7.4二项分布与超几何分布的关系课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7．4　二项分布与超几何分布 第4课时　二项分布与超几何分布的关系 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 D B C 2 0 2 5 看 观 谢 谢 课 时 学 案 题型一　超几何分布模型的应用 例1　在心理学研究中，常常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)． 【解析】　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝eq \f(C84,C105)＝eq \f(5,18). (2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则 P(X＝0)＝eq \f(C65,C105)＝eq \f(1,42)，P(X＝1)＝eq \f(C64C41,C105)＝eq \f(5,21)， P(X＝2)＝eq \f(C63C42,C105)＝eq \f(10,21)，P(X＝3)＝eq \f(C62C43,C105)＝eq \f(5,21)， P(X＝4)＝eq \f(C61C44,C105)＝eq \f(1,42). 因此X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P eq \f(1,42) eq \f(5,21) eq \f(10,21) eq \f(5,21) eq \f(1,42) X的数学期望是E(X)＝0＋1×eq \f(5,21)＋2×eq \f(10,21)＋3×eq \f(5,21)＋4×eq \f(1,42)＝2. 思考题1　自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下： 年龄 20以下 [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 使用人数 3 12 17 6 4 2 未使用人数 0 0 3 14 36 3 (1)现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50)且未使用自由购的概率； (2)从被抽取的年龄在[50，70]且使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在[50，60)的人数，求随机变量X的分布列及数学期望； (3)为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5 000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋． 【解析】　(1)在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50)且未使用自由购的共有3＋14＝17(人)， 所以所求概率为P＝eq \f(17,100). (2)X所有的可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝eq \f(C41C22,C63)＝eq \f(1,5)，P(X＝2)＝eq \f(C42C21,C63)＝eq \f(3,5)，P(X＝3)＝eq \f(C43C20,C63)＝eq \f(1,5). 所以X的分布列为： X 1 2 3 P eq \f(1,5) eq \f(3,5) eq \f(1,5) 所以X的数学期望为E(X)＝1×eq \f(1,5)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,5)＝2. (3)在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3＋12＋17＋6＋4＋2＝44(人)， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为eq \f(44,100)×5 000＝2 200. 【讲评】　本题考查统计表，随机变量X的超几何分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题． 题型二　二项分布与超几何分布的关系 例2　(1)100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列； (2)某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列． 【解析】　(1)任取一件得到次品的概率为eq \f(10,100)＝0.1，有放回地取出5件，相当于5重伯努利试验，故ξ～B(5，0.1)，所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 5 P 0.590 49 0.328 05 0.072 9 0.008 1 0.000 45 0.000 01 (2)由于商品数量较大，从中只抽取5件，故η的分布列近似为ξ的分布列． 思考题2　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品称出它们的质量(单位：克)作为样本数据，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图． (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． 【解析】　(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)． (2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，且X服从超几何分布，且N＝40，M＝12，n＝2， ∴P(X＝0)＝eq \f(C282,C402)＝eq \f(63,130)，P(X＝1)＝eq \f(C121C281,C402)＝eq \f(28,65)，P(X＝2)＝eq \f(C122,C402)＝eq \f(11,130)， ∴X的分布列为： X 0 1 2 P eq \f(63,130) eq \f(28,65) eq \f(11,130) (3)根据样本估计总体的思想，任取1件产品，该产品的质量超过505克的概率为eq \f(12,40)＝eq \f(3,10). 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，Y的可能取值为0，1，2，且Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，P(Y＝k)＝C2keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10))) eq \s\up12(k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10))) eq \s\up12(2－k)，所以P(Y＝0)＝ C20×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10))) eq \s\up12(2)＝eq \f(49,100)，P(Y＝1)＝C21×eq \f(3,10)×eq \f(7,10)＝eq \f(21,50)，P(Y＝2)＝C22×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10))) eq \s\up12(2)＝eq \f(9,100). ∴Y的分布列为： Y 0 1 2 P eq \f(49,100) eq \f(21,50) eq \f(9,100) 题型三　综合应用 例3　2021年五一期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球和2个黑球，则打7折；其余情况不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回地每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元． (1)若两个顾客均消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1 000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算． 【解析】　(1)选择方案一若享受免单优惠，则需要摸出2个红球和1个白球， 设“顾客享受免单优惠”为事件A，则P(A)＝eq \f(C22C11,C103)＝eq \f(1,120)， 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为P＝P(A)·P(A)＝eq \f(1,14 400). (2)若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，500，700，1 000. P(X＝0)＝eq \f(C22C11,C103)＝eq \f(1,120)，P(X＝500)＝eq \f(C22C71,C103)＝eq \f(7,120)， P(X＝700)＝eq \f(C11C72,C103)＝eq \f(7,40)， P(X＝1 000)＝1－eq \f(1,120)－eq \f(7,120)－eq \f(7,40)＝eq \f(91,120). 故X的分布列为： X 0 500 700 1 000 P eq \f(1,120) eq \f(7,120) eq \f(7,40) eq \f(91,120) 　　所以E(X)＝0×eq \f(1,120)＋500×eq \f(7,120)＋700×eq \f(7,40)＋1 000×eq \f(91,120)＝910(元)． 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z＝1 000－200Y. 由已知可得Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,10)))，故E(Y)＝3×eq \f(3,10)＝eq \f(9,10). 所以E(Z)＝E(1 000－200Y)＝1 000－200E(Y)＝820(元)． 因为E(X)>E(Z)，所以该顾客选择方案二更合算． 思考题3　已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球． (1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率； (2)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列． 【解析】　设事件Ai为“甲盒中取出i个红球”，i＝0，1，2，事件Bj为“乙盒中取出j个红球”，j＝0，1，2， 则P(Ai)＝eq \f(C2iC32－i,C52)(i＝0，1，2)，P(Bj)＝eq \f(C3jC32－j,C62)(j＝0，1，2)． (1)设事件C为“取出的4个球中恰有1个红球”，则P(C)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝eq \f(C20C32,C52)×eq \f(C31C31,C62)＋eq \f(C21C31,C52)×eq \f(C30C32,C62)＝eq \f(3,10). (2)ξ可取的值为0，1，2，3，4. 所以P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝eq \f(C20C32,C52)×eq \f(C30C32,C62)＝eq \f(3,50)， P(ξ＝1)＝P(C)＝eq \f(3,10)， P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝eq \f(C20C32,C52)×eq \f(C32C30,C62)＋eq \f(C21C31,C52)×eq \f(C31C31,C62)＋eq \f(C22C30,C52)×eq \f(C30C32,C62)＝eq \f(11,25)， P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝eq \f(C21C31,C52)×eq \f(C32C30,C62)＋eq \f(C22C30,C52)×eq \f(C31C31,C62)＝eq \f(9,50)， P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝eq \f(C22C30,C52)×eq \f(C32C30,C62)＝eq \f(1,50). 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P eq \f(3,50) eq \f(3,10) eq \f(11,25) eq \f(9,50) eq \f(1,50) 课 后 巩 固 1．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为(　　) A.eq \f(C31C471,C502)　　　　　　　　　 B.eq \f(C32C470,C502) C.eq \f(C31＋C32,C502) D.eq \f(C31C471＋C32C470,C502) 2．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困村，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于eq \f(6,7)的是 (　　) A．至少有1个深度贫困村 B．有1个或2个深度贫困村 C．有2个或3个深度贫困村 D．恰有2个深度贫困村 解析　用X表示选取的3个村庄中深度贫困村个数，X服从超几何分布，则P(X＝k)＝eq \f(C3kC43－k,C73)， 所以P(X＝0)＝eq \f(C43C30,C73)＝eq \f(4,35)，P(X＝1)＝eq \f(C42C31,C73)＝eq \f(18,35)， P(X＝2)＝eq \f(C41C32,C73)＝eq \f(12,35)，P(X＝3)＝eq \f(C40C33,C73)＝eq \f(1,35)， 所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(6,7).故选B. 3．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从班中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为随机变量X，男生的人数为随机变量Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)＝(　　) A.eq \f(C102C202,C303)　　　　　　　　 B.eq \f(C102＋C202,C303) C.eq \f(C102C201＋C101C202,C303) D.eq \f(（C103＋C201）×（C101＋C202）,C303) 解析　由题得P(X＝2)＝eq \f(C102C201,C303)，P(Y＝2)＝eq \f(C101C202,C303)，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝eq \f(C102C201＋C101C202,C303).故选C. 4．李明参加某电视台节目的青年志愿者选拔活动，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为________． eq \f(2,3) 解析　设所选3题中李明能答对的题数为X，则X服从参数为N＝10，M＝6，n＝3的超几何分布，且P(X＝k)＝eq \f(C6kC43－k,C103)(k＝0，1，2，3)， 故所求概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(C62C41,C103)＋eq \f(C63C40,C103)＝eq \f(60,120)＋eq \f(20,120)＝eq \f(2,3). 5．现对某高校篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每名运动员的平均成绩用频率分布直方图表示如下．规定平均得分在[10，20)，[20，30)，[30，40]的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层随机抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表． (1)求a的值和选出的篮球运动员代表中一级篮球运动员的人数； (2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中一级篮球运动员人数X的分布列； (3)若从该校篮球运动员代表中有放回地选三人，求其中一级篮球运动员人数Y的期望． 解析　(1)由频率分布直方图知(0.062 5＋0.050 0＋0.037 5＋a＋2×0.012 5)×5＝1，∴a＝0.025 0. 其中为一级篮球运动员的频率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，∴选出的篮球运动员代表中一级篮球运动员有0.25×16＝4(人)． (2)由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3， P(X＝0)＝eq \f(C123,C163)＝eq \f(11,28)，P(X＝1)＝eq \f(C122C41,C163)＝eq \f(33,70)， P(X＝2)＝eq \f(C121C42,C163)＝eq \f(9,70)，P(X＝3)＝eq \f(C43,C163)＝eq \f(1,140)， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(11,28) eq \f(33,70) eq \f(9,70) eq \f(1,140) (3)由已知得Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，∴E(Y)＝3×eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)， ∴其中一级篮球运动员人数Y的期望为eq \f(3,4). $$