3.3幂函数课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3　幂函数 课标定位 素养阐释 1.通过具体实例,结合 的图象,理解它们的变化规律. 2.了解幂函数. 3.掌握简单幂函数的图象与性质. 4.感悟数学抽象的过程,体会直观想象在解决问题中的作用. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、幂函数的定义 1.给出函数:y=x,y=x2,y=x3,y=x-1, ,这些函数的解析式有什么共同的特征?这类函数解析式的一般形式应如何表示? 提示:解析式是幂的形式,底数是自变量x,指数是一个常数;一般形式可用y=xα表示. 2.填一般地,函数 y=xα 叫做幂函数,其中 x 是自变量, α 是常数. 答案:D 二、五个幂函数的图象与性质 1.在同一坐标系中分别作出函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1, 的图象,结合图象分析、研究它们的定义域、值域、奇偶性、单调性,并由此推断幂函数具有的性质. 2. 3.幂函数的性质: (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有定义,图象都过点(1,1); (2)若α>0,则y=xα在区间(0,+∞)内单调递增,图象过点(0,0);若α<0,则y=xα在区间(0,+∞)内单调递减,图象不过点(0,0). 4.(多选题)关于函数y=x4,下列说法正确的是(　　) A.定义域为R B.在区间(0,+∞)内单调递增 C.图象不过点(0,0) D.是偶函数 答案:ABD 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)函数y=x0是幂函数.( √ ) (2)所有幂函数的图象均过点(0,0).( × ) (3)幂函数一定具有奇偶性.( × ) (4)任何幂函数的图象都不经过第四象限.( √ ) 合作探究·释疑解惑 探究一 幂函数的图象及其应用 ∴f(x)=x-2. f(x)的图象如图所示. f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递增区间为(-∞,0). 反思感悟 1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二象限或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性. 2.幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系 具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时 针”方向,图象所对应的幂指数依次增大 (如图). 3.根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中α的符号. 【变式训练】 (1)若幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是(　　) A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d>c>a>b D.a>b>d>c (2)函数 的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 答案:(1)B　(2)B 探究二 幂函数的性质及其应用 【例2】 比较下列各组数的大小: (1)1.13,1.23; (2)4.8-3,4.9-3; 解:(1)设f(x)=x3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增, 又1.1<1.2,所以f(1.1)<f(1.2),即1.13<1.23. (2)设f(x)=x-3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递减, 又4.8<4.9,所以f(4.8)>f(4.9),即4.8-3>4.9-3. (3)设f(x)=x-1,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递减, 又f(x)是奇函数,所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减. 若将本例(1)改为:已知(a-2)3>(2a+1)3,试求实数a的取值范围. 解:令f(x)=x3,容易判断f(x)为奇函数,且在R上为增函数,因此由(a-2)3>(2a+1)3,可得a-2>2a+1,解得a<-3. 反思感悟 利用幂函数的单调性可以比较幂值的大小,当两个幂值的底数不同,指数相同时,可以首先构造一个幂函数,然后根据指数值的正负确定该幂函数在区间(0,+∞)内的单调性,比较两个底数的大小,即得两个幂值的大小关系. 解析:因为函数 的定义域为(0,+∞),且在区间(0,+∞)内为减函数,所以D项正确. 答案:D 易 错 辨 析 因对幂函数的单调性理解不全面致错 【典例】 若(a+1)-1<(3-2a)-1,求实数a的取值范围. 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:函数f(x)=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)内均单调递减,但在区间(-∞,0)∪(0,+∞)内不具有单调性,错解中错用了函数的单调性,从而导致错误. 正解:由于幂函数f(x)=x-1在区间(-∞,0)及(0,+∞)内均单调递减,且在区间(-∞,0)内有f(x)<0;在区间(0,+∞)内有f(x)>0, 防范措施 此类问题必须在各个单调区间内分别进行求解,也可以结合函数的图象来求解. 随 堂 练 习 1.(多选题)下列函数是幂函数的有(　　) A.y=x-2 B.y=xπ C.y=2x2 D.y=(x-1)2 答案:AB 答案:C 解析:∵f(x)是幂函数,∴可设f(x)=xα. ∵f(4)=4f(2),∴4α=4×2α,解得α=2. y=x,y=,y=x2,y=,y=x3 y= 3.下列函数中是幂函数的是(　　) A.y=3x B.y=x2+1 C.y=(x+1)4 D.y= y= 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在 (-∞,+∞)内单调递增 在(-∞,0)内单调递减,在[0,+∞)内单调递增 在 (-∞,+∞)内单调递增 在[0,+∞)内单调递增 在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递减 图象特征 过点(1,1) 【例1】 已知幂函数f(x)=xα的图象过点P(2,),试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间. 解:∵函数f(x)的图象过点P(2,), ∴f(2)=,∴2α=,解得α=-2, y=-1 解析:(1)在第一象限内,直线x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,对应幂函数的幂指数依次增大,所以a>b>c>d.故选B. (2)y=的图象位于第一象限,因为函数为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移1个单位长度得到(如选项A中的图象所示),将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B中的图象. (3). 因为->-,所以f<f,即. 【变式训练2】 函数y=的图象大致是(　　) y= 错解:因为幂函数f(x)=x-1为减函数,所以由(a+1)-1<(3-2a)-1,得a+1>3-2a,解得a>. 故实数a的取值范围是. 则由(a+1)-1<(3-2a)-1,得或a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0,解得a<-1或<a<. 故实数a的取值范围是(-∞,-1)∪. 【变式训练】 已知幂函数f(x)=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,求满足(2a-1<(3-a的实数a的取值范围. 解:∵函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得m<3.又m∈N*,∴m=1,2. 又函数图象关于y轴对称,∴3m-9为偶数,故m=1, ∴有(2a-1<(3-a.∵y=在区间(-∞,0),(0,+∞)内均单调递减, ∴2a-1>3-a>0或0>2a-1>3-a或2a-1<0<3-a,解得<a<3或a<. 故实数a的取值范围为<a<3或a<. 2.已知幂函数y=f(x)的图象过点,则幂函数y=f(x)的图象是(　　) 解析:设f(x)=xα,则有,解得α=, 因此f(x)=,故其图象为C. 3.若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=4f(2),则f的值等于 　　　　　.  ∴f(x)=x2.∴f. 答案: 4.比较下列各组中两个数的大小: (1); (2). 解:(1)∵函数y=x7在区间(0,+∞)内单调递增, 又,∴. (2)∵函数y=x-2在区间(0,+∞)内单调递减, 又,∴. $$