. 易 错 辨 析 利用“平方关系”求值,忽略角的取值范围致错 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 防范措施 随 堂 练 习 解析:由商数关系可知选项A成立,D不成立,当α为第二象限角时,cos α<0,sin α>0,故选项C不成立,选项B成立.故选AB. 答案:B 答案:B 答案:C =tan x. 提示:∵tan α=(x≠0),sin α=,cos α=, ∴tan α=. 3.(1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系:sin2α+cos2α= 1 . ②商数关系:tan α= . 文字叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角 α的正切. (2)同角三角函数基本关系的变形 ①sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α. (sin α+cos α)2= 1+2sin αcos α ;(sin α-cos α)2= 1-2sin αcos α .  ②sin α=cos αtan α;cos α= .  所以tan θ==-1. (1)因为sin2+cos2=1,所以sin2α+cos2β=1成立,其中α,β为 任意角.( × ) (2)对任意角α,sin α=cos αtan α都成立.( × ) (3)sin2+cos2=1.( √ ) (4)对任意的角α,都有tan α=成立.( × ) 【例1】 (1)若sin α=-,且角α是第三象限角,求cos α,tan α 的值; (2)若cos α=,求tan α的值; (3)若tan α=-,求sin α的值. 解:(1)∵sin α=-,α是第三象限角, ∴cos α=-=-,tan α==-. (2)∵cos α=>0,∴α是第一象限角或第四象限角. 当α是第一象限角时,sin α=, ∴tan α=; 当α是第四象限角时,sin α=-=-=-, ∴tan α=-. (3)∵tan α=-<0, ∴α是第二象限角或第四象限角. 由可得sin2α=. 当α是第二象限角时,sin α=; 当α是第四象限角时,sin α=-. 【变式训练1】 已知sin θ=,求cos θ,tan θ的值. 解:∵sin θ=>0, ∴θ是第一象限角或第二象限角. 当θ为第一象限角时, cos θ=,tan θ=. 当θ为第二象限角时, cos θ=-=-,tan θ==-. 【例2】 (1)化简:; (2)求证:. (1)解:原式==-=-1. (2)证明:(方法一)∵右边= =左边, ∴原等式成立. (方法二)∵左边= =右边, ∴原等式成立. (方法三)∵左边=, 右边==左边,∴原等式成立. (3)证明左边-右边=0或=1(右边不为0). 【变式训练2】 (1)已知sin α·tan α<0,化简:. (2)求证:. (1)解:∵sin α·tan α<0,∴cos α<0. 原式= =-. (2)证明:∵右边= =左边, ∴原等式成立. 【例3】 已知x∈(-π,0),sin x+cos x=,求tan x的值. 解:∵sin x+cos x=, ∴1+2sin xcos x=,即sin xcos x=-. ∵x∈(-π,0),∴sin x<0,cos x>0. ∴sin x=-,cos x=,∴tan x==-. 1.本例条件不变,如何求的值? 解:(方法一)由例3知sin x=-,cos x=, 故原式==-. (方法二)由例3知tan x=-,原式==-. 解:由例3知tan x=-. 原式==-. 【变式训练3】 已知=2,计算下列各式的值: (1); (2)sin2α-2sin αcos α+1. 解:由=2,化简得sin α=3cos α, 故tan α=3. (1)原式=. (2)原式=+1=+1=+1=. 【典例】 若sin A=,且A是三角形的一个内角,求的值. 错解:因为sin A=,所以cos A=, 所以=6. 提示:由sin A=,且A是三角形的一个内角,说明A是锐角或钝角,故cos A有正、负之分,容易忽视符号而导致错解. 正解: 因为sin A=>0,且A是三角形的一个内角, 所以A为锐角或钝角. 当A为锐角时,cos A=, 原式==6. 当A为钝角时,cos A=-=-, 原式==-. 使用sin α=±和cos α=±时,一定要注意正、负号的选取.如果角α所在的象限是已知的,那么按三角函数值在各个象限的符号来确定正负号;如果角α所在的象限是未知的,那么需按象限进行讨论. 【变式训练】 已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则sin α-cos α=　　　　　.  解析:∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=, 即2sin αcos α=-<0. 又α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0.∴α∈. ∴sin α-cos α=. 答案: 1.(多选题)已知角α是第二象限角,则下列各式成立的是(　　) A.tan α=- B.cos α=- C.sin α=- D.tan α= 2.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为(　　) A.- B.- C. D. 解析:∵cos2α=1-sin2α=1-, ∴sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)==-. 3.已知=2,则sin θcos θ的值是(　　) A. B.± C. D.- 解析:方法一:∵=2, ∴sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ). ∴(sin θ+cos θ)2=4(sin θ-cos θ)2, 解得sin θcos θ=. 方法二:∵=2,∴=2. ∴tan θ=3. ∴sin θcos θ=. 4.已知sin α+cos α=,则sin αcos α=　　　　　.  解析:∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=. ∴1+2sin αcos α=.∴sin αcos α=-. 答案:- 5.化简:. 解:原式===1. $$