专题1.4 空间向量法求空间中的位置关系（3类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.4 空间向量法求空间中的位置关系 【考点1：空间中直线与直线的位置关系】 1 【考点2：空间中直线与平面的位置关系】 3 【考点3：空间中平面与平面的位置关系】 7 【考点1：空间中直线与直线的位置关系】 【知识点：空间中直线与直线的位置关系】 ①设分别是直线与的方向向量，则，使得； ②设分别是直线与的方向向量，则. 1．（2024高二·全国·课后作业）已知，分别是直线，的方向向量，若，则实数x，y的值分别是（    ） A．6，15 B．3， C．3，15 D．6， 2．（2024高二上·全国·课后作业）设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则m＝（    ） A．1 B． C． D．3 3．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（    ） A．2 B．或1 C． D．1 4．（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二上·贵州毕节·阶段练习）已知向量分别是直线的方向向量，若，则 . 7．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为 . 8．（23-24高二上·浙江·期末）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 【考点2：空间中直线与平面的位置关系】 【知识点：空间中直线与平面的位置关系】 ①设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. 1．（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2024·宁夏银川·一模）如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 6．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 7．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 8．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 9．（2024·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【考点3：空间中平面与平面的位置关系】 【知识点：空间中平面与平面的位置关系】 ①设分别是直线与的法向量，则，使得. ②设分别是直线与的法向量，则. 1．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 2．（多选）（2024·山西太原·三模）已知正方体中，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．不存在点，使得∥平面 D．不存在点，使得平面平面 3．（2024高三·全国·专题练习）已知单位正方体中，为的中点．求证：平面平面． 4．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 5．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面； 6．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 7．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. 8．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 9．（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 空间向量法求空间中的位置关系 【考点1：空间中直线与直线的位置关系】 1 【考点2：空间中直线与平面的位置关系】 6 【考点3：空间中平面与平面的位置关系】 14 【考点1：空间中直线与直线的位置关系】 【知识点：空间中直线与直线的位置关系】 ①设分别是直线与的方向向量，则，使得； ②设分别是直线与的方向向量，则. 1．（2024高二·全国·课后作业）已知，分别是直线，的方向向量，若，则实数x，y的值分别是（    ） A．6，15 B．3， C．3，15 D．6， 【答案】D 【分析】根据向量共线列式得到，解出未知量即可. 【详解】由，得，解得，． 故选：D. 2．（2024高二上·全国·课后作业）设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则m＝（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】两直线垂直转化为其方向向量垂直即方向向量的数量积为0. 【详解】, 解得m＝3. 故选：D 3．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（    ） A．2 B．或1 C． D．1 【答案】A 【分析】根据模和垂直的空间向量公式，即可求解. 【详解】，，得，所以， 因为，则，得， 所以. 故选：A 4．（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，应用向量垂直的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求最小值. 【详解】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 5．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 6．（2024高二上·贵州毕节·阶段练习）已知向量分别是直线的方向向量，若，则 . 【答案】8 【分析】由两直线平行可得两直线的方向向量共线，然后列方程组求解即可 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故答案为：8 7．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为 . 【答案】 【分析】 设，根据向量垂直和平行的坐标表示列方程组求解可得. 【详解】设， 则， 由，即， 因为共线，故存在实数使得，即 所以，解得， 所以点H的坐标为. 故答案为： 8．（23-24高二上·浙江·期末）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，根据，可得，进而可得出答案. 【详解】（1）因为为等腰直角三角形，，， 所以， 又，，所以， 而，，故， 因，平面，故平面， 又平面，所以； （2）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 设，而，所以， 所以，所以，又， 因为，故， 所以，解得， 所以．    【考点2：空间中直线与平面的位置关系】 【知识点：空间中直线与平面的位置关系】 ①设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. 1．（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，即可得到答案. 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量平行，从而可求出的值. 【详解】因为直线垂直于平面α，所以直线的方向向量与平面的法向量平行， 即，解得. 故选：A. 3．（2024·宁夏银川·一模）如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 建系，求平面的法向量，利用空间向量求点M的位置，进而可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为∥平面，可知平面的法向量为， 设，可得， 可得，解得， 则，可得， 所以. 故选：C. 4．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 5．（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 6．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而证得，进而得证. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系， 则 ∵分别是的中点 ∴ 则 显然平面的一个法向量为， 所以，则， 又面 ，所以平面. 7．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解. 【详解】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以平面. 8．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量法可证 【详解】因为底面为矩形，底面，所以AB，AD，AO两两互相垂直， 所以分别以AB，AD，AO所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，即 ，取，得 所以 又平面，所以直线平面 9．（2024·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为， 【分析】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的坐标运算确定线线垂直，结合线面垂直判定定理证明即可； （2）由（1）坐标关系与线面垂直，设，可得，建立坐标等式关系，利用基本不等式求得最值即可. 【详解】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设， 当E，F为中点时，，有， 所以，，，有，， 所以，又平面， 所以平面． （2）由（1）可得，，， 若平面，则，，所以， 设，则， 由平面ACE，所以， 当时，，有，当时，等号成立， 所以，即， 综上，的最大值为，． 【考点3：空间中平面与平面的位置关系】 【知识点：空间中平面与平面的位置关系】 ①设分别是直线与的法向量，则，使得. ②设分别是直线与的法向量，则. 1．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 2．（多选）（2024·山西太原·三模）已知正方体中，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．不存在点，使得∥平面 D．不存在点，使得平面平面 【答案】AB 【分析】建系，设，，可得，对于A：利用向量可知∥平面，结合转换顶点法分析判断；对于B：利用空间向量说明线面垂直；对于C：利用空间向量说明线面平行；利用空间向量说明面面垂直. 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 设 设， 则，即， 对于选项A：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，且平面，则∥平面， 可知点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于选项B：因为，平面的法向量， 若∥，则，解得， 即当时，平面，故B正确； 对于选项C：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 令，解得， 即当时，∥平面，故C错误； 对于选项D：令，解得， 即当时，平面平面，故D错误； 故选：AB. 【点睛】方法点睛：利用空间向量求解探索性问题的策略 （1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论． （2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知单位正方体中，为的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】法一：建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由即可证明平面平面；法二：求出平面的法向量，先证与共线，再由平面，即可证明平面平面. 【详解】证法一：建立如图的空间直角坐标系，则、、、， 于是，，， 设平面的法向量为． 由，，得，． 令，则，∴． 设平面的法向量为． 由，，得，． 令，则，∴． 故， 因此，故面面． 证法二：设的中点为，则， 平面的法量为．易知，这说明与共线， ∴平面，又平面，故平面． 4．（2024高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】由题意得两两垂直．以B为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面、平面AEC1的一个法向量，证明可得答案. 【详解】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 因为， 所以，所以平面平面. 5．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量的坐标运算可得为平面的一个法向量，又,且平面，即可证明. 【详解】由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有有, 则, 故 又不共线，所以为平面的一个法向量. 又因为,且 即,且平面， 故有平面. 6．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论； （2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论． 【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 7．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】证明：（1）取BC的中点O，连接PO，△PBC为等边三角形，即PO⊥BC. ∵ 平面PBC⊥底面ABCD，BC为交线，PO⊂平面PBC， ∴ PO⊥底面ABCD. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图. 不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝， ∴ A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)， ∴ ＝(－2，－1，0)，＝(1，－2，－). ∵ ＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0， ∴ ⊥，∴ PA⊥BD. （2）取PA的中点M，连接DM，则M(，－1，). ∵ ＝(，0，)，＝(1，0，－)， ∴ ·＝×1＋0×0＋×(－)＝0， ∴ ⊥，即DM⊥PB. ∵ ＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0， ∴ ⊥，即DM⊥PA. ∵ PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴ DM⊥平面PAB. ∵ DM⊂平面PAD，∴ 平面PAD⊥平面PAB. 8．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 9．（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可. 【详解】（1）取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$