第06讲 空间向量运算的坐标表示（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第06讲 空间向量运算的坐标表示 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量运算的坐标表示 3 题型02 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 6 题型03 夹角和距离的计算 10 易错归纳 15 分层练习 16 夯实基础 16 能力提升 22 创新拓展 28 一、空间向量运算的坐标表示 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b 减法 a－b 数乘 λa 数量积 a·b 2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝________________________.即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标________起点坐标． 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔________________，________________，________________(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔________________________. 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0. 三、夹角和距离的计算 1．空间两点间的距离公式： 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝__________________________________. 2．空间向量的夹角公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝______________________. 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. 题型01空间向量运算的坐标表示 【解题策略】 空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标 【典例分析】 【例1】(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________. (2)在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5)． ①求顶点B，C的坐标； ②求·； ③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． 【变式演练】 【变式1】已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝__________，b＝__________，a·b＝________. 【变式2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）向量，向量在向量上的投影向量坐标是 . 【变式3】（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    题型02 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 【解题策略】 　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 【典例分析】 【例2】课本例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证EF⊥DA1. 【变式演练】 【变式1】已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设＝a，＝b. (1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？ (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． 【变式2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点． 求证：(1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）已知空间三点、、，设. (1)若，求点坐标； (2)若向量与互相垂直，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 题型03 夹角和距离的计算 【解题策略】 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 【典例分析】 【例3】课本例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1＝A1B1，D1F1＝C1D1. (1)求AM的长； (2)求BE1与DF1所成角的余弦值． 【变式演练】 【变式1】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点． (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积． 【变式2】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． (1)求FH的长； (2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值． 【变式3】如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； (3)求证：BN⊥平面C1MN. 易错警示　由向量的夹角求参数的取值范围 已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（ ） (　　) A．(－2，＋∞) B．∪ C．(－∞，－2) D． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（23-24高二下·福建·期中）已知且，则（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2024高二·全国·专题练习）若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 二、多选题 5．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知向量，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 7．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知，则 . 8．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知空间向量，若与垂直，则 . 9．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知空间向量，若，则 . 四、解答题 10．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知空间向量． (1)计算和; (2)求与夹角的余弦值． 13．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知空间向量，，． (1)若向量与向量垂直，求x的值； (2)在（1）的条件下判断向量，，是否共面? 14.（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南张家界·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A． B．5 C．4 D． 2．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 3．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知空间向量，，若，则实数（    ） A．0 B．2 C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D．向量的夹角为 6．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知向量，，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C． D．向量共面 三、填空题 7．（21-22高二上·湖南株洲·期末）已知向量，，且与平行，则 . 8．（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 9．（22-23高二上·北京·阶段练习）若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知， (1)若，求x的值； (2)若，，求与所成角的余弦值. 11．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知空间向量，，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，且与互相平行，求实数的值． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（21-22高二上·广东·期中）已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（21-22高二上·黑龙江大庆·期末）如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是 ．    三、解答题 4．（23-24高二上·全国·期末）已知向量，，，，． (1)求向量，，； (2)求向量与所成角的余弦值． 【下节预览】 一、解答题 1．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知. (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是的一个法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 空间向量运算的坐标表示 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量运算的坐标表示 3 题型02 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 6 题型03 夹角和距离的计算 10 易错归纳 15 分层练习 16 夯实基础 16 能力提升 22 创新拓展 28 一、空间向量运算的坐标表示 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0. 三、夹角和距离的计算 1．空间两点间的距离公式： 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝ . 2．空间向量的夹角公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝. 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. 题型01空间向量运算的坐标表示 【解题策略】 空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标 【典例分析】 【例1】(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________. 【答案】 －4 【解析】　 易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)， 则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. (2)在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5)． ①求顶点B，C的坐标； ②求·； ③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． 【详解】　①设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以＝(x－2，y＋5，z－3)， ＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为＝(4,1,2)， 所以解得 所以点B的坐标为(6，－4,5)． 因为＝(3，－2,5)， 所以解得 所以点C的坐标为(9，－6,10)． ②因为＝(－7,1，－7)， 所以·＝－21－2－35＝－58. ③设P(x2，y2，z2)， 则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)， ＝(9－x2，－6－y2,10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2,10－z2)， 所以解得 故点P的坐标为. 【变式演练】 【变式1】已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝__________，b＝__________，a·b＝________. 【答案】　(1，，)　 (1,0，)　4 【解析】　a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)， ∴a＝(1，，)，b＝(1,0，)， ∴a·b＝1＋0＋3＝4. 【变式2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）向量，向量在向量上的投影向量坐标是 . 【答案】 【分析】根据投影向量的概念计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量坐标为： . 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【答案】. 【分析】利用空间坐标系中向量坐标求法，结合向量的运算进行求解. 【详解】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为， 则， . .    题型02 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 【解题策略】 　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 【典例分析】 【例2】课本例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证EF⊥DA1. 【详解】证明　不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则E， F， 所以＝. 又A1(1,0,1)，D(0,0,0)， 所以＝(1,0,1)． 所以·＝·(1,0,1)＝0. 所以⊥，即EF⊥DA1. 【变式演练】 【变式1】已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设＝a，＝b. (1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？ (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． 【详解】解　(1)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， 所以2a－b＝(3,2，－2)， 又c＝， 所以2a－b＝－2c， 所以(2a－b)∥c. (2)由(1)知ka＋b＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或－. 【变式2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点． 求证：(1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 【详解】证明　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设该正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，B1(1,1,1)． (1)∵＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)， ∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0. ∴⊥，∴BD1⊥AC. (2)∵＝(－1，－1,1)，＝， ∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， ∴⊥，∴BD1⊥EB1. 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）已知空间三点、、，设. (1)若，求点坐标； (2)若向量与互相垂直，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设，求出，，根据列出方程组求解即可； （2）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示列出方程求解即可； （3）求出向量、的坐标，设，进而列出方程组求解即可. 【详解】（1）设，则，， 由，得， 解得，即. （2）由，， 则，， 因为向量与互相垂直， 所以，即， 解得或. （3）由（2）知，，， 所以，， 因为向量与平行，设， 则，解得. 题型03 夹角和距离的计算 【解题策略】 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 【典例分析】 【例3】课本例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1＝A1B1，D1F1＝C1D1. (1)求AM的长； (2)求BE1与DF1所成角的余弦值． 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1,0,0)，点M的坐标为.于是AM＝＝. (2)由已知，得B(1,1,0)，E1，D(0,0,0)，F1， 所以＝－(1,1,0)＝， ＝－(0,0,0)＝， ||＝，||＝. 所以·＝0×0＋＋1×1＝. 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以，BE1与DF1所成角的余弦值是. 【变式演练】 【变式1】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点． (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积． 【详解】解　以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 则B(0,1,0)，M(1,0,1)， N. (1)∵＝(1，－1,1)， ＝， ∴||＝＝， ||＝＝. 故BM的长为，BN的长为. (2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN. ∵cos∠MBN＝cos〈，〉 ＝＝＝， ∴sin∠MBN＝＝， 故S△BMN＝×××＝. 即△BMN的面积为. 【变式2】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． (1)求FH的长； (2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值． 【详解】解　(1)如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点， 则有F，H， ∴＝， ∴||＝＝. ∴FH的长为. (2)由(1)知E，F， ∴＝，∴||＝. 又C1(0,1,1)，G， ∴＝，∴||＝. ∴·＝×0＋×＋×(－1)＝， ∴|cos〈，〉|＝＝. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. 【变式3】如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； (3)求证：BN⊥平面C1MN. [思路探究]　→→→→ [详解]　(1)如图所示，建立空间直角坐标系C­xyz. 依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴||＝＝， ∴线段BN的长为. (2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， ∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， ∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又||＝，||＝. ∴cos〈，〉＝＝. 故A1B与B1C所成角的余弦值为. (3)证明：依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)， N(1,0,1)，M， ∴＝，＝(1,0，－1)， ＝(1，－1,1)， ∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0， ·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0. ∴⊥，⊥， ∴BN⊥C1M，BN⊥C1N， 又∵C1M∩C1N＝C1，C1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN， ∴BN⊥平面C1MN. 易错警示　由向量的夹角求参数的取值范围 已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是 (　　) A．(－2，＋∞) B．∪ C．(－∞，－2) D． 错解：选A．因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0. 由a·b<0得(3，－2，－3)·(－1，x－1,1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2. 错解分析：错误的根本原因是忽视了a·b<0包含〈a，b〉＝180°的情况．实际上a与b夹角为钝角⇔a·b<0且〈a，b〉≠180°. 正解：选B．因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0且〈a，b〉≠180°. 由a·b<0得(3，－2，－3)·(－1，x－1,1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2. 若a与b的夹角为180°， 则存在λ<0，使b＝λa，即(－1，x－1,1)＝λ(3，－2，－3)， 所以，解得x＝， 所以x的取值范围是∪ 防范措施： 1．明确两个充要条件 (1)向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且〈a，b〉≠0°. (2)向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0且〈a，b〉≠180°. 2．注意向量共线情况的计算 先利用a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，求出参数，再根据“λ>0，a与b同向，λ<0，a与b反向”确定满足题意的参数的值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示列出式子直接得出答案. 【详解】，，且， ， 解得：， 故选：B. 2．（23-24高二下·福建·期中）已知且，则（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以存在实数，使得，又, 所以，所以，解得， 所以. 故选：C. 3．（2024高二·全国·专题练习）若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】因为向量，向量， 所以. 故选：C 4．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量夹角公式的坐标运算，即可求解. 【详解】因为，可得. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知向量，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】ABC选项，根据得到且，AC正确，B错误；D选项，利用投影向量的求解公式得到答案. 【详解】ABC选项，由题意得，故且，AC正确，B错误； D选项，在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ACD 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解决. 【详解】因为，所以，故A正确； 由题得，而，所以不成立，故B不正确； 因为，故C正确； 因为在上的投影向量为，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 7．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量夹角的余弦公式求出答案. 【详解】向量， , ， ∴， 与的夹角为. 故答案为： 8．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知空间向量，若与垂直，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为与垂直，可得， 解得. 故答案为：. 9．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知空间向量，若，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标运算，即可求出结果. 【详解】因为，， 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知空间向量． (1)计算和; (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1), (2)． 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）由题可得 ． （2）由题可得， ， ,与夹角的余弦值为． 13．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知空间向量，，． (1)若向量与向量垂直，求x的值； (2)在（1）的条件下判断向量，，是否共面? 【答案】(1)3 (2)不共面 【分析】（1）根据空间向量垂直的坐标关系运算得解； （2）根据向量共面定理判断. 【详解】（1）由题可得，若向量与垂直， 则，即，解得. （2）由（1）， 假设共面，则存在实数，使得， 即， ，，矛盾， 故不存在实数，即向量不共面. （22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用向量平行和向量模长的坐标表示列式求解即可； （2）利用向量数量积和向量模长的坐标表示求出夹角进而求面积即可. 【详解】（1）由可得， 若，则， 又，所以，解得， 所以或. （2）由可得，， 所以，，， 所以，所以， 所以. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南张家界·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】借助向量垂直的性质及数量积的坐标运算即可得. 【详解】由，故，即有，解得. 故选：B. 2．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据三点共线得向量共线，然后根据向量共线的坐标形式列式计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，又向量， 所以，所以，所以. 故选：A 3．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加减运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 4．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知空间向量，，若，则实数（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量平行的性质求解即可. 【详解】由，可设，则， 所以， 故选：D 二、多选题 5．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D．向量的夹角为 【答案】AC 【分析】根据空间向量的运算求得正确答案. 【详解】对A，，A选项正确； 对B，，B选项错误； 对C，，C选项正确； 对D，， 所以向量的夹角为，D选项错误. 故选：AC 6．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知向量，，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C． D．向量共面 【答案】ABD 【分析】根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，， 在上的投影向量为，B正确； 对于C，，与不垂直，C错误； 对于D，，共面，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．（21-22高二上·湖南株洲·期末）已知向量，，且与平行，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由空间向量平行的坐标公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，， 因为与平行，所以当时，，解得； 当时，，. 综上，. 故答案为： 8．（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的垂直的坐标表示求出m的值，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】， 又，， 而，故与的夹角为， 故答案为： 9．（22-23高二上·北京·阶段练习）若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 【答案】/ 【分析】利用空间向量的数量积与模长公式计算夹角即可. 【详解】设异面直线与的夹角为，则， . 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知， (1)若，求x的值； (2)若，，求与所成角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据空间向量垂直的坐标表示列式计算即可； （2）先根据向量模的坐标公式求得，然后代入夹角余弦值的坐标公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以，又，所以， 所以向量与所成角的余弦值为. 11．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知空间向量，，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，且与互相平行，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量垂直的坐标表示公式，结合空间向量运算的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据空间向量平行的坐标表示公式，结合空间向量运算的坐标表示公式进行求解即可 【详解】（1）因为空间向量，， 所以，， 因为与互相垂直， 所以； （2）因为， 所以，或， 因为与互相平行， 所以， 综上所述：实数的值为. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的坐标表示求出关系式，再利用空间两点间距离求解即得. 【详解】依题意，，显然，则，解得， 又，即， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用空间向量共线的坐标表示求得是解题之关键. 2．（21-22高二上·广东·期中）已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可. 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 二、填空题 3．（21-22高二上·黑龙江大庆·期末）如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是 ．    【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，求得，取线段的中点，可知点的轨迹为线段，求出点关于直线的对称点的坐标，由此可求得结果. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点， ，， 因为，则，即，即点， 由题意可得，则， 取点，则点的轨迹为线段，设点关于直线的对称点为点， 则线段的中点在直线上，所以，，可得，① ，，②， 联立①②可得，，则点，由对称性可知， 所以，点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值， 即为点到平面的距离，即为. 故答案为：.    【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，再计算得到点的轨迹，最后利用对称的知识得到最值. 三、解答题 4．（23-24高二上·全国·期末）已知向量，，，，． (1)求向量，，； (2)求向量与所成角的余弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示列方程组求解即可； （2）根据向量的坐标与数量积运算，利用公式求解即可. 【详解】（1）因为，，，且，， 所以不为， 所以，解得，，， 所以，，. （2）由（1）可得，， 所以， ，， 所以向量与所成角的余弦值. 【下节预览】 一、解答题 1．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知. (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是的一个法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式. 【答案】(1) (2)2x－y－2z＋6＝0 【分析】（1）由两点坐标即可求出结果； （2）利用平面法向量的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以直线的一个方向向量为： . （2）因为平面经过且是平面内的任意一点， 则有， 又因为是平面的一个法向量， 所以， 从而， 即， 所以， 整理可得， 所以满足的关系式为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$