2023-2024学年人教版八年级数学下册暑假大复习 一次函数常考题型

2023-2024人教版八年级下一次函数常考题型暑假大复习 【题型1 函数的概念】 【例1】（2022春•莆田期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春•长沙师大博才八年级期末） 下列各图中表示是的函数图像的是（ ） A B. C. D. 【变式1-3】（2022春•汉阴县期末）变量x，y有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 自变量取值范围的确定】 【例2】（2022春•扶沟县期末）函数y中自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≠﹣3 【变式2-1】（2022春•昌平区期末）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．x≠0 【题型3 函数图像的识别】 【例3】（2022春•芝罘区期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022•雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2022春•呼和浩特期末）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法正确的是（　　） A．张强从家到体育场的速度是 km/ℎ B．体育场离文具店4千米 C．张强在文具店逗留了15分 D．张强从文具店回家的平均速度是 千米/分 【变式3-3】（2022•綦江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（　　） A．爷爷比小强先出发20分钟 B．小强爬山的速度是爷爷的2倍 C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况 D．山的高度是480米 【题型4 动点问题的函数图象】 【例4】（2022春•洪江市期末）如图1，矩形ABCD中，动点E从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点E运动的时间为xs，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积为（　　） A．48cm2 B．24cm2 C．21cm2 D．12cm2 【变式4-1】（2022•武威模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A．16 B．20 C．36 D．45 【变式4-2】（2022春•海淀区校级期中）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2022•大同模拟）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D方向运动至点D处停止．设点P运动的路程为x，△APD的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点P应运动到（　　） A． 点C处 B．点D处 C．点A处 D．点B处 【知识点5 一次函数和正比例函数的概念】 一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。 特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。 【题型5 一次函数、正比例函数的识别】 【例5】（2022春•麻城市校级月考）下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式5-1】（2022•市北区期中）下列语句中，y与x是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系 （2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y厘米，y与x的关系； （4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费y元，y与x的关系． A．1 B．4 C．3 D．2 【变式5-2】（2015春•盱眙县校级期末）下列问题中，是正比例函数的关系的是（　　） A．矩形面积一定，长与宽的关系 B．正方形面积和边长的关系 C．三角形面积一定，底边和底边上的高的关系 D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系 【知识点6 正比例函数和一次函数解析式的确定】 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 【题型6 用待定系数法求一次函数解析式】 【例6】（2021春•雄县期末）已知y是z的一次函数，z是x的正比例函数，问： （1）y是x的一次函数吗？ （2）若当x＝5时，y＝﹣2；当x＝﹣3时，y＝6．则当x＝1时，y的值是什么？ 【变式6-1】（2024春•周南八年级期中）已知函数y=（m+1）x2-|m|+n+4． （1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？ 【变式6-2】（2022•广陵区校级期末）已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的关系式； （2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值． 【知识点7 一次函数与正比例函数的图象与性质】 1、正比例函数的图象与性质 解析式 自变量取值范围 全体实数 图象 形状 过原点的一条直线 的取值 示意图 位置 经过一、三象限 经过二、四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 函数增减性 随的增大而增大， 即：当时， 随的增大而减小 即：当时， 2、一次函数的图象与性质 解析式 自变量取值范围 全体实数 图象 形状 过和的一条直线 、的取值 示意图 位置 经过一、二、三象限 经过一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 函数增减性 随的增大而增大， 即：当时， 随的增大而减小 即：当时， 3、截距 定义 直线y轴相交于（0，b）,b叫做直线 举例 直线的截距是 【题型7 判定一次函数的图像】 【例7】（2022春•牡丹江期末）直线y1＝mx+n2+1和y2＝﹣mx﹣n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2022春•喀什地区期末）直线y＝kx+b的图象如图所示，则直线y＝bx﹣k的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2022春•安阳县期末）一次函数y＝mx+n的图象如图所示，则y＝﹣2mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（2022•萧山区模拟）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【题型8 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例8】 （2022•海门市校级模拟）已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8-1】（2022春•集贤县期末）一次函数y＝2（x+1）﹣1不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式8-2】（2022秋•九龙坡区校级期末）如图，点A，B在数轴上分别表示数﹣2a+3，1，则一次函数y＝（1﹣a）x+a﹣2的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8-3】（2022•萧山区一模）已知y﹣3与x+5成正比例，且当x＝﹣2时，y＜0，则y关于x的函数图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【题型9 根据函数经过的象限判断参数取值范围】 【例9】（2022•黄州区校级自主招生）已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设s＝a﹣2b，则s的取值范围是（　　） A． B．﹣3＜s≤3 C．﹣6＜s D． 【变式9-1】（2022春•丰都县期末）若关于x的不等式组有且只有四个整数解，且一次函数y＝（k+2）x+k+3的图象不经过第一象限，则符合题意的整数k的和为（　　） A．﹣12 B．﹣14 C．﹣9 D．﹣15 【变式9-2】（2022•泰兴市一模）过点（﹣1，2）的直线y＝mx+n（m≠0）不经过第三象限，若p＝3m﹣n，则p的范围是（　　） A．﹣10≤p≤﹣2 B．p≥﹣10 C．﹣6≤p≤﹣2 D．﹣6≤p＜﹣2 【变式9-3】（2022•辽宁）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（　　） A．k1•k2＜0 B．k1+k2＜0 C．b1﹣b2＜0 D．b1•b2＜0 【题型10 一次函数的图像与坐标轴的交点问题】 【例10】（2022春•镇巴县期末）已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点（1，0），直线l2与直线l1关于y轴对称，则关于直线l2，下列说法正确的是（　　） A．y的值随着x的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点坐标为（1，0） D．函数图象与y轴的交点坐标为（0，b） 【变式10-1】（2022春•双阳区月考）若直线y＝kx﹣k（k＞0）与两个坐标轴所围成的三角形的面积为4，则k＝　　． 【变式10-2】（2022春•卧龙区期中）若一次函数y＝（k+2）x﹣k﹣3与y轴的交点在x轴的下方，则k的取值范围是 　 　． 【变式10-3】（2022•遵义模拟）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3m，﹣4m+4），一次函数yx+12的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，则m的取值范围为（　　） A．m＞一1或m＜0 B．﹣3＜m＜1 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1≤m≤1 【题型11 一次函数的平移问题】 【例11】（2022秋•宣州区校级期中）将直线y＝2x+3平移后经过点（2，﹣1），求： （1）平移后的直线解析式； （2）沿x轴是如何平移的． 【变式11-1】（2022秋•雁塔区校级月考）已知一次函数yx+1，它的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　； （2）画出此函数图象； （3）画出该函数图象向下平移3个单位长度后得到的图象； （4）写出一次函数yx+1图象向下平移3个单位长度后所得图象对应的表达式． 【变式11-2】．（2022春•安岳县期中）已知直线y＝（m+1）x|m|﹣1+（2m﹣1），当x1＞x2时，y1＞y2，求该直线的解析式．并求该直线经过怎么的上下平移就能过点（2，5）？ 【变式11-3】（2022春•武昌区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣4，﹣2）和点B（2，4） （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB平移，使其经过原点O，则线段AB扫过的面积为　 　． 【题型12 函数的增减性求参数或最值】 【例12】（2022春•柳南区校级期末）正比例函数y＝﹣k2x（k≠0），下列结论正确的是（　　） A．y＞0 B．y随x的增大而增大 C．y＜0 D．y随x的增大而减小 【变式12-1】（2022•潮南区模拟）已知一次函数y＝﹣0.5x+2，当1≤x≤4时，y的最大值是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．﹣6 【变式12-2】（2022•萧山区模拟）已知正比例函数y＝（m+1）x+m2﹣4，若y随x的增大而减小，则m的值是　 　． 【变式12-3】（2022秋•沭阳县校级期末）一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则k的值是　 　． 【题型13 比较一次函数值的大小】 【例13】（2022春•芜湖期末）已知直线y＝﹣2022x+2021经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【变式13-1】（2022秋•南山区校级期中）在函数y＝kx（k＞0）的图象上有点A1（x1，y1），A2（x2，y2），已知x1＜x2，则下列各式中正确的是（　　） A．y1＜y2 B．y2＜y1 C．y2＝y1 D．y1＝y2＝0 【变式13-2】（2022春•同江市期末）若点A（x1，﹣1），B（x2，﹣2），C（x3，3）在一次函数y＝﹣2x+m（m是常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1 【变式13-3】（2022•绍兴）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 【知识点14一次函数与一元一次方程、不等式的关系】 1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，�即kx+b=0就与一元一次方程完全相同． 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围. 【题型14 一次函数与一元一次方程的解】 【例1】（2022秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是　 　． 【变式14-1】（2022春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝4的解是（　　） A．x＝3 B．x＝4 C．x＝0 D．x＝b 【变式14-2】（2022秋•招远市期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n＝0的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D． 【变式14-3】（2022秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣1的图象交于点P，则关于x的方程kx﹣1＝2x+b的解是　 　． 【题型15一次函数与二元一次方程（组）的解】 【例15】（2022春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组的解为　 　　． 【变式15-1】（2022秋•西乡县期末）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：yx﹣1的交点坐标为（　　） A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1） 【变式15-2】（2022•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线yx+b﹣1上，则常数b的值为（　　） A． B．1 C．﹣1 D．2 【题型16 不解方程组判断方程组解的情况】 【例16】（2022秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组 （1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解； （2）当k，b为何值时，方程组有无数组解； （3）当k，b为何值时，方程组无解． 【变式16-1】（2022秋•苏州期末）若二元一次方程组有唯一的一组解，那么应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式16-2】（2022春•覃塘区期中）如果关于x，y的方程组有唯一的一组解，那么a，b，c的值应满足的条件是（　　） A．a≠b B．b≠c C．a≠c D．a≠c且c≠1 【题型17 一次函数与一元一次不等式的解集】 【例17】（2022春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），B（1，0），则关于x的不等式kx+b＜2解集为 　　 　　． 【变式17-1】（2022春•高明区校级期末）如图，直线y＝kx+b与直线y交于点A（m，2），则关于x的不等式kx+bx的解集是（　　） A．x≤2 B．x≥1 C．x≤1 D．x≥2 【变式17-2】（2023•长沙长郡八年级期末）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【变式17-3】（2023•长沙师大博才.八年级期末）.已知，一次函数和的图像交于点，且直线交轴于点．则的解集（ ）． A. B. C. D. 【变式7-2】（2022春•楚雄州期末）已知关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，4）、B（0，3）． （1）求一次函数y＝kx+b的解析式； （2）若关于x的一次函数y＝mx+n（m＜0）的图象也经过点A，则关于x的不等式mx+n≥kx+b的解集为　 　． 【题型18 一次函数解析式与三角形面积问题】 【例18】（2023春•长沙长郡八年级期末）已知一次函数图象与y轴交于点，且过点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点P为该一次函数上的一点，且点C为该函数图象与x轴的交点，若，求点P的坐标． 【变式18-1】（2022春•鞍山期末）如图，一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点M（1，m）是直线AB上一点，直线MC交x轴于点C（，0）； （1）求直线MC的函数解析式； （2）若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若△ABP的面积是△MPC面积的2倍，求P点坐标． 【变式18-2】（2023春•长沙立信八年级期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数与． （1）求这两个函数图象的交点坐标； （2）求一次函数的图象与坐标轴所围成三角形的面积． 【变式18-3】（2022•肃州区校级期中）如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）． （1）求直线EF的关系式； （2）求△OEF的面积； （3）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为12，并说明理由． 【题型19 求实际问题中的一次函数表达式】 【例19】（2023•长沙立信八年级期末）9.今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（ ） A B. C. D. 【变式19-1】（2023•长沙长郡八年级期末）某油箱容量为的汽车，加满汽油后行驶了时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ） A.， B.， C.， D.， 【变式19-2】（2022•崇明县二模）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：℉）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y 与摄氏度数x 之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系： 摄氏度数x （℃） … 0 … 35 … 100 … 华氏度数y （℉） … 32 … 95 … 212 … （1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式； （2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？ 【变式6-3】（2022•河南模拟）某种计时“香篆”在0：00时刻点燃，若“香篆”剩余的长度h（cm）与燃烧的时间x（h）之间是一次函数关系，h与x的一组对应数值如表所示： 燃烧的时间x（h） … 3 4 5 6 … 剩余的长度h（cm） … 210 200 190 180 … （1）写出“香篆”在0：00时刻点然后，其剩余的长度h（cm）与燃烧时间x（h）的函数关系式，并解释函数表达式中x的系数及常数项的实际意义； （2）通过计算说明当“香篆”剩余的长度为125cm时的时刻． 【变式7-1】（2022春•玉门市期末）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm． （1）观察图形，填写下表： 链条的节数/节 2 3 4 … 链条的长度/cm 　　 　　 　　 … （2）如果x节链条的长度为y，那么y与x之间的关系式是什么？ （3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（ 安装后）总长度是多少？ 【变式7-2】（2022蚌山区校级月考）用大小相同的黑白两种颜色的菱形纸片按照黑色纸片逐渐增加1的规律拼成如图图案． （1）第4个图案中白色纸片的个数是 　　； （2）如果第n（n为正整数）个图案中有y个白色纸片，写出y与n的函数关系式． 【变式7-3】（2022春•巴中期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：相交于点P，直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2020，A2020……则A2022B2022的长度为（　　） A．22021 B．22022 C．2022 D．4044 【题型20 一次函数与几何问题】 【例20】（2023•长沙立信八年级期末）.一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，是上一动点．当周长最小时，点的坐标为______． 【例20-1】平行四边形有如下两个性质： （1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分． 根据这两个性质，我们可以得到平四存在性处理的两个常用基本方法。 【方法一】抓对边平行且相等，根据点的平移规律寻找坐标之间的关系 如图，点B平移到点A，点C平移到点D，移动路径完全相同，则有：， 【方法二】抓对角线互相平分，利用对角线中点重合建立坐标之间的关系 如图，平行四边形ABCD，则 AC的中点也是BD的中点．于是有：， 另外，问法不一样，解答过程不一样的，常见问法如下： 【问法一】四边形ABCD是平行四边形：则AC、BD一定是对角线； 【问法二】以A、B、C、D为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，则AB必须是平四的边； 【问法三】以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形，则需根据对角线进行讨论： ①AB、CD为对角线；②AC、BD为对角线；③AD、BC为对角线 【变式20-1-1】（2024•长沙周南八年级期中）如图，在Rt中，，，，边垂直平分线分别与、轴、轴交于点、、． （1）求点的坐标； （2）求直线的解析式； （3）直接写出点的坐标，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【变式20-1-2】．（2023春·雅礼八下期中25题）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线，． （1）求B点的坐标； （2）把矩形沿直绕DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求四边形ADCE的周长； （3）若点M在坐标轴止，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型21 利润最大问题】 【例21】（2023春•长沙长郡八年级期末）某超市欲购进A，B两种品牌的书包共500个．已知两种书包的进价和售价如下表所示．设购进A种书包x个，且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为w元． 品牌 进价（元/个） 售价（元/个） A 57 75 B 47 60 （1）求w关于x的函数关系式； （2）如果购进两种书包的总费用不超过28000元，那么商场如何进货才能获利最大？并求出最大利润 【变式21-1】（2023春•长沙雅礼八年级期末）为促进销售, 某地水果种植户借助网络平台, 在线下批发的基础上同步网络零售水果. 已知销售相同数量的水果, 网络零售的销售额为 450 元, 线下批发销售额为 300 元, 且网络零售的单价比线下批发的单价贵 15 元. （1）求网络零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元? （2）该种植户某天网络零售和线下批发共销售水果 100 千克, 且网络销售的数量低于线下批发数量的 2 倍,设网络零售 ( 为正整数) 千克,获得的总销售额为 元. 请写出 与 之间的函数关系式, 并求出当网络销售水果的数量为多少时, 当天所获得的总销售额最大? 最大销售额是多少? 【变式21-2】（2017•长沙中考真题）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，欧欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品。经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元。 （1）求一件A、B型商品的进价分别为多少元？ （2）若该欧洲客商购进A、B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件。已知A型商品售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出。设购进A型商品m件，求该客商销售这件商品的利润V与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围； （3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善基金元，求该客商售完所有商品并捐献慈善基金后获得的最大收益。 【变式21-2】（2021春·北雅八下期中）华润万家电器商城购3台空调、2台彩电需花费2.32万元.购2台空调、4台彩电需花费2.48万元。 (1)计算每台空调与彩电的进价分别是多少元？ (2)已知一次性购进空调、彩电共30台，购进资金不超过12.8万元，购进空调不少于10台，写出符合要求的进货方案； (3)在(2)的情况下，原每台空调的售价为6100元，每台彩电的售价为3900元，根据市场需要，商城举行“庆五一优惠活动”，每台空调让利a元。设商城计划购进空调x台，空调和彩电全部销售完商城获得的利润为y元，试写出y与x的函数关系式，选择哪种进货方案，商城获利最大？ 【题型22 新定义】 【例22】（2023•长沙长郡八年级期末）.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“幸福点”，经过点的函数，称为“幸福函数”． （1）若点是“幸福点”，关于x的函数是“幸福函数”，则__________，__________，__________． （2）若关于x的函数和都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值． （3）若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 【例22】（2024•长沙周南八年级期中）.认真阅读下列材料，然后完成解答： 【材料】 如图，已知平面直角坐标系中两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如何求A、B两点间的的距离|AB|的值？ 过点A向y轴作垂线AN1、过点B向x轴作垂线BM2，垂足分别为N1（0，y1）和M2（x2，0），直线AN1和BM2相交于点Q． 在Rt△AQB中，|AB|2= |AQ|2+ |BQ|2 为了计算AQ和BQ，过点A向x轴作垂线，垂足为M1（x1，0）；过点B向y轴作垂线，垂足为N2（0，y2），于是有|AQ|=|M1M2|=|x3-x1|，|BQ|=|N1N2|=|y2-y1|． 所以，|AB|2=． 由此得到A（x1，y1）、B（x2，y2）两点间的距离公式：． 根据定义：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离． 因此，线段AB的长度计算公式为． 【问题】 （1）平面直角坐标系中有两点A（0，1）、B（2，3），求线段AB的长； （2）表示线段MN的长，其中点M的坐标为（a，b），点N的坐标为______； （3）如图，在x轴上有一点P（x，0），试求PA+PB的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$