第05讲 全集、补集及综合运用（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第05讲 全集、补集及综合运用 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 补集的运算 2 题型02 集合交、并、补集的综合运算 4 题型03 与补集有关的参数值的求解 6 易错归纳 8 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 13 创新拓展 16 1．全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的________元素，那么就称这个集合为________ 记法 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中________集合A的所有元素组成的集合称为集合A__________全集U的补集，简称为集合A的补集，记作________ 符号语言 ∁UA＝____________ 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝________，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝________； (4)A∪(∁UA)＝________； A∩(∁UA)＝∅ 题型01补集的运算 【解题策略】 求集合的补集的方法 1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解. 2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集. 3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题. 【典例分析】 【例1】　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知集合，则 【变式3】（22-23高一·全国·课堂例题）设全集，不等式组的解集为A，试求A及，并把它们分别表示在数轴上. 题型02 集合交、并、补集的综合运算 【解题策略】 解决集合交、并、补运算的技巧 1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. 2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 【典例分析】 【例2】（23-24高一下·四川达州·期中）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（21-22高一上·河南商丘·阶段练习）设全集为U，集合P，Q如Venn图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·湖南湘西·阶段练习）设集合，，则 ． 【变式3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知全集为全体实数，集合，集合. (1)求； (2)求. 题型03 与补集有关的参数值的求解 【解题策略】 由集合的补集求解参数的方法 1如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解. 2如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解. 【典例分析】 【例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【变式2】（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 【变式3】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 易错警示　忽视语言转换的等价性 设全集I＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则∁I(M∪N)＝（ ） (　　) A．∅ B．{(2,3)} C．(2,3)　　　　D．{(x，y)|y＝x＋1} 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一上·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期中）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）已知全集，集合，则（　　） A． B． C．或 D． 4．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一上·河北衡水·阶段练习）若全集，集合满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D．0 三、填空题 6．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集，集合，且，则 . 7．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 8．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则 . 四、解答题 9．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，全集，且， (1)求集合； (2)求. 10．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，.求： (1)集合； (2)集合； (3)集合，. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知，均为集合的子集， ，，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，则下列结论正确的是（    ） A．集合中有6个元素 B． C． D．的真子集个数是3 4．（23-24高一上·山东淄博·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，集合，则的取值范围是 . 四、解答题 6．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B. 7．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）设非空集合，定义且，则集合（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 4．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【下节预览】 1．下列语句是命题的是(　　 ) A．梯形是四边形　　 B．作直线AB C．x是整数 D．今天会下雪吗 2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．使x>3成立的一个充分条件是(　　 ) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 全集、补集及综合运用 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 补集的运算 2 题型02 集合交、并、补集的综合运算 4 题型03 与补集有关的参数值的求解 6 易错归纳 8 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 13 创新拓展 16 1．全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ 题型01补集的运算 【解题策略】 求集合的补集的方法 1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解. 2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集. 3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题. 【典例分析】 【例1】　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________. 【答案】(1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　 【详解】(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}． 又∁UB＝{1,4,6}， 所以B＝{2,3,5,7}． 法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示． 由图可知B＝{2,3,5,7}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】因为，又，所以． 故选：B． 【变式2】（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知集合，则 【答案】或 【分析】根据补集的定义即可写出答案. 【详解】全集为实数R，集合； 故或. 故答案为：或. 【变式3】（22-23高一·全国·课堂例题）设全集，不等式组的解集为A，试求A及，并把它们分别表示在数轴上. 【答案】A，，答案见解析 【分析】解不等式即可求出解集A及，并在数轴上表示. 【详解】由题意， ，解得：， ∴，， 在数轴上分别表示如图： 题型02 集合交、并、补集的综合运算 【解题策略】 解决集合交、并、补运算的技巧 1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. 2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 【典例分析】 【例2】（23-24高一下·四川达州·期中）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，根据集合的交集的运算，即可求得答案. 【详解】由题意知集合，， 故， 故=， 故选：A 【变式演练】 【变式1】（21-22高一上·河南商丘·阶段练习）设全集为U，集合P，Q如Venn图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据Venn图和集合的相关运算，对每个选项分析即可 【详解】由Venn图可知，Q是P的子集，故，，故A，B错误； 与Q在Venn图上没有公共部分，所以，C正确； 表示集合P中去掉集合Q剩余的部分，故D错误． 故选：C 【变式2】（23-24高一上·湖南湘西·阶段练习）设集合，，则 ． 【答案】 【分析】先求出，再计算 【详解】因为，所以或， 又因为，所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知全集为全体实数，集合，集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得； （2）根据补集、并集的定义计算可得. 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 又， 所以. （2）因为全集为全体实数， 所以或，或， 所以或. 题型03 与补集有关的参数值的求解 【解题策略】 由集合的补集求解参数的方法 1如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解. 2如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解. 【典例分析】 【例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． [思路点拨]　法一： 法二： [详解]　法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． 法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A， 又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【答案】或且 【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果. 【详解】对于集合A，由，解得; 对于集合B，由，解得. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是或，且 故答案为：或且 【变式2】（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据补集的运算即可求解. 【详解】∵，∴且，∴． 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 易错警示　忽视语言转换的等价性 设全集I＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则∁I(M∪N)＝（ ） (　　) A．∅ B．{(2,3)} C．(2,3)　　　　D．{(x，y)|y＝x＋1} 易错防范：容易错选A，原因是将集合M看作直线y＝x＋1上的点的集合．防范措施是在变形的过程中，不可忽视等价性． 正解：M是直线y＝x＋1上除去点(2,3)的点的集合．集合N是坐标平面内不在直线y＝x＋1上的点的集合，所以M∪N是坐标平面上除去(2,3)以外的点构成的集合，它的补集∁I(M∪N)＝{(2,3)}，应选B． 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一上·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的定义即可求解. 【详解】由题知，因为， 所以，，. 故选：C 2．（23-24高一上·重庆·期中）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定运算结果，求出集合，再逐项判断即得. 【详解】全集，由，得， 所以，ABD错误， C正确. 故选：C 3．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）已知全集，集合，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用集合的补集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 4．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出集合A，再由补集的概念求即可. 【详解】由题意得， 又因为，所以， 故选：C. 二、多选题 5．（22-23高一上·河北衡水·阶段练习）若全集，集合满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D．0 【答案】AB 【分析】根据集合中元素的性质以及补集概念求解即可. 【详解】因为，所以根据元素互异性可知，所以， 显然， 则或. 故选：AB 三、填空题 6．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集，集合，且，则 . 【答案】 【分析】由题设知，应用分类讨论求参数值. 【详解】由题设知：， 若；若无解； 所以. 故答案为： 7．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】因为，所以，则，解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 8．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则 . 【答案】 【分析】根据补集的运算可得，即可列等式求解. 【详解】由可得，由于，所以，所以，解得， 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，全集，且， (1)求集合； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集的定义和运算即可求解； （2）根据交集的定义和运算即可求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2），由（1）知， . 10．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，.求： (1)集合； (2)集合； (3)集合，. 【答案】(1)或. (2)或. (3)，或. 【分析】（1）由补集的定义求解即可； （2）由补集和交集的定义求解即可； （3）由交集和并集的定义求解即可. 【详解】（1）借助数轴可得    ∴或. （2）∵，    ∴＝或.    或. （3），    或 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集与补集的定义求解即可. 【详解】由题意，. 故选：C 2．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知，均为集合的子集， ，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，先求出，再由，，可得集合. 【详解】，均为集合的子集，，则， ，，则. 故选：B 二、多选题 3．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，则下列结论正确的是（    ） A．集合中有6个元素 B． C． D．的真子集个数是3 【答案】BCD 【分析】计算出集合后，结合集合性质逐个选项计算即可得. 【详解】由，且，故， 故集合中有5个元素，A错误； ，B正确； ，C正确； ，真子集个数是个，D正确. 故选：BCD. 4．（23-24高一上·山东淄博·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 三、填空题 5．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，集合，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由补集运算得，再结合并集运算与数轴数形结合可得的取值范围. 【详解】因为，所以或. 又因为， 观察与在数轴上表示的范围，如图所示： 所以当时，. 故答案为：. 四、解答题 6．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B. [详解]　法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{1,2,3,5,6}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}， (∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}． 法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}． 7．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． [解]　如图所示． ∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}， ∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}． A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}． 故(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与，利用集合交、并、补运算的法则可得到答案. 【详解】集合，， 则，， 由定义可得：且，且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 故选：C 2．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）设非空集合，定义且，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义运算求得正确答案. 【详解】依题意可知， 则，， 所以. 故选：D 二、填空题 3．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 【答案】90 【分析】由题意，任意一个元素只能在集合之一中，求出这5个元素在集合中的个数，再求出分别为空集的种数，从而即可得解． 【详解】任意一个元素只能在集合之一中， 则这5个元素在集合中，共有种； 其中为空集的种数为，为空集的种数为， ∴均为非空子集的种数为， 又与视为同一组互斥子集， U共有互斥子集种. 故答案为：90． 4．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 【下节预览】 1．下列语句是命题的是(　　 ) A．梯形是四边形　　 B．作直线AB C．x是整数 D．今天会下雪吗 【答案】A　 【详解】D不是陈述句，B、C不能判断真假． 2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　C 3．使x>3成立的一个充分条件是(　　 ) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 【答案】A　 【详解】只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3. 4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A　 【详解】因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$