精品解析：2024年上海市彭浦第三中学中考模拟数学试题

上海市彭浦第三中学九年级假期中考强化训练卷4 测试说明：本卷难度较大，考试时间：120分钟 一.选择题（共24分） 1. 下列为必然事件的是（ ） A. 下周有一天不下雨 B. 国足输球 C. 太阳从西边升起 D. 在1标准大气压下，水加热到后沸腾 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查随机事件和必然事件，解题的关键是掌握必然事件的定义． 【详解】解：A、下周有一天不下雨，是随机事件，故此选项不符合题意； B、国足输球，是随机事件，故此选项不符合题意； C、太阳从西边升起，是不可能事件，故此选项不符合题意； D、在1标准大气压下，水加热到后沸腾，是必然事件，符合题意； 故选：D． 2. 下列关于角的说法正确的是（ ） A. 角是封闭图形 B. 一个角的补角与它的余角互余 C. 一个角的邻补角不一定是它对顶角的邻补角 D. 一个角的邻补角与它余角的差为 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了余角、补角、邻补角、对顶角，是基本概念题，熟记概念与性质是解题的关键． 【详解】解：A、角不是封闭图形，故本选项错误； B、一个角的补角为，它的余角为，，故本选项错误； C、一个角的邻补角一定是它对顶角的邻补角，故本选项错误； D、一个角的邻补角为，它的余角为，，故本选项正确． 故选：D． 3. 的值在（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角函数的计算，根据三角函数的计算求解即可． 【详解】解： ∴的值在． 故选：C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直平分弦的半径平分弧 B. 圆心角相等，对应弧相等 C. 三角形的内心到三边距离相等 D. 三角形的外心到三边距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，三角形内心和外心及圆周角定理，掌握相应定理的内容及应用条件是解题的关键．分别根据垂径定理、三角形外心内心和圆周角定理逐项判断即可． 【详解】A、当直径所平分的弦也是直径时则这两条直径不一定垂直，故A不正确，不符合题意； B、只有在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧才相等，故B不正确，不符合题意； C、三角形的内心是三个内角角平分线的交点，则到三边的距离相等，故C正确，符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，则到三个顶点的距离相等，故D不正确，不符合题意； 故选：C 5. 下列适合普查的是（ ） A. 全国男生身高 B. 全国女生体重 C. 全国九年级学生的数学月考成绩 D. 全国的学生人数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、了解全国男生身高，适合抽样调查方式，故本选项不合题意； B、了解全国女生体重，适合抽样调查方式，故本选项不合题意； C、了解全国九年级学生的数学月考成绩，适合抽样调查方式，故本选项不合题意； D、了解全国的学生人数，适合普查方式，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 已知顶角为的等腰，那么下列结论正确性描述正确的是（ ） （1）若有一直线将分成两个等腰三角形，被分出的等腰三角形中有一个与相似； （2）若有一直线将分成两个三角形，被分出的一个三角形与相似，那么这两个被分出的三角形都是等腰三角形． A. （1）（2）都正确 B. （1）（2）都错误 C. （1）正确，（2）错误 D. （1）错误，（2）正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，根据等边对等角得，再结合题意作出图形，根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定，进行判定即可．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图，，， ∴， （1）若有一直线将分成两个等腰三角形， 当直线经过点时，显然不可能存等腰三角形，不符合题意； 则直线经过点或，若直线将分成两个等腰三角形，则，， ∴，， ∴， 直线经过点时，亦是如此，故（1）正确； （2）若有一直线将分成两个三角形，被分出的一个三角形与相似， 当直线经过点时，显然不可能存在等腰三角形，则不可能与相似，不符合题意； 则直线经过点或，若直线将分成两个三角形，即，， 当时，，， 当与相似，点与点重合不符合题意， ∴，则为等腰三角形，此时，也是等腰三角形，故（2）正确； 综上，（1）（2）都正确， 故选：A． 二.填空题（共48分） 7. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】有两个实数根，首先二次项系数需不为，其次，列出不等式求解即可． 【详解】解：有两个实数根， ，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，掌握一元二次方程根的判别式是关键． 8. 解不等式：，解集为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，将不等式，转化为与交点问题，利用图象法求解即可．正确求出点、的坐标是解题的关键． 【详解】解：设与交于、两点， 联立， 解得：或， 由题意得关于的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围， ∴关于的不等式的解集为或， 故答案为：或． 9. 一次函数与x轴夹角的余切值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，三角函数的定义，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点求法及余切值的定义是解题的关键．先求出与轴和轴的交点坐标，再利用余切值的定义求解即可． 【详解】解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 即， 则， 当时，解得：， 即， 则， 则， 则一次函数与x轴夹角的余切值为． 故答案为： 10. 在四边形中，，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，延长、交于点，得，则，可知，，进而求得，再结合即可求解，作出图形，根据勾股定理，求得是解决问题的关键． 【详解】解：延长、交于点， ∵，，， ∴，则， ∴，，则， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11. 将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 12. 点P是正方形内一点，点P到点A，B的距离相等，若点P到直线的距离d等于的长且，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线得判定，勾股定理等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据题意可知点P在的垂直平分线上，则，进而可知，，，则，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：在正方形中，，， ∵点P到点A，B的距离相等， ∴点P在的垂直平分线上，则， ∴， ∴，， ∵点P到直线的距离d等于的长 ∴，则， 在中，，即：，。 解得：， 故答案为：． 13. 如图，∠MON=, P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r 的取值范围是 _____. 【答案】 【解析】 【分析】过点P作 于A， 于B，由角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PA、PB的值，再由两直线平行内错角相等可以得出 ，则可求出PQ长，最后算出两圆内切和外切时r的值，即可求解． 【详解】过点P作 于A， 于B， ∵以P为圆心，半径为8的圆与ON相切， ∴B是切点， 即 ， ∵∠MON=， P是∠MON的平分线上一点， ， ， ， ， ， 在中， ， ∴当⊙P和⊙Q相切时， 或者 ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，切线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，要注意：两圆相切有内切外切两种，掌握圆与圆的位置关系以及切线判定是解题关键． 14. 在菱形中，菱形对角线，交于点O， ，菱形面积为，点F为边中点，则的外接圆周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的面积可得，进而可知，，得，则，可知为等边三角形，设的外接圆圆心为，连接并延长交于，结合圆周角定理及垂径定理，解直角三角形求得半径即可求解． 【详解】解：∵，菱形面积为， ∴，可得：， 在菱形中，，， ∴，则， ∵点F为边中点， ∴，则为等边三角形， ∴，， 设的外接圆圆心为，连接并延长交于， 则，， 由圆周角定理可得，则， ∴， ∴的外接圆周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角，圆周角定理，垂径定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键 15. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程． 【详解】解：如图所示， ∵二次函数， ∴当时，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ， 即直线的函数解析式为， ∵，点在抛物线上且在第一象限， ∴设点的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令且， 解得， 此时直线的解析式为，当时， ∴点横坐标最大值是， ∴点经过的路程为：， 故答案为：． 16. 若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键时利用数形结合的方法，画出图像，分析图像和性质才能得出结论，属于较难题型．在坐标系中画出抛物线与抛物线的图象，分情况找到临界位置的的值，进而确定的取值范围． 【详解】对于抛物线，当时，或， 对于抛物线，当时，或， 两条抛物线如下图： ∴，，， 当直线经过时，，得， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在下方时，只有两个交点不符合题意； 当直线与抛物线只有一个交点时， 即：方程只有一个解，即：方程只有一个解， ∴，解得：， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在上方时，最多只有两个交点不符合题意； 综上，当时，直线与抛物线与抛物线有三个不同交点， 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， 如图所示，当点在上时， ∵ ∴在为圆心，为半径的弧上运动， 当三点共线时，最短， 此时， 当点在上时，如图所示， 此时 当在上时，如图所示，此时 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 18. 已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为， ∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上， ∴，顶点坐标为，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三.解答题（共78分） 19. 小吴将方程组：的解代入代数式：时，误将y的值解错，但答案依然正确，请你简要描述原因，并求出答案． 【答案】原因见解析，5 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组，解分式方程，分式的化简求值， 首先求出方程组的解为，然后化简分式，然后将代入求解即可． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴将代入，解得 ∴方程组：的解为 ∵化简后式子中不含y， ∴化简后的式子的值和y的值无关 将代入原式． 20. 已知的内心为O，． （1）如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； （2）延长交边于E，求证：=． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据三角形的内心点为角平分线的交点，根据尺规作图作角平分线的方法作平分，平分，，，，进而证明，即可证明，得为等边三角形； （2）由题意可知平分，作，，得，设边上的高为，根据，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， 如图，作平分，平分，，，， 则， ∵， ∴， ∴，同理，，， ∵的外心也为O， 由垂径定理可知，，，， ∴，则， ∴为等边三角形， 即为所求； 【小问2详解】 证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， ∴平分， 作，， ∴， 设边上的高为， 则， ∴， ∴． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数第一象限的图象交于点，与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）求m的值及反比例函数的解析式； （2）将线段沿x轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的面积，求得平移的距离是解题的关键． （1）由一次函数解析式求得点的坐标，代入，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）求得，把代入反比例函数的解析式即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数第一象限的图象交于点， ， ， ， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 把代入，解得， ， 由题意可知，四边形是平行四边形， 四边形的面积． 22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、DB交于点E，点F在BC的延长线上，连接EF、DF，且∠DEF=∠ADC． （1）求证：； （2）如果，求证：平行四边形ABCD是矩形． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【解析】 【详解】试题分析：由∠BAD+∠ADC=180°，∠BEF+∠DEF=180°，∠DEF=∠ADC即可得∠BAD=∠BEF，再由∠EBF=∠ADB，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可判定△ADB∽△EBF，根据相似三角形对应边的比相等即可证得结论；（2）由△ADB∽△EBF，根据相似三角形的性质可得，在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质可得BE=ED= BD，即可得AD·BF=BD·BE=，即；因为，可得BF=DF，又因BE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质可得FE⊥BD即∠DEF=90°，所以∠ADC=∠DEF=90°，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可判定平行四边形ABCD是矩形. 试题解析： 证明：（1）∵平行四边形ABCD， ∴AD//BC，AB//DC, ∴∠BAD+∠ADC=180°， 又∵∠BEF+∠DEF=180°， ∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF， ∵∠DEF=∠ADC， ∴∠BAD=∠BEF， ∵AB//DC， ∴∠EBF=∠ADB， ∴△ADB∽△EBF， ∴； （2）∵△ADB∽△EBF， ∴， 在平行四边形ABCD中，BE=ED= ， ∴， ∴， 又∵， ∴，△DBF是等腰三角形， ∵， ∴FE⊥BD，即∠DEF=90°， ∴∠ADC=∠DEF=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形. 23. 如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． （1）求证：； （2）连接，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据为半圆的中点可得，根据矩形的判定可得平行四边形为矩形，即可证明； （2）连接，，交于，结合（1）易知四边形为正方形，可证，得，再证垂直平分，进而证明，再根据角度之间的互余关系可得，即可则证明． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵为半圆的中点， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：连接，，交于， 由（1）可知平行四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴的交点为B，A（B在A左侧），过线段的中点M作轴，交双曲线于点P． （1）当时，求长； （2）当点M与对称轴之间的距离为3时，求点P的坐标； （3）在抛物线平移的过程中，当抛物线的对称轴落在直线和之间时（不包括边界），求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式，求出抛物线与轴的交点坐标，即可求出长； （2）先用含的代数式表示出抛物线的对称轴，点的横坐标，根据“点与对称轴之间的距离为2”求出的值，进而求出点的横坐标，代入即可求解； （3）解不等式，即可得出a的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，抛物线的解析式为， 令，得：， 解得：，． 在左侧， ，， ； 【小问2详解】 解：中， 令，得：， 解得：，， 在左侧， ，． 抛物线的对称轴为：． 是线段的中点， ． 当点与对称轴之间的距离为3时， ，即． 解得：或． 或． 轴，交双曲线于点， 点的横坐标为或， 当时，， 当时，， 或； 【小问3详解】 解：由（2）知抛物线的对称轴为：， 当抛物线的对称轴落在直线和之间（不包括边界）时， ， 解得：， 即a的取值范围为：． 【点睛】本题考查二次函数综合题，抛物线与反比例函数的综合，掌握求抛物线与轴的交点坐标、对称轴，解一元一次不等式组，求反比例函数的函数值等，二次函数与反比例函数的图象和性质，熟练应用数形结合思想是解题的关键． 25. 如图1和图2，已知在四边形中，，，，，，点M在边上，且，将线段绕点M顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点P（不与点A重合），设点P在该折线上运动的路径长为x，连接，连接． （1）求的度数 （2）当时，请求出x的值 （3）若点P到的距离为2，求的值 （4）当点P在边上运动时，设点到直线距离为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域 【答案】（1） （2）13 （3）的值为或 （4） 【解析】 【分析】（1）先在中由勾股定理求得，然后在中根据三边长利用勾股定理逆定理解答即可； （2）当时，，则；设交与点N，先由求得，由线段差可得；再由求得即可解答； （3）分P点在AB上和BC上两种情况；当P点在上时，过点作于点，在和中，利用的正弦值求得，再在中求即可；当P点在上时，过点P作交的延长线于点Q，延长MP交的延长线于点H，先由求得和，再由求得，在求得即可； （4）过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如下图所示，当时，设交与点N， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵当由增加到时，点由点运动到点， ∴； 【小问3详解】 解：如下图所示，当P点上时，过点作于点，则，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如下图所示，当P在上时，则，过点P作交的延长线于点Q，延长交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的值为或； 【小问4详解】 解：∵点在上， ∴， 如图，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，设，，即， ，， ， 整理得：， 点到直线的距离． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、解直角三角形、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市彭浦第三中学九年级假期中考强化训练卷4 测试说明：本卷难度较大，考试时间：120分钟 一.选择题（共24分） 1. 下列为必然事件的是（ ） A. 下周有一天不下雨 B. 国足输球 C. 太阳从西边升起 D. 1标准大气压下，水加热到后沸腾 2. 下列关于角的说法正确的是（ ） A. 角是封闭图形 B. 一个角的补角与它的余角互余 C. 一个角的邻补角不一定是它对顶角的邻补角 D. 一个角的邻补角与它余角的差为 3. 的值在（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直平分弦的半径平分弧 B. 圆心角相等，对应弧相等 C. 三角形的内心到三边距离相等 D. 三角形的外心到三边距离相等 5. 下列适合普查的是（ ） A. 全国男生身高 B. 全国女生体重 C. 全国九年级学生的数学月考成绩 D. 全国的学生人数 6. 已知顶角为的等腰，那么下列结论正确性描述正确的是（ ） （1）若有一直线将分成两个等腰三角形，被分出的等腰三角形中有一个与相似； （2）若有一直线将分成两个三角形，被分出一个三角形与相似，那么这两个被分出的三角形都是等腰三角形． A. （1）（2）都正确 B. （1）（2）都错误 C. （1）正确，（2）错误 D. （1）错误，（2）正确 二.填空题（共48分） 7. 关于方程有两个实数根，则的取值范围是______． 8. 解不等式：，解集为___________ 9. 一次函数与x轴夹角的余切值为________． 10. 在四边形中，，，，，则___________． 11. 将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为___________． 12. 点P是正方形内一点，点P到点A，B的距离相等，若点P到直线的距离d等于的长且，那么_____． 13. 如图，∠MON=, P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r 的取值范围是 _____. 14. 在菱形中，菱形对角线，交于点O， ，菱形面积为，点F为边中点，则的外接圆周长为_________． 15. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为_______ 16. 若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为________． 17. 如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为__________． 18. 已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为________ 三.解答题（共78分） 19. 小吴将方程组：的解代入代数式：时，误将y的值解错，但答案依然正确，请你简要描述原因，并求出答案． 20. 已知内心为O，． （1）如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； （2）延长交边于E，求证：=． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数第一象限的图象交于点，与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）求m的值及反比例函数的解析式； （2）将线段沿x轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，请直接写出四边形的面积． 22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、DB交于点E，点F在BC的延长线上，连接EF、DF，且∠DEF=∠ADC． （1）求证：； （2）如果，求证：平行四边形ABCD是矩形． 23. 如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． （1）求证：； （2）连接，，求证：． 24. 如图，抛物线与x轴的交点为B，A（B在A左侧），过线段的中点M作轴，交双曲线于点P． （1）当时，求长； （2）当点M与对称轴之间距离为3时，求点P的坐标； （3）在抛物线平移的过程中，当抛物线的对称轴落在直线和之间时（不包括边界），求a的取值范围． 25. 如图1和图2，已知在四边形中，，，，，，点M在边上，且，将线段绕点M顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点P（不与点A重合），设点P在该折线上运动的路径长为x，连接，连接． （1）求的度数 （2）当时，请求出x的值 （3）若点P到的距离为2，求的值 （4）当点P在边上运动时，设点到直线距离为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$