1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.2　全称量词命题 和存在量词命题的否定 课标定位 素养阐释 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 3.会判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假. 4.提升数学抽象和逻辑推理能力. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、命题的否定 1.给出下列命题: (1)比较①和③,②和④,它们之间有什么关系? (2)试判断以上四个命题的真假. 提示:(1)命题③是对命题①的否定;命题④是对命题②的否定. (2)①假;②真;③真;④假. 3.(1)一般地,对一个命题进行否定,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的否定. (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假. 二、全称量词命题的否定 1.写出下列命题的否定: (1)所有的正比例函数都是一次函数; (2)每一个有理数都能写成分数形式. 提示:(1)并非所有的正比例函数都是一次函数. (2)并非每一个有理数都能写成分数形式. 2.怎样用存在量词改写上述两个命题的否定? 提示:(1)存在一个正比例函数不是一次函数. (2)存在一个有理数不能写成分数形式. 3.以上两个命题的否定与原命题在形式上有什么变化? 提示:这两个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 4. 5.命题“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是(　　) A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0 B.∃x∈R,使x2-x+1>0 C.∃x∈R,使x2-x+1≤0 D.以上均不正确 解析:原命题为全称量词命题,其否定为存在量词命题.故选C. 答案:C 三、存在量词命题的否定 1.写出下列命题的否定: (1)有些矩形是正方形; (2)∃x∈R,x3-1=0. 提示:(1)没有一个矩形是正方形. (2)不存在x∈R,x3-1=0. 2.怎样用全称量词改写上述两个命题的否定? 提示:(1)每一个矩形都不是正方形. (2)∀x∈R,x3-1≠0. 3.以上两个命题的否定与原命题在形式上有什么变化? 提示:这两个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 4. 5.命题“∃x≥0,2x=3”的否定是(　　) A.∀x<0,2x≠3 B.∀x≥0,2x≠3 C.∃x≥0,2x≠3 D.∃x<0,2x≠3 解析:因为原命题为存在量词命题,所以其否定为全称量词命题,即∀x≥0,2x≠3. 答案:B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的.( × ) (2)全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.( √ ) (3)存在量词命题与其否定的真假可以相同.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 全称量词命题的否定与真假判断 【例1】 写出下列全称量词命题的否定,并判断其真假. (1)所有矩形的对角线相等; (2)不论m取什么实数,关于x的方程x2+x-m=0必有实数根; (3)等圆的面积相等,周长相等. 解:(1)该命题的否定:有的矩形对角线不相等,是假命题. (2)该命题的否定:存在实数m,使得关于x的方程x2+x-m=0没有实数根.当Δ=1+4m<0,即 时,方程没有实数根,故为真命题. (3)该命题的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.是假命题. 若本例(2)变为“不论m取什么实数,关于x的方程x2+2mx+m2+1=0都无实数根”,试写出其否定,并判断其真假. 解:该命题的否定:存在实数m,使关于x的方程x2+2mx+m2+1=0有实数根.由于Δ=(2m)2-4(m2+1)=-4<0,故方程无实数根.故其否定为假命题. 反思感悟 全称量词命题的否定形式与判断真假的方法 (1)全称量词命题的形式是:“∀x∈M,p(x)”,其否定形式应该是先把全称量词改为存在量词,再对命题p(x)进行否定,即“∃x∈M, p(x)”.所以全称量词命题的否定是存在量词命题. (2)若全称量词命题为真命题,则其否定命题就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定命题就是真命题. 【变式训练1】 命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(　　) A.∀x∈R,|x|+x2<0 B.∀x∈R,|x|+x2≤0 C.∃x∈R,|x|+x2<0 D.∃x∈R,|x|+x2≥0 解析:根据全称量词命题的否定形式知,命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定为“∃x∈R,|x|+x2<0”.故选C. 答案:C 探究二 存在量词命题的否定与其真假判断 【例2】 写出下列存在量词命题的否定,并判断真假: (1)∃x>1,使x2-2x-3=0; (2)存在一个实数x,使得x2+x+1≤0; (3)至少有一个(x,y),满足y=2x+1. 解:(1)该命题的否定:∀x>1,x2-2x-3≠0.是假命题. (2)该命题的否定:对所有实数x,都有x2+x+1>0.利用配方法可得其否定为真命题. (3)该命题的否定:对所有的(x,y),都不满足y=2x+1.是假命题. 反思感悟 存在量词命题的否定形式与判断真假的方法 (1)存在量词命题的形式是:“∃x∈M,p(x)”,其否定形式是先把存在量词改为全称量词,再对命题p(x)进行否定,即“∀x∈M, ˺p(x)”,所以存在量词命题的否定是全称量词命题. (2)存在量词命题的否定的真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可. 【变式训练2】 写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假. (1)有些被5整除的整数末位是0; (2)存在x∈R,x>2; (3)存在x∈R,x2<0. 解:(1)该命题的否定:所有被5整除的整数末位都不是0.是假命题. (2)该命题的否定:任意x∈R,x≤2,是假命题. (3)该命题的否定:任意x∈R,x2≥0,是真命题. 易 错 辨 析 忽略隐含量词致错 【典例】 写出下列命题的否定: (1)能被8整除的数能被4整除. (2)若2x>4,则x>2; (3)若四边形为正方形,则这个四边形的对角线相等. 错解:(1)该命题的否定:能被8整除的数不能被4整除. (2)该命题的否定:若2x>4,则x≤2. (3)该命题的否定:若四边形为正方形,则这个四边形的对角线不相等. 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:由于有些全称量词命题隐含了全称量词,因此导致命题的否定未改变量词,直接否定结论出现错误. 正解:(1)原命题省略了全称量词“每一个”,可以改写为“每一个能被8整除的数都能被4整除”,故原命题的否定为:有些能被8整除的数不能被4整除. (2)原命题省略了全称量词“所有的”,可以改写为“对所有的实数x,若2x>4,则x>2”,故原命题的否定为:存在一个实数x,满足2x>4,但x≤2. (3)原命题省略了全称量词“所有的”,可以改写为“对所有的四边形,若它为正方形,则它的对角线相等”,故原命题的否定为:存在一个四边形,它为正方形,但它的对角线不相等. 防范措施 1.对于隐含了量词的命题的否定,应先补全量词,根据补全的量词对原命题进行改写,再进行否定.同时应把握每一个命题的含义,写出否定形式后最好结合它们的真假性(一真一假)进行验证. 2.注意对全称量词命题和存在量词命题的否定形式的理解,提升数学抽象素养. 【变式训练】 写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)集合不都有元素; (2)若四边形为圆内接四边形,则这个四边形的对角互补; (3)若x2+x-2=0,则x=1. 解:(1)原命题省略了存在量词,可以改写为“有些集合没有元素”,故命题的否定为:所有的集合都有元素;假命题. (2)原命题省略了全称量词“所有的”,可以改写为“对所有的四边形,若它为圆内接四边形,则它的对角互补”,故命题的否定为:存在一个四边形,它为圆内接四边形,但它的对角不互补;假命题. (3)原命题省略了全称量词“所有的”,可以改写为“对所有的实数x,若x2+x-2=0,则x=1”,故原命题的否定为:存在一个实数x,满足x2+x-2=0,但x≠1;真命题. 随 堂 练 习 1.命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是(　　) A.不存在x∈R,2x>0 B.存在x∈R,2x≥0 C.对任意的x∈R,2x≤0 D.对任意的x∈R,2x>0 答案:D 2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　) A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案:D 3.存在量词命题“有些偶数是素数”的否定是　　　　　　　,这是　　　命题.(填“真”或“假”)  解析:存在量词命题“有些偶数是素数”的否定是“任何一个偶数都不是素数”,这是假命题. 答案:任何一个偶数都不是素数　假 4.命题“正多边形的内角都相等”的否定是　　　　　　　. 解析:原命题为全称量词命题,可以改写为“所有的正多边形的内角都相等”,故否定为“有的正多边形的内角不都相等”. 答案:有的正多边形的内角不都相等 5.写出下列命题的否定. (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)∀x∈R,x2-2x+1≤0; (3)有些实数的绝对值是正数; (4)∃x∈R,x2+1<0. 解:(1)否定:有的矩形不是平行四边形. (2)否定:∃x∈R,x2-2x+1>0. (3)否定:任意实数的绝对值都不是正数. (4)否定:∀x∈R,x2+1≥0. ①是有理数; ②35能被5整除; ③不是有理数; ④35不能被5整除. 全称量词命题 全称量词命题的否定 结　　论 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,􀱑p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题 存在量词命题的否定 结　　论 ∃x∈M,p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 m<- $$