精品解析：浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

六校联盟2023学年第二学期期中联考 高二数学试题卷 （2024.04） 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 选择题部分 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分） 1. 设函数，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ） A B. C. D. 4. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中的系数为（ ） A. 17 B. 20 C. 75 D. 100 6. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，下列选项正确的是（　　） A B. C. D. 8. 把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为 A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.4 0.1 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ） A B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，其中，则（ ）． A. 不等式对恒成立 B. 若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是 C. 方程恰有3个实根 D. 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 非选择题部分 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 方程的解是__________. 13. 过原点的直线与相切，则切点的坐标是______. 14. 若函数在单调递增，则的取值范围是______． 四､解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数处取得极大值6. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值. 16. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合； （3）系数最大的项是第几项. 17. 某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男､女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答） （1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数； （2）若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数； （3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数. 18. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同. （1）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望； （2）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点. （i）求取值范围； （ii）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六校联盟2023学年第二学期期中联考 高二数学试题卷 （2024.04） 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 选择题部分 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分） 1. 设函数，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义可求的值. 【详解】∵，且， ∴． 故选：A． 2. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量的分布列结合互斥事件概率和公式计算即可. 【详解】. 故选：D. 3. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解. 【详解】. 故选：B. 4. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意共包含个基本事件，4种情况满足条件，得到答案. 【详解】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含个基本事件， 而20以内的孪生素数有共四对，包含4个基本事件， 所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为. 故选：B. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 5. 展开式中的系数为（ ） A. 17 B. 20 C. 75 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】由，先求出的通项，令和即可得出答案. 【详解】因为， 因为的通项为：， 令可得，令可得， 所以展开式中的系数为：. 故选：A. 6. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系. 【详解】 设，由图可得， 而， 故， 故选：C. 7. 已知，，，下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的概率公式计算可得. 【详解】因为，即， 又，， 所以，故A错误； 又，故B正确； ，故D错误； ，故C错误. 故选：B 8. 把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意曲线C的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.4 0.1 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分布列性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择. 【详解】对于A：由，解得， 所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断ABD；由，利用二项式展开式的通项公式求解可判断C. 【详解】对于A：令，可得，故A正确； 对于B：令，， 所以，故B正确； 对于C：， 二项式的展开式的通项公式为， 所以，故C错误； 对于D：令，可得， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，其中，则（ ）． A. 不等式对恒成立 B. 若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是 C. 方程恰有3个实根 D. 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线的图象，根据图象可判断B选项；令，解得，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图象分析即可判断D选项． 【详解】对于选项A，， 当或时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在出取得极小值，， 在处取得极大值，， 而时，恒有成立， 所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确； 对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点， 由A选项分析，函数的大致图象如下， 由图知，当或时， 函数与直线有且只有两个交点，故B错误； 对于C选项，由，得，解得， 令，和，而， 由图象知，和分别有两解： 综上，方程共有4个根，C错误； 对于D选项，直线过原点，且，， 记，， 易判断，， 不等式恰有1个负整数解， 即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数， 由图可得，即，故D正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 非选择题部分 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 方程的解是__________. 【答案】1或2 【解析】 【分析】由组合数的性质求解即可. 【详解】由可得：或， 则：或， 解得：或或， 当时，显然不符合题意； 当时，则成立； 当时，则成立； 故或. 故答案为：或. 13. 过原点的直线与相切，则切点的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义求出切线方程，将代入，即可求得答案. 【详解】由题意设切点坐标为， 由，得，故直线的斜率为， 则直线l的方程为， 将代入，得， 则切点的坐标为， 故答案为： 14. 若函数在单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数与函数单调性的关系，由函数在单调递增得到不等式，利用三角恒等变换、换元法转化为一元二次不等式在闭区间上的恒成立问题，运算即可得解. 【详解】解：函数的导数为， 由题意，函数在上单调递增， ∴在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，， ∵在上恒成立， ∴在上恒成立， 又∵的图象是开口向下的抛物线， ∴，解得：. ∴的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：导数与函数单调性的关系： 1.是函数在区间上单调递增（减）的充分不必要条件. 2.是函数在区间上单调递增（减）的必要不充分条件. 3.若在区间的任意子区间上都不恒等于零，则是函数在区间上单调递增（减）的充要条件. 四､解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数在处取得极大值6. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值. 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】（1）由即可求出，再由极值的定义检验即可. （2）对求导，得出的单调性和极值，结合端点值即可求出函数在的最小值. 【小问1详解】 ， 因为在处取得极大值6. 所以，得 此时， 令可得：；令可得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增 所以在处取得极大值，符合题意， 所以. 又，所以 【小问2详解】 ，所以 列表如下： 0 1 2 3 + 0 0 + 1 极大值6 极小值5 10 由于，故时，. 16. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合； （3）系数最大的项是第几项. 【答案】（1） （2）； （3）第6项和第7项 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果； （2）由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解； （3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 ， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 所以. 【小问2详解】 ， 当为整数时为有理项， 即， 则取值集合为； 【小问3详解】 设第项的系数最大， 则， 所以，解得， 故系数最大的项为第6项和第7项. 17. 某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男､女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答） （1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数； （2）若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数； （3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数. 【答案】（1）540 （2）672 （3）505 【解析】 【分析】（1）方法一、分类讨论组长的人数，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；方法二、利用排除法，先选人参加座谈会，再把不选组长的情况去掉即可； （2）分类讨论女团员当选的人数情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可； （3）分类讨论女组长当选情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可. 【小问1详解】 方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况： 有一名组长和两名组长，故共有种． 方法二（间接法）：至少有一名组长可以采用排除法，有种． 【小问2详解】 至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女团员，没有女团员， 故共有种 【小问3详解】 既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况： 第一类：女组长当选，有种， 第二类：女组长不当选，男组长当选，有种， 共有种. 18. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同. （1）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望； （2）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由题设的可能值为，并计算出对应概率即得分布列，进而可求数学期望. （2）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可. 小问1详解】 由题意，可能值为. ， ， 所以的分布列为 3 4 5 6 所以. 【小问2详解】 记“摸出球的结果是一红一白”为事件，“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件， 则， ，， 由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为：. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）证明： 【答案】（1）在上单调递增. （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得恒成立，即可得到单调性. （2）（i）根据二次函数分析不符合题意，则，有两个极值点，则是的两个不同正根，根据二次函数性质，可得的取值范围. （ii）将解析式代入中，根据韦达定理得到，代入要证明的式子，结合第一问结果，化简即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， . 显然，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 （i）由题设且， 若，则在上恒成立， 即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故， 又有两个极值点， 则是的两个不同正根， 所以，可得，即的取值范围是. （ii）由（i）且，不妨设， 则 ， 要证，需证，即， 只需证， 即，令，则证， 由（1）可知当时，在上递增， 又，故， 即， 综上， 【点睛】关键点点睛： 有两个极值点，函数有两个正根，利用二次函数性质得出的范围. 将函数解析式代入中，利用韦达定理化简式子，再利用第一问的结果证明出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$