7.4二项分布与超几何分布第1课时二项分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7．4　二项分布与超几何分布 第1课时　二项分布 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 重复 相互独立 np np(1－p) ABC 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 A C 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 D 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 D A 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 C 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 AC 0.048 6 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2 0 2 5 看 观 谢 谢 要点1　n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 要点2　n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验_______做n次． (2)各次试验的结果________． 要点3　二项分布的概念 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 要点4　二项分布的期望与方差 若X～B(n，p)，则E(X)＝_____，D(X)＝___________． 1．判断二项分布的关键点 (1)对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一． (2)重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p. (3)事件A发生的次数X的取值从0到n，中间不间断． 2．二项分布与两点分布的关系 两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布． 3．二项分布与二项式定理间的联系 (1)二项分布的分布列P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n中，若把p看成b，1－p看成a，则有a＋b＝1，且Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n就是二项式定理中(a＋b)n的展开式的通项． (2)令1－p＝q，根据二项式定理，P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n)＝Cn0p0qn＋Cn1p1qn－1＋Cn2p2qn－2＋…＋Cnnpnq0＝(q＋p)n. 因为p＋q＝1，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n)＝1， 即分布列P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n满足性质eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(k＝0))Cnkpk(1－p)n－k＝[(1－p)＋p]n＝1. 课 时 学 案 题型一　n重伯努利试验的判断 例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中目标； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【解析】　(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验． (2)某人射击击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验． (3)每次抽取，试验的结果有三种，因此不是n重伯努利试验． 探究1　n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验相互独立，互不影响． (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或不发生． 思考题1　【多选题】下列事件不是n重伯努利试验的是(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 【解析】　A、C均符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验． 题型二　n重伯努利试验的概率 例2　某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为eq \f(3,5)，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求： (1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率； (3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率． 【思路分析】　由于“每次射击击中目标”这一事件中各次射击的结果互不影响，因此它们之间是相互独立的．射击n次，即为n次独立重复试验．解答本题的关键是要注意“恰有k次发生”和“指定的某k次发生”的差异． 【解析】　(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq \f(3,5)＝eq \f(108,3 125). (2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C53种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型．故所求概率为P＝C53×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))) eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5))) eq \s\up12(2)＝eq \f(216,625). (3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有C31种情况． 故所求概率为P＝C31×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))) eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5))) eq \s\up12(2)＝eq \f(324,3 125). 思考题2　某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率； (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． 【思路分析】　 【解析】　令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(4,5)))，故其分布列为P(X＝k)＝C5keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up12(k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5))) eq \s\up12(5－k)(k＝0，1，2，3，4，5)． (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C52×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5))) eq \s\up12(3)＝10×eq \f(16,25)×eq \f(1,125)≈0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C50×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5))) eq \s\up12(5)－C51×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5))) eq \s\up12(4)＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99. (3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C41×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5))) eq \s\up12(3)×eq \f(4,5)≈0.02. 题型三　二项分布及其均值与方差 例3　(1)若离散型随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝eq \f(5,2)，D(X)＝eq \f(5,4)，则P(X＝1)＝________． eq \f(5,32) 【解析】　由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(np＝\f(5,2)，,np（1－p）＝\f(5,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,n＝5.)) ∴P(X＝1)＝C51×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) eq \s\up12(4)＝eq \f(5,32). (2)某中学生心理咨询中心服务电话的接通率为eq \f(3,4)，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们3人中成功咨询的人数X的分布列，并求E(X)． 【解析】　由题意可知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,4)))， ∴P(X＝k)＝C3k×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(k)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(3－k)，k＝0，1，2，3， 即P(X＝0)＝C30×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(3)＝eq \f(1,64)；P(X＝1)＝C31×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(2)＝eq \f(9,64)； P(X＝2)＝C32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)＝eq \f(27,64)； P(X＝3)＝C33×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(3)＝eq \f(27,64). ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,64) eq \f(9,64) eq \f(27,64) eq \f(27,64) ∴E(X)＝0×eq \f(1,64)＋1×eq \f(9,64)＋2×eq \f(27,64)＋3×eq \f(27,64)＝eq \f(9,4). 思考题3　(1)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Cnkeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(n－k)，k＝0，1，2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为(　　) A．8　　　　　　　　　 B．12 C.eq \f(2,9) D．16 【思路分析】　由P(ξ＝k)＝Cnkeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(n－k)，k＝0，1，2，…，n，可得ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,3)))，根据E(ξ)可得n，然后根据D(ξ)＝np(1－p)可得结果． 【解析】　由P(ξ＝k)＝Cnkeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(n－k)，k＝0，1，2，…，n， 可得ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,3)))，由E(ξ)＝eq \f(2,3)n＝24⇒n＝36， 所以D(ξ)＝36×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝8.故选A. 【讲评】　本题考查二项分布的期望和方差，关键在于识记公式，属于基础题． (2)袋中有大小、形状相同的白、黄乒乓球各一个，每次摸取一个乒乓球记下颜色后放回，现连续取球4次，记取出黄球的次数为X，则X的方差D(X)＝(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2 【解析】　每次取球时，黄球被取出的概率为eq \f(1,2)，把4次取球看作4次独立重复试验，黄球出现的次数X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，则D(X)＝4×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1. (3)某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球记5分，不进记0分，已知该同学的罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为(　　) A．60，24 B．80，120 C．80，24 D．60，120 【思路分析】　根据二项分布的期望和方差的计算公式进行计算，由此判断出正确选项． 【解析】　设该同学20次罚篮，命中次数为X，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(3,5)))， 所以E(X)＝20×eq \f(3,5)＝12，D(X)＝20×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq \f(24,5)， 所以该同学得分5X的期望为E(5X)＝5×12＝60， 方差为D(5X)＝52×eq \f(24,5)＝120.故选D. 【讲评】　本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题． 课 后 巩 固 1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X，则(　　) A．X～B(5，1)　　　　　　 B．X～B(0.5，5) C．X～B(2，0.5) D．X～B(5，0.5) 2．若随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，则P(X＝3)＝(　　) A.eq \f(40,243) B.eq \f(1,3) C.eq \f(10,27) D.eq \f(3,5) 解析　由二项分布的概率公式得P(X＝3)＝C53×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(2)＝eq \f(40,243).故选A. 3．设随机变量X～B(n，p)，且期望E(X)＝3，p＝eq \f(1,5)，则方差D(X)等于(　　) A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(12,5) D．2 解析　由于二项分布的数学期望E(X)＝np＝3，所以二项分布的方差D(X)＝np(1－p)＝3(1－p)＝eq \f(12,5).故选C. 4．【多选题】下列选项中随机变量ξ服从二项分布的有(　　) A．随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ C．某批产品共100件，其中有20件次品，采用有放回抽取的方法，每次抽取1件，ξ表示n次抽取中出现次品的件数 D．某批产品共100件，其中有20件次品，采用不放回抽取方法，每次抽取1件，ξ表示n次抽取中出现次品的件数 解析　对于A，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则P(A)＝eq \f(1,3)，而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次的概率P(ξ＝k)＝Cnk×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－k)(k＝0，1，2，…，n)，符合二项分布的定义；对于B，ξ的取值是1，2，3，…，n，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布；C和D的区别：C是“有放回”抽取，而D是“不放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于C有ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,5))).故选AC. 5．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________． 解析　P＝C42×0.12×(1－0.1)2＝0.048 6. $$