1.3集合的基本运算--2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

集合的基本运算 ________补集及综合应用 安徽淮南第四中学 2023.8 新课程标准 核心素养 1.理解全集、补集的含义,会求给定集合的补集. 数学抽象 2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题. 数学运算 3..能借助Venn图,利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题. 直观想象 情 境 导 入 某学习小组学生的集合为U＝{王明,曹勇,王亮,李冰,张军,赵云,冯佳,薛香芹,钱忠良,何晓慧},其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明,曹勇,王亮,李冰,张军}. 问题　没有获得金奖的学生有哪些? 知识点一、全集 1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的_________，那么就称这个集合为全集． 所有元素 2．记法：通常记作 ． U 想一想 在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异异，所以全集不一定是实数集. 知识点二、补集 1.补集的概念 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的__________组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为_____________，记作 符号语言 CUA＝___________________ 图形语言 所有元素 集合A的补集 A CUA 2．补集的性质 (1)A∪(CUA)＝______． (2)A∩(CUA)＝______． (3)CUU＝______，CU∅＝U，CU(CUA)＝______ ． (4)(CUA)∩(CUB)＝CU(A∪B)． (5)(CUA)∪(CUB)＝CU(A∩B)． U ϕ ϕ A CUA的三层含义 （1）A 是U 的子集，即A⊆U; （2）CUA表示一个集合，且CUA⊆U; （3）CUA是U中不属于A 的所有元素组成的集合. 例1（1） 若全集 U={x∈R|-2≤ x≤ 2}，则集合 A={x∈R|-2≤ x≤ 0}的补集CUA为( ) A. {x∈R|0＜ x＜2} B.{x∈R|0≤ x＜2} C.{x∈R|0＜ x≤2} D.{x∈R|0≤x≤2} 解析：借助数轴(如图),CUA={x∈R|0＜ x≤2} -2 2 0 • • • • 　(2)若集合A＝{x｜-1≤x＜1},当U分别取下列集合时,求CUA. (1)U＝R; ° • 0 1 -1 由图知CUA＝{x｜x＜-1或x≥1}. (2)U＝{x｜x≤2}; -1 0 2 1 ° • 由图知CUA＝{x｜x＜-1或1≤x≤2}. 题型一 交集、并集、补集的综合运算 例2.(2022·高考全国卷甲)设全集 U={-2,-1,0,1,2,3}，集合 A={-1,2},B＝{x|x2－4x＋3＝0},则CU (A∪B)= ( ) A. {1,3} B.{0,3} C. {-2,1} D. {-2,0} B＝{x|x2－4x＋3＝0}={1,3}，所以A∪B={-1，1,2，3} 所以CU (A∪B)={-2,0} 解析　(2)把全集R和集合A,B在数轴上表示如图,由图知,A∪B＝{x｜2＜x＜10},所以CR(A∪B)＝{x｜x≤2,或x≥10}.因为CRA＝{x｜x＜3,或x≥7},所以(CRA)∩B＝{x｜2＜x＜3,或7≤x＜10}. 2 3 7 10 ° ° ° • 题型二 由集合的并集、交集求参数值 例3.设集合A＝{x｜x＋m≥0},B＝{x｜-2＜x＜4},全集U＝R,且(CUA)∩B＝⌀,求实数m的取值范围. 由已知A＝{x｜x≥-m}, 得CUA＝{x｜x＜-m}, 因为B＝{x｜-2＜x＜4},(CUA)∩B＝⌀,在数轴上画出CUA与B,如图, 4 -2 ° ° ° -m 所以-m≤-2,即m≥2, 所以实数m的取值范围是{m｜m≥2}. (变条件)本例将条件“(CUA)∩B＝⌀”改为“(CUB)∪A＝R”,其他条件不变,则实数m的取值范围又是什么? 解:由已知A＝{x｜x≥-m},CUB＝{x｜x≤-2或x≥4}. 又(CUB)∪A＝R, 所以-m≤-2,即m≥2. 故实数m的取值范围为{m｜m≥2}. (1)如果所给集合是有限集,由补集求参数问题时,可利用补集定义求解; (2)如果所给集合是无限集,与集合交、并、补运算有关的求参数问题时,一般利用数轴分析求解. 1.若全集U＝{1,2,3,4},集合M＝{1,2},N＝{2,3},则CU(M∪N)＝(　　) A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4} D.{4} 解析:D　∵全集U＝{1,2,3,4},集合M＝{1,2},N＝{2,3},∴M∪N＝{1,2,3},∴CU(M∪N)＝{4}.故选D. 2.(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5},集合M满足CUM＝{1,3},则(　　) A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析:　由题意知M＝{2,4,5},故选A. 3.已知全集U＝{x｜x≤4},集合A＝{x｜-2＜x＜3},B＝{x｜-3≤x≤2},求A∩B,(CUA)∪B,A∩(CUB). 解:如图,在数轴上表示集合A,B,U. -3 -2 3 2 4 ° ° • • • ∵A＝{x｜-2＜x＜3},B＝{x｜-3≤x≤2},U＝{x｜x≤4}, ∴A∩B＝{x｜-2＜x≤2},CUA＝{x｜x≤-2,或3≤x≤4},CUB＝{x｜x＜-3, 或2＜x≤4}. ∴(CUA)∪B＝{x｜x≤2,或3≤x≤4},A∩(CUB)＝{x｜2＜x＜3}. CUA {x|x∈U，且x∉A} $$