第06讲 充分条件、必要条件、充要条件（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第6讲 充分条件、必要条件、充要条件 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 充分条件与必要条件 3 题型02 充要条件 5 题型03 判定定理、性质定理与充分、必要条件 8 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 18 创新拓展 22 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p________q(读作p推出q) p________q(读作p不能推出q) 条件关系 p是q的________条件 q是p的________条件 p不是q的________条件 q不是p的________条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件． (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． (4)充分、必要条件不唯一. 二、充要条件 1．一般地，如果________，且________，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2．如果p是q的充要条件，就记作________，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 注意点： (1)如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分又不必要条件 三、判定定理、性质定理与充分、必要条件 判定定理给出了相应数学结论成立的________条件，性质定理给出了相应数学结论成立的________条件． 注意点： (1)判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据，也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件． (2)性质定理同样是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征，性质定理给出了结论成立的必要条件 题型01充分条件与必要条件 【解题策略】 充分条件或必要条件的判断方法 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p对应的集合为A，q对应的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 【典例分析】 【例1】指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； (3)已知x∈R，p：x>2，q：x>4. 【变式演练】 【变式1】　(1)“x>3”是“x2>9”的______条件． (2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①在△ABC中，p：∠B与∠C互余，q：△ABC为直角三角形； ②p：|x|>2，q：x>2. 【变式2】(多选)使x>4成立的一个充分条件是(　　) A．x>5 B．x>6 C．x>3 D．x<3 【变式3】“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式4】（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 题型02 充要条件 【解题策略】 (1)判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 ①定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． ②集合法：即利用集合的包含关系判断． ③传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． (2)应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 ①根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． ②根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解 【典例分析】 【例2】　(1)指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． ①p：x＝1，q：x－1＝； ②p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； ③p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； ④p：a是自然数；q：a是正数． (2)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期中）是的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2】（2023高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的 条件. 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 题型03 判定定理、性质定理与充分、必要条件 【解题策略】 (1)区分一个定理是判定定理还是性质定理关键是看定理阐述了结论成立的依据还是揭示了一个研究对象的某个特征，若定理阐述了结论成立的依据，则是判定定理，否则是性质定理． (2)判定定理可用充分条件的语言来表述，性质定理可用必要条件的语言来表述 【典例分析】 【例3】指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述． (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (2)正方形的对角线互相垂直且相等． 【变式演练】 【变式1】指出下列定理是判定定理还是性质定理： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）菱形的对角线互相垂直； （4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （5）三边对应成比例的两个三角形相似 （6）相似三角形的面积比等于相似比的平方. 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）用必要条件的语言表述下面的性质： (1)若，则； (2)正方形的对角线互相垂直且相等； (3)两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等． 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理： (1)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)若，，则； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)如果是一元二次方程的两个实数根，那么． 易错点1　条件判定不全面而致误 1．甲：“实数a，b，c满足2b＝a＋c”，乙：“实数a，b，c满足＋＝2”，则甲是乙的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点2　不能正确区分命题的条件与结论而致误 2.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东清远·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·北京·期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、多选题 5．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题中正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“且”的充分不必要条件 C．“”是“”的即不充要也不必要条件 D．“”是“”的充要条件 6．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 三、填空题 7．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 8．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）请写出“”的一个必要不充分条件： ． 9．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 四、解答题 10．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 11．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东济南·阶段练习）已知，则“为偶数”是“为偶数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·天津北辰·阶段练习）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）可以作为“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ． 7．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 8．（21-22高一上·江西抚州·阶段练习）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 9．（23-24高一上·江西·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 10．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）“”是“等式”的（　　） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件 二、填空题 2．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 三、解答题 4．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【下节预览】 一、解答题 1．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 充分条件、必要条件、充要条件 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 充分条件与必要条件 3 题型02 充要条件 5 题型03 判定定理、性质定理与充分、必要条件 8 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 18 创新拓展 22 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q(读作p推出q) p⇏q(读作p不能推出q) 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件． (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． (4)充分、必要条件不唯一. 二、充要条件 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2．如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 注意点： (1)如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分又不必要条件 三、判定定理、性质定理与充分、必要条件 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件，性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件． 注意点： (1)判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据，也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件． (2)性质定理同样是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征，性质定理给出了结论成立的必要条件 题型01充分条件与必要条件 【解题策略】 充分条件或必要条件的判断方法 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p对应的集合为A，q对应的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 【典例分析】 【例1】指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； (3)已知x∈R，p：x>2，q：x>4. 【解析】解　(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，所以p是q的充分条件． (3)方法一　由x>2⇏x>4，所以p不是q的充分条件． 方法二　设集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x>4}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． 【变式演练】 【变式1】　(1)“x>3”是“x2>9”的______条件． 【答案】充分 【解析】由x>3⇒x2>9，所以“x>3”是“x2>9”的充分条件． (2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①在△ABC中，p：∠B与∠C互余，q：△ABC为直角三角形； ②p：|x|>2，q：x>2. 解　①因为∠B＋∠C＝90°， 所以∠A＝90°， 所以△ABC为直角三角形， 所以p⇒q， 所以q是p的必要条件． ②因为当|x|>2时，x>2或x<－2， 所以p⇏q， 所以q不是p的必要条件． 【变式2】(多选)使x>4成立的一个充分条件是(　　) A．x>5 B．x>6 C．x>3 D．x<3 【答案】AB 【解析】　由x>5⇒x>4，x>6⇒x>4，由x>3和x<3均不可推出x>4. 【变式3】“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】　B 【解析】因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件． 【变式4】（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并集运算直接得结果； （2）根据必要条件可得集合的关系，对集合分类讨论即可得结论. 【详解】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 题型02 充要条件 【解题策略】 (1)判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 ①定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． ②集合法：即利用集合的包含关系判断． ③传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． (2)应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 ①根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． ②根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解 【典例分析】 【例2】　(1)指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． ①p：x＝1，q：x－1＝； ②p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； ③p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； ④p：a是自然数；q：a是正数． 【解析】解　①当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. 故p是q的充分不必要条件． ②由－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， 故p是q的充要条件． ③由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． ④0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分又不必要条件． (2)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解析】因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故或 解得m≤3. 又m>0，则0<m≤3. 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期中）是的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题干直接判断即可. 【详解】因为，且 ， 所以， 所以是的充要条件. 故选：C 【变式2】（2023高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的 条件. 【答案】充要 【分析】判断“”和“”之间的推出关系，即可得答案. 【详解】当时，可得，当时，也可得出， 故“”是“”的充要条件， 故答案为：充要 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 【答案】(1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的充分不必要条件 (3)p是q的充要条件 【分析】（1）（2）根据充分、必要条件分析判断； （3）根据集合的包含关系和运算结合充要条件分析判断. 【详解】（1）若可得中至少有一个不为零，即充分性成立， 但中至少有一个不为零不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （2）若可得，即充分性成立， 但不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （3）由题意可知：等价于，等价于， 所以等价于， 所以p是q的充要条件 题型03 判定定理、性质定理与充分、必要条件 【解题策略】 (1)区分一个定理是判定定理还是性质定理关键是看定理阐述了结论成立的依据还是揭示了一个研究对象的某个特征，若定理阐述了结论成立的依据，则是判定定理，否则是性质定理． (2)判定定理可用充分条件的语言来表述，性质定理可用必要条件的语言来表述 【典例分析】 【例3】指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述． (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (2)正方形的对角线互相垂直且相等． 解　(1)是判定定理，用充分条件的语言表述为“一个平行四边形是正方形”的充分条件是“这个平行四边形的对角线互相垂直且相等”． (2)是性质定理，用必要条件的语言表述为“四边形的对角线互相垂直且相等”是“这个四边形为正方形”的必要条件． 【变式演练】 【变式1】指出下列定理是判定定理还是性质定理： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）菱形的对角线互相垂直； （4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （5）三边对应成比例的两个三角形相似 （6）相似三角形的面积比等于相似比的平方. 【答案】详见解析； 【分析】根据定义逐项判断即可得解. 【详解】（1）只要是直角三角形，就可以利用该定理得出斜边上的中线等于斜边的一半，故该定理是性质定理； （2）一个三角形，若有两个角互余，就可以利用该定理得出该三角形是直角三角形，故该定理是判定定理； （3）只要一个平行四边形是菱形，就可以利用该定理得出对角线互相垂直，故该定理是性质定理； （4）两个三角形，若两边成比例且夹角相等，就可以利用该定理得出这两个三角形相似，故该定理是判定定理； （5）两个三角形，若三边对应成比例，就可以利用该定理得出这两个三角形相似，故该定理是判定定理； （6）只要两个三角形相似，就可以利用该定理得出这两个三角形的面积比等于相似比的平方，故该定理是性质定理 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）用必要条件的语言表述下面的性质： (1)若，则； (2)正方形的对角线互相垂直且相等； (3)两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3)详见解析. 【分析】利用必要条件的定义求解. 【详解】（1）解：是的必要条件； （2）四边形的对角线互相垂直且相等是该四边形为正方形的必要条件； （3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等是两条直线平行的必要条件 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理： (1)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)若，，则； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)如果是一元二次方程的两个实数根，那么． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据充分条件、必要条件的概念即可得解. 【详解】（1）在一个平面内，“两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直线平行”的充分条件，但不是必要条件（如平行四边形两边平行，但不一定与邻边垂直）. （2）“”是“”的充分条件，但不是必要条件（如，满足条件，但推不出）﹒ （3）“四边形的一组对边平行且相等”是“四边形为平行四边形”的充分条件，也是必要条件. （4）“是一元二次方程的两个实数根”是“”的充分条件，但不是必要条件（如满足，但不满足的实数，不是一元二次方程的根） 易错点1　条件判定不全面而致误 1．甲：“实数a，b，c满足2b＝a＋c”，乙：“实数a，b，c满足＋＝2”，则甲是乙的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当a＝b＝c＝0时，实数a，b，c满足2b＝a＋c，但此时＋＝2不成立；反过来由＋＝2得a＋c＝2b，实数a，b，c满足2b＝a＋c. 综上所述，“实数a，b，c满足2b＝a＋c”是“实数a，b，c满足＋＝2”的必要不充分条件， 故选A. 易错点2　不能正确区分命题的条件与结论而致误 2.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【解析】充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0， ∴方程一定有两个不等实根，分别设为x1，x2， 则x1x2＝<0， ∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，分别设为x1，x2，则由根与系数的关系，得 x1x2＝<0，即ac<0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东清远·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】解：因为， 所以，即， 又因为也能推出 故“”是“”的是充要条件， 故选：C. 2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 3．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：， 因为“”“”，但“”推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（23-24高一上·北京·期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊值，利用充分和必要条件的性质判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足，故充分性不成立； 当时，满足，但不满足，故必要性不成立； 所以“” 是的既不充分又不必要条件， 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题中正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“且”的充分不必要条件 C．“”是“”的即不充要也不必要条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】CD 【分析】根据充分、必要条件逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于选项B：“”不能推出“且”，例如，故充分性不成立， “且”可以推出“”，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件，故B错误； 对于选项C：“”不能推出“”，例如，故充分性不成立， “”不能推出“”，例如，故必要性不成立， 所以“”是“”的即不充要也不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为“”等价于“”， 所以“”是“”的充要条件，故D正确； 故选：CD. 6．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】当时，有，也有，因此不能得出， 反之当时，，但，即由也不能得出， 所以两者既不充分也不必要，故A错误； 当时，，但， 当时，，故B正确； 当时，，从而， 反之，时，若，则， 所以两者不是充要条件，故C错误； 且，D正确， 故选：BD． 三、填空题 7．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 【答案】 【分析】解不等式，根据充分不必要条件列不等式可得解. 【详解】由已知，即， ，即， 又是的充分不必要条件， 所以， 解得， 故答案为：. 8．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）请写出“”的一个必要不充分条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由充分条件、必要条件的定义即可得出答案. 【详解】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件； 对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：（答案不唯一）. 9．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 11．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【详解】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系即可求解. 【详解】因为，，又是的必要不充分条件， 所以，解得，经检验满足题意. 故选：D. 2．（23-24高一上·山东济南·阶段练习）已知，则“为偶数”是“为偶数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由题， 若“为偶数，则为偶数， 因为与奇偶性相同，所以与都为偶数，则“为偶数”， 若为偶数，则为偶数，所以为偶数； 所以“为偶数”是“为偶数”的充要条件. 故选：C 3．（23-24高一上·天津北辰·阶段练习）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的定义求出a的取值范围. 【详解】因为p是q的充分不必要条件，则，于是， 所以a的取值范围是. 故选：C 二、多选题 4．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分条件的定义及集合间的关系判定即可. 【详解】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 5．（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）可以作为“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据充分不必要条件的知识求得正确答案. 【详解】“”的充分不必要条件可以是：、， 所以BD选项正确，AC选项错误. 故选：BD 三、填空题 6．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据条件转化为集合的包含关系，即可求解. 【详解】，得或， 若“”是“”的必要不充分条件，得或， 所以，即的最大值为. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 8．（21-22高一上·江西抚州·阶段练习）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高一上·江西·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据集合运算法则进行运算即可；（2）把条件转化为集合之间的关系，列出不等式，解出即可. 【详解】（1）当时，， 又，则或， 所以或. （2）由“”是“”的必要条件，知， 当时，显然，则，即； 当时，由得，即， 综上，，即实数的取值范围为. 10．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）“”是“等式”的（　　） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】由题意，解得或，然后根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，即，解得或， 所以能推出，不能推出， 所以“”是“等式”的充分不必要条件， 故选：A. 二、填空题 2．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别把不等式表示为集合形式，将必要不充分条件转化为集合间的真包含关系，从而得到结果. 【详解】设，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 3．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 【答案】 ④ ① 【分析】分别求出条件①②③④的充要条件，然后由充分条件、充要条件的定义即可求解. 【详解】由题意有：①或，即，至少有一个为0； ②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正数一负数； ③，为任意实数或，均为0； ④或，即，都不为0． 综上可知：（1）使，都不为0的充分条件是④；（2）使，至少有一个为0的充要条件是①． 故答案为：④；①． 三、解答题 4．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知； （2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求. 【详解】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 【下节预览】 一、解答题 1．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再用符号表示即可． 【详解】（1）全称量词命题．表示为，． （2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点． （3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$