精品解析：浙江省诸暨市2024届高三适应性考试（三模）数学试题

诸暨市2024年5月高三适应性考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 若关于 的不等式的解集为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A. 第75百分位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数 4. 在的展开式中，含项的系数是10，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为曲线 ：的焦点，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则曲线 的离心率 B. 若，则曲线 的离心率 C. 若曲线 上恰有两个不同的点 ，使得，则 D. 若，则曲线 上存在四个不同的点 ，使得 7. 已知函数满足：对任意实数 ，，都有成立，且，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 为偶函数 D. 为偶函数 8. 设，已知，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知 ， 为圆上的两个动点，点，且，则（ ） A. B. C. 外接圆圆心的轨迹方程为 D. 重心的轨迹方程为 11. 已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ） A. 的值可以取 B. 的值可以取 C. 的值关于 单调递减 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数满足：，则复数的虚部为_________． 13. 记为正项数列的前项积，已知，则_________；_________． 14. 若正四面体 的棱长为1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体，，，则外接圆的半径是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的所有正零点构成递增数列． （1）求函数的周期和最大值； （2）求数列的通项公式及前项和． 16. 如图，在三棱锥中， 是正三角形，平面平面，，点 是 的中点，． （1）求证：为三棱锥外接球的球心； （2）求直线 与平面所成角的正弦值； （3）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时 的值． 17. 已知双曲线 ：与直线：交于 、 两点（ 在 左侧），过点 的两条关于对称的直线、分别交双曲线 于 、 两点（ 在右支， 在左支）． （1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； （2）若直线 与双曲线 在点 处的切线交于点 ，求的面积． 18. 如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点 出发，再次回到顶点 时停止爬行. （1）求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点 的概率； （2）在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为 ，求 的分布列及其数学期望； （3）设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点 ）的概率记为，求（用表示）. 19. 若函数在区间 上有定义，且，，则称 是的一个“封闭区间”． （1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求 的取值集合； （2）已知函数，设集合． （i）求集合 中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设为集合 中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间 ，使得 是的一个“封闭区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诸暨市2024年5月高三适应性考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】化简抛物线的方程为，求得，即为焦点到准线的距离. 【详解】由题意，抛物线，即，解得， 即焦点到准线的距离是 故选：B 2. 若关于 的不等式的解集为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由题得 、为方程的根，利用韦达定理计算即可得解. 【详解】由已知可得 、为方程的根， 由韦达定理可得：，解得： 故选：B 3. 有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A. 第75百分位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出该组数据的第75百分位数、平均数、极差、众数，比较大小，即可得到答案. 【详解】计算第75百分位数：，则取第8位数据， 即该组数据的第75百分位数为5； 平均数为； 极差为； 众数为3. 综上，第75百分位数最大. 故选：A. 4. 在的展开式中，含项的系数是10，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个 ，1个常数项即可写出含的项，则可得出答案. 【详解】根据二项展开式可知含项即从5个因式中取4个 ，1个常数项即可写出含的项； 所以含的项是，可得； 即可得. 故选：C 5. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果. 【详解】根据题意可得， 所以，则 所以， 则在方向上的投影向量为. 故选：B 6. 已知，为曲线 ：的焦点，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则曲线 的离心率 B. 若 ，则曲线 的离心率 C. 若曲线 上恰有两个不同的点，使得，则 D. 若，则曲线 上存在四个不同的点，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的方程，结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，当时，曲线 是椭圆，离心率，A正确； 对于B，当 时，曲线 是双曲线，离心率，B正确； 对于C，当时，曲线 是椭圆，其短半轴长，半焦距， 显然以线段为直径的圆恰过这个椭圆短轴端点，即符合条件的 可以是8，C错误； 对于D，当时，则曲线是焦点在x上的双曲线，则， 以线段为直径的圆与双曲线有4个交点，即符合条件的点有4个，D正确. 故选：C 7. 已知函数满足：对任意实数 ， ，都有成立，且，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 为偶函数 D. 为偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】由题意令，可得，令，可得，可得关于对称，据此逐项判断可得结论. 【详解】令，则，，所以， 令，则， 即，又， 所以关于对称， 所以关于对称，故A不正确； 关于对称，故B不正确； 由A可知关于 对称，故C不正确； 由A可知关于对称，故为奇函数， 所以为偶数，故D正确. 故选：D. 8. 设，已知，若恒成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，推出，得到答案. 【详解】由题意得，故， 故， 故 ， 由于，故. 故选：C 【点睛】关键点点睛： 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系弦化切求出正切，再根据二倍角计算求解即可. 【详解】因为分子分母都乘以,所以 可得,故A选项正确，,B选项错误； ,C选项错误； ,D选项正确. 故选：AD. 10. 已知 ， 为圆上的两个动点，点，且，则（ ） A. B. C. 外接圆圆心的轨迹方程为 D. 重心的轨迹方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆的性质，可得判定A正确；当线段的中垂线经过点时，此时取得最值，结合圆的性质，可判定B正确；设的外接圆的圆心为，根据，求得轨迹方程，可判定以C正确；设的重心为点，结合C项，求得其轨迹方程，可判定D错误. 【详解】因为圆，可得圆心，半径为，且点在圆内， 对于A中，由，根据圆的性质，可得， 即，即， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B中，因为，当线段的中垂线经过点时，此时取得最值， 如图所示，可得时，可得， 时，可得，所以B正确； 对于C中，设的外接圆的圆心为，则， 则有，可得， 即，所以C正确； 对于D中，设的重心为点，则， 由C项知的外接圆的圆心点 的轨迹方程为， 且点 为的中点，即，所以， 即，即，所以D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ） A. 的值可以取 B. 的值可以取 C. 的值关于 单调递减 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数求导，分析函数单调性，对和，分别求极值，判断极值的符号，结合函数零点存在性的判定方法求零点个数，可得AB的真假；把转合成，数形结合，通过函数与的交点，分析的值关于 关系，判断C的真假；先根据，推出，在根据，可得D正确. 【详解】求导得， 当时，恒成立， 故在上为减函数，不可能有两个零点，故; 令，得， 当，；当时，； 则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； 对于A选项：当时，， ，故， 因为在上单调递增， 则，故，则， 当时，；且时，； 故在及各有一个零点，故A对； 对于B选项:当时，于是， 故在上无零点，故B错； 对于C，，即，可视为两函数与的交点横坐标， 当 增加，直线斜率变小，同时向下平移，故收缩变小，故C正确； 对于D，因为为函数的零点，则， 不妨设， 则，， 又， 所以 设， 则，令，， 则，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，， 即，即， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数 满足：，则复数 的虚部为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】设复数，再利用复数的运算法则，就可以解得虚部. 【详解】设，，由得： ，即，则， 代入得：，解得 ， 故答案为： . 13. 记为正项数列的前 项积，已知，则_________；_________． 【答案】 ①. 2 ②. 2025 【解析】 【分析】由数列的前 项积，利用赋值法令可求得，将表达式化简可得数列是等差数列，即可求得. 【详解】根据题意令，可知，又数列的各项均为正，即； 解得； 由可得， 即，可得； 所以数列是以为首项，公差为的等差数列； 因此， 所以. 故答案为：2；2025. 14. 若正四面体 的棱长为1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体，，，则外接圆的半径是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合正四面体的图形特征，结合两点间距离公式和正弦定理求出的外接圆半径即可. 【详解】将此正四面体 放置在正方体中，从而可得 , 则 的中心为且此中心为 的中点，则， 的中心为且此中心为的中点，则， 的中心为且此中心为的中点，则， ，，， 等边外接圆的半径是 . 故答案为： . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的所有正零点构成递增数列． （1）求函数的周期和最大值； （2）求数列的通项公式及前 项和． 【答案】（1）周期2，最大值2 （2）， 【解析】 【分析】（1）先应用辅助角公式化简再得出最大值即可； （2）令可得出，根据题意确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式. 【小问1详解】 由题可得， 因此函数的周期， 当，即时，取最大值，最大值为． 【小问2详解】 由得， 因此函数的所有正零点为， ，，因此是首项为，公差为1的等差数列； ， 16. 如图，在三棱锥中， 是正三角形，平面平面，，点 是 的中点，． （1）求证： 为三棱锥外接球的球心； （2）求直线 与平面所成角的正弦值； （3）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值． 【答案】（1）证明：为 的中线，且，则 为正 的中心， 又中，， ，即 为三棱锥外接球的球心 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图形特征得出即得证球心； （2）根据线面角定义结合线面垂直及面面垂直的性质定理可得； （3）空间向量法求出锐二面角的余弦值再结合最值可得参数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是正三角形，点 是 的中点，． 又 平面平面，平面平面，平面 ， 平面 为直线 与平面所成的角 又，，， 即直线 与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 在平面中，过点 作，，垂足分别为 ，， 设，则，，． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，，，． 设平面的法向量为， 由，得，令，故， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面与平面所成锐二面角的平面角为 ， ， 当时，，此时余弦值最大， 即当时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大． 17. 已知双曲线 ：与直线：交于 、 两点（ 在 左侧），过点 的两条关于对称的直线、分别交双曲线 于 、 两点（ 在右支， 在左支）． （1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； （2）若直线 与双曲线 在点 处的切线交于点，求的面积． 【答案】（1）1 （2）． 【解析】 【分析】（1）设直线、的倾斜角分别为、（、），则，再利用斜率与倾斜角的关系，结合诱导公式求解； （2）先求出点 的坐标，进而得到双曲线 在点 处的切线方程为，不妨设直线 为，与双曲线方程联立，结合韦达定理和三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由题意知直线斜率为1， 直线的倾斜角， 设直线、的倾斜角分别为、（、）， 直线、关于直线对称，， ． 【小问2详解】 联立， 双曲线 在点 处的切线方程为． 不妨设直线 为，，， 联立得， 整理得，将等式看作关于的方程： 两根之和，两根之积， 而其中， 由（1）得， 直线 为，过定点， 又 双曲线 在点 处的切线方程为，过点，， ． 18. 如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行. （1）求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率； （2）在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为 ，求 的分布列及其数学期望； （3）设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用 表示）. 【答案】（1） （2） 的分布列为： 2 3 4 ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率公式计算即可； （2）结合条件概率先求离散型随机变量的分布列再求出数学期望； （3）结合等比数列的通项公式求出. 【小问1详解】 记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为 ”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为 ”， “电子蛐蛐爬行的第米终点为 ”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为 ”， “电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”， 则 【小问2详解】 记事件 “电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米” 的可能取值为2，3，4，根据条件概率的知识，可得 的分布列为 ， ， ， 用表格表示 的分布列为： 2 3 4 ． 【小问3详解】 （， ）① ② ②－①得： ， 19. 若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”． （1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求 的取值集合； （2）已知函数，设集合． （i）求集合中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设 为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为 的闭区间 ，使得 是的一个“封闭区间”． 【答案】（1） （2）（i）2； （ii）证明：由（i）得，假设长度为 的闭区间是的一个“封闭区间”， 则对，， 当 时，由（i）得在单调递增， ，即，不满足要求； 当时，由（i）得在单调递增， ， 即，也不满足要求； 当时，闭区间，而显然在单调递增， ， 由（i）可得，， ，满足要求． 综上，存在唯一的长度为 的闭区间，使得 是的一个“封闭区间”． 【解析】 【分析】（1）根据“封闭区间”的定义，对函数求导并求出其值域解不等式可得 的取值集合； （2）（i）对求导得出函数的单调性，利用零点存在定理即可求得集合中元素的个数为2个； （ii）根据区间长度的定义，对参数 进行分类讨论得出的所有可能的“封闭区间”即可得出证明. 【小问1详解】 由题意，，， 恒成立，所以在上单调递增， 可得的值域为， 因此只需， 即可得，即， 则 的取值集合为． 【小问2详解】 （i）记函数， 则， 由得或；由得； 所以函数在和上单调递增，在上单调递减． 其中，因此当时，，不存在零点； 由在单调递减，易知，而， 由零点存在定理可知存在唯一的使得； 当时，，不存在零点． 综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2． （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间”的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应的单调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $