5.1.2弧度制课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.2　弧度制 课标定位 素养阐释 1.了解弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 3.能运用弧长公式和扇形面积公式. 4.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理与数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、角度制与弧度制 1.阅读下面的语句,并回答问题: (1)在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的? (2)在给定半径的圆中,弧长一定时,圆心角确定吗? 提示:确定. 2.(1)角度制和弧度制 (2)单位圆:半径为 1 的圆叫做单位圆. (3)角的弧度数的计算 在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么 (4)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. 3.下列说法错误的是(　　) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关 答案:D 二、角度制与弧度制的换算 1.角度制和弧度制都是度量角的单位制,它们之间如何进行换算? 2.(1)角度与弧度的互化 (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 答案:A 三、扇形的弧长及面积公式 1.初中所学的扇形的弧长、面积分别是什么?用弧度怎么表示? 答案:A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)1 rad的角和57°的角大小相等.( × ) (2)用弧度来表示的角都是正角.( × ) (3)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.( √ ) (4)若扇形的半径为1 cm,圆心角为30°,则扇形的弧长l=|α|r=30 cm.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 角度与弧度的互化 【例1】 把下列各角从角度化成弧度或从弧度化成角度:(不必求近似值) 反思感悟 将角度转化为弧度时,要先把带有分、秒的部分化为度之后,再用公式化成弧度,牢记π rad=180°.把弧度转化为角度时,直接用弧度数乘 即可. 探究二 用弧度制表示角及其范围 【例2】 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合. ① ② 分析:先将边界角由角度化为弧度,再根据阴影部分写出角的集合. 反思感悟 用弧度制表示角应注意的问题: (1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用;必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用. (2)在表示角的集合时,可以先写出一周范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z. (3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 【变式训练2】 以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合. 探究三 扇形的弧长、面积公式的应用 (1)试用x分别表示扇形ADG和BDE的面积,并写出x的取值范围; (2)当x为何值时,草坪的面积最大?求出最大面积. 分析:(1)计算扇形面积,根据条件可得CF+AG≤AC,且BD不大于△ABC的高,解得x的取值范围;(2)列出草坪面积的函数解析式,根据二次函数图象的对称轴与定义区间的位置关系求最值. 反思感悟 求扇形的弧长和面积的关键在于确定扇形的半径r和扇形的圆心角弧度数α,解题时通常要根据已知条件列出方程求解. 【变式训练3】 (1)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4,那么这个圆心角所对的弧长为(　　) 答案:D (2)已知一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数. 易 错 辨 析 因角度制与弧度制混用致错 【典例】 将-1 485°化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式为　　　　　.  错解:因为-1 485°=-4×360°-45°=-5×360°+315°,所以-1 485°可以表示为-10π+315°. 答案: -10π+315° 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:化为2kπ+α形式时出错,即-10π+315°不正确. 防范措施 【变式训练】 把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角: 随 堂 练 习 答案:D 答案:C 3.若扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形的面积是(　　) A.16π B.32π C.16 D.32 答案:C 4.将2 370°化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式为　　　　　. 5.已知扇形的半径为10 cm,圆心角为60°,求扇形的弧长和面积. 提示:1度角等于周角的. 角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,1度的角等于周角的 弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制 |α|=. B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的 提示:利用1°= rad和1 rad=°进行弧度与角度的 换算. 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 3.-240°化为弧度是(　　) A.-π B.-π C.-π D.-π 解析:-240°=-240×=-π. 提示: 初中所学的扇形的弧长公式是l=,面积公式是 S=(其中R为扇形的半径,n为其圆心角). 因为360°=2π,所以l==αR,S=αR2(其中α为其圆 心角的弧度数). 2.设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角的弧度数,则扇形的弧长l= αR ,扇形的面积S= lR =|α|R2. 3.在半径为10的圆中,240°的圆心角所对弧长为(　　) A. B. C. D. 解析:∵240°=240× rad= rad, ∴弧长l=|α|·r=×10=,选A. (5) rad的角是直角,2π rad的角是周角.( √ ) (1)10°;　(2)-10°30';　(3)1.5;　(4)-. 分析:(1)(2)为角度化弧度,先将分、秒化为度,再用公式化成弧度;(3)(4)为弧度化角度,若含π,则利用公式180°=π转化,若不含π,则利用1 rad=转化. 解:(1)10°=10×; (2)-10°30'=-10.5°=-=-; (3)1.5=°=°; (4)-=-×180°=-105°. ° 【变式训练1】 将下列角度与弧度进行互化: (1)20°;　(2)-15°;　(3);　(4)-. 解:(1)20°=. (2)-15°=-=-. (3)×180°=75°. (4)-=-×180°=-396°. 解:(1)如题图①,330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度,即-.又75°=75×,所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ<θ<2kπ+,k∈Z}. (2)如题图②,因为30°=,210°=,这两个角的终边在同一直线上, 所以终边在直线AB上的角为α=kπ+,k∈Z. 又终边在y轴上的角为β=kπ+,k∈Z, 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ}. {xx=α+k·,k∈Z}. 解:在0到2π范围内,终边落在直线y=-x上的角为. 所有与终边相同的角构成的集合为 S1=, 所有与终边相同的角构成的集合为 S2=={α+(2k+1)π,k∈Z}, 所以终边落在直线y=-x上的角的集合为 S=S1∪S2= 【例3】 某市现有一块近似正三角形的土地ABC(如图所示),其边长为200 m,为了满足市民的休闲需求,市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场,即扇形BDE,ADG和CEF,其中分别相切于点D,E,且无重叠,阴影部分种植草坪.设BD长为x(单位:m),草坪面积为S(单位:m2). 解:(1)因为BD=x,所以BE=x,AD=AG=EC=FC=200-x. 在扇形BDE中,弧长为x,所以S扇形BDE=x2=x2. 同理,S扇形ADG=(200-x)2=(200-x)2. 因为无重叠, 所以CF+AG≤AC,即200-x+200-x≤200, 解得x≥100. 又因为三个扇形都在三角形内部,所以BD不大于△ABC的高,即x≤100.所以x∈[100,100]. (2)因为S△ABC=10 000, 所以S阴影=S△ABC-S扇形BDE-S扇形ADG-S扇形CEF =10 000[x2+2(200-x)2] =10 000, 所以当x=时,S阴影取得最大值10 000. 故当BD= m时,草坪的面积最大,最大值为10 000m2. A.2 B. C.2sin 1 D. 解析:如图,∠AOB=2 rad,AB=4. 因为C是AB的中点, 所以∠AOC=1 rad,AC=2. 所以OA=. 所以2弧度的圆心角所对的弧长为2×. 解:设扇形的半径为R,弧长为l,由题意可知2R+l=4.故l=4-2R. 根据扇形面积公式S=lR,得1=(4-2R)·R,解得R=1,故l=2. 所以α==2,即扇形的圆心角为2 rad. 正解:因为-1 485°=-5×360°+315°, 所以-1 485°可以表示为-10π+. 答案:-10π+ 在同一式子中,两种单位不能混用,如45°+2kπ(k∈Z)与 k·360°+都是错误的.要么全用角度制,要么全用弧度制. (1)-1 500°;　　(2);　　(3)-4. 解:(1)∵-1 500°=-1 800°+300°=-5×360°+300°, ∴-1 500°=-10π+,是第四象限角. (2)∵=2π+,∴终边相同,是第四象限角. (3)∵-4=-2π+(2π-4),<2π-4<π, ∴-4与2π-4终边相同,是第二象限角. 1.把56°15'化为弧度是(　　) A. B. C. D. 解析:56°15'=56.25°=. 2.把化为角度是(　　) A.270° B.280° C.288° D.318° 解析:°=288°. 解析:设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S. 由题意可得 解得故S=lr=16. 解析:因为2 370°=6×360°+210°, 所以2 370°可以表示为12π+. 答案:12π+ 解:因为扇形的圆心角α=60°=,半径r=10 cm, 所以弧长l=α·r=×10=(cm),面积S=lr=×10=(cm2). $$