精品解析：海南省乐东黎族自治县华东师范大学第二附属中学乐东黄流中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

华二黄中2023-2024学年第二学期第二次月考高一年级 数学试卷 试卷满分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 在复平面内，已知复数，则其共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少摸出个白球 B. 至少摸出个红球 C. 摸出个白球 D. 摸出个白球或摸出个红球 3. 已知数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系无法判断 4. 已知直线平面，直线平面，有下列四个结论，其中正确结论是： ①；②；③；④. A. ①与② B. ①与③ C. ②与④ D. ③与④ 5. 在中，若，则最大角的余弦是（ ） A. B. C. D. 6. 边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ） A. 10cm B. 5cm C. 5cm D. cm 7. 小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（　　） A. 1% B. 2% C. 3% D. 5% 8. 在等腰梯形中，已知，，是的中点，，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论正确的有（ ）． A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7—8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C. 数据的第70百分位数是23 D. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 11. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为4的正方形，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 取的中点为，过三点的平面截直四棱柱所得截面图形的面积为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若与垂直，则的值为______. 13. 某学校高二年级选择“物化地”，“物化生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60．现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“物化生”组合中选出的同学人数为__________． 14. 已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则该三棱锥的内切球半径为__________，该三棱锥外接球半径为__________． 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知复数是关于的方程的根（是虚数单位），其中． （1）求a，b的值． （2）若，且复数是纯虚数，求． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，分别为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； 17. 在中，角所对的边分别为，且满足 （1）求角的值； （2）若且，求的取值范围． 18. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频数分布表： 质量指标 值分组 频数 6 26 38 22 8 （1）作出这些数据的频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的众数、中位数、平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品的”的规定？ 19. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为. （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； （2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）在（2）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华二黄中2023-2024学年第二学期第二次月考高一年级 数学试卷 试卷满分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 在复平面内，已知复数，则其共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算和共轭复数定义求得，由此可得对应点坐标，从而确定结果. 【详解】，， 对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 2. 在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少摸出个白球 B. 至少摸出个红球 C. 摸出个白球 D. 摸出个白球或摸出个红球 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项． 【详解】对于A，至少摸出个白球与摸出个白球个红球不是互斥事件； 对于B，至少摸出个红球与摸出个白球个红球不是互斥事件； 对于C，摸出个白球与摸出个白球个红球是互斥而不对立事件； 对于D，摸出个白球或摸出个红球与摸出个白球个红球是互斥也是对立事件. 故选：C． 3. 已知数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】利用方差与均值的关系，结合方差公式即可判断的大小. 【详解】由题设，，即， ∴，，即有. 故选：C. 4. 已知直线平面，直线平面，有下列四个结论，其中正确结论是： ①；②；③；④. A. ①与② B. ①与③ C. ②与④ D. ③与④ 【答案】B 【解析】 【分析】 由面面平行的性质和线面垂直的定义，可判断①的真假；由线面垂直的性质、面面垂直的性质及空间关系，可判断②的真假；由线面垂直的判定定理，及面面垂直的判定定理，可判断③的真假；根据线面垂直、线线垂直的定义及几何特征，可判断④的真假. 【详解】过直线做一平面， ，平面，， ①正确； 直线平面，若，则与可能平行， 异面也可能相交，②错误； 直线平面，若，则平面， 平面，，③正确； 直线平面，若，则或， 则与平行或相交，④错误. 故选:B. 【点睛】本题以空间线面关系的判定为载体，考查了空间线面垂直，线面平行，面面垂直及面面平行的判定及性质，考查空间想象能力，属于中档题. 5. 在中，若，则最大角的余弦是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用余弦定理求出，再根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 因此， 故选：C 6. 边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ） A. 10cm B. 5cm C. 5cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】将圆柱展开，根据题意即可求出答案. 【详解】圆柱的侧面展开图如图所示， 展开后， ∴，即为所求最短距离． 故选:D. 7. 小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（　　） A. 1% B. 2% C. 3% D. 5% 【答案】C 【解析】 【分析】由图1知食品开支占总开支的30%，由图2知鸡蛋开支占食品开支的，由此求得鸡蛋开支占总开支的百分比． 【详解】解：由图1所示，食品开支占总开支的30%， 由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的， ∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%3%． 故选C． 8. 在等腰梯形中，已知，，是的中点，，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、即可. 【详解】根据题意，，，是的中点，，画出梯形如下图所示： 所以 ， 则，又，、不共线， 所以，所以. 故选：A 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论正确的有（ ）． A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7—8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：对于A，由折线图的变化趋势可得，月接待游客量有增有减，故选项A错误； 对于B，由折线图的变化趋势可得，年接待游客量逐年增加，故选项B正确； 对于C，由折线图可得，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故选项C正确； 对于D，由折线图可得，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故选项D正确． 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C. 数据的第70百分位数是23 D. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据简单随机抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据分层抽样平均数及方差公式判断；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，根据方差性质得到的方差可判断. 【详解】A选项，每个个体被抽到的概率为，故A正确； B选项，的平均数为， 方差，故B正确； C选项，这10个数据从小到大排列为， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是，故C错误； D选项，不妨设，则， 即数据的极差为12，由方差性质知，故D正确． 故选：ABD 11. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为4的正方形，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 取的中点为，过三点的平面截直四棱柱所得截面图形的面积为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由于，所以异面直线与所成角即或其补角.利用余弦定理计算可判断A，作出截面计算可判断B，根据线面平行的判定定理判断C，利用等体积法求点到面的距离判断D. 【详解】对于A，依题意，， 由于，所以异面直线与所成角即（或其补角）， 在三角形中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A选项正确； 对于B，设过三点的平面交棱于，连接，如图， 由平面，平面，， 所以，同理可得，所以截面为平行四边形， 又≌，可得，所以四边形为菱形， 所以≌，可得，即为中点， 所以面积，故B错误； 对于C，由于，平面，平面， 所以平面，故C选项正确； 对于D，设点到平面的距离为，由， 所以，解得，故D选项正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若与垂直，则的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据与垂直求得，最后求出的值即可. 【详解】解：根据题意，向量，， 则， 若与垂直，则， 解可得：， 则. 故答案为：2. 13. 某学校高二年级选择“物化地”，“物化生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60．现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“物化生”组合中选出的同学人数为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念，按各层比列求解即可. 【详解】由分层抽样可知，“物化生”组合中选出的同学人数为人， 故答案为：3 14. 已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则该三棱锥的内切球半径为__________，该三棱锥外接球半径为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设是棱锥的高，则是的中心，是中点，易得几何体的体积，进而结合等体积法求得内切球的半径，利用直角三角形求解外接球的半径. 【详解】如图， 是棱锥的高，则是的中心，是中点， ，， ，，． ， 所以， 设内切球半径为，则，； 易知外接球球心在高上，球心为，设外接球半径为， 则在中，，即， 解得. 故答案为：；． 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知复数是关于的方程的根（是虚数单位），其中． （1）求a，b的值． （2）若，且复数是纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）将代入方程，根据复数相等列方程组求解可得； （2）设，根据复数模公式和纯虚数概念列方程组求解即可. 【小问1详解】 是方程的根，， 即， ，解得； 【小问2详解】 设，则，所以①， 又为纯虚数，所以②， 由①②联立，解得或， 或． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，分别为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； 【答案】（1） 因为，为的中点，所以. 因为底面为矩形，所以，所以. （2） 因为底面为矩形，所以. 又因为平面平面，所以平面，所以. 又因为，，所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据可得； （2）根据面面垂直的性质定理得到平面，进一步得到，再根据线面垂直的判定定理得到平面，最后根据面面垂直的判定定理可证平面平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在中，角所对的边分别为，且满足 （1）求角的值； （2）若且，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到因，求得，，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，所以或， 【小问2详解】 解：因为且，所以， 由正弦定理得，所以， 则， 又由，可得，所以，可得， 则，所以即的取值范围． 18. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频数分布表： 质量指标 值分组 频数 6 26 38 22 8 （1）作出这些数据的频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的众数、中位数、平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品的”的规定？ 【答案】（1） （2）众数为，中位数约为，平均数的估计值为，方差的估计值为. （3）不能 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表完成频率直方图即可； （2）根据频率分布直方图求出众数、中位数、平均数、方差； （3）计算出质量指标值不低于的产品所占比例，由此可得出结论. 【小问1详解】 由表格数据知： 质量指标值分组 频率 频率分布直方图如下： 【小问2详解】 众数为， 前个矩形面积之和为， 前个矩形面积之和为，所以中位数位于， 质量指标值的样本中位数为， 质量指标值的样本平均数为. 质量指标值的样本方差为. 所以这种产品质量指标值的众数为，中位数约为， 平均数的估计值为，方差的估计值为. 【小问3详解】 质量指标值不低于的产品所占比例的估计值为 ， 由于该估计值小于，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品”的规定． 19. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为. （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； （2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）在（2）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，是的等分点，靠近点的位置 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，由正四棱锥的性质知为所求二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，设，求出的值，即可得解； （2）依题意连接、，可知为异面直线与所成的角，证明出，计算出、的长，即可求得结果； （3）延长交于，取的中点，连接、，易得平面，可得平面平面，分析出为正三角形，易证平面，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，从而，可得平面，即可得出结论. 【小问1详解】 解：取的中点，连接、， 由正四棱锥的性质可知平面，平面，则， 依条件可知，则为所求二面角的平面角. 面，则为侧棱与底面所成的角，则， 设，则，所以，， 则，因为，故. 【小问2详解】 解：连接、， 所以，为异面直线与所成的角. 平面，平面，则， ，，平面， 又平面，. ，所以，. 【小问3详解】 解：延长交于，则为的中点，取的中点，连接、. 因为，为的中点，则，同理可得， ，故平面， 平面，平面平面， 又，， 所以，为正三角形，为的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 取的中点，连接， 、分别为、的中点，则且， 因为且，、分别为、的中点，则且， 为的中点，则且，故且， 所以，四边形为平行四边形，则，故平面. 因此，是的等分点，靠近点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $