专题09指数与指数函数【五大核心题型】讲义-2025届高三数学一轮复习

专题09 指数与指数函数 【五大核心题型】（讲义）（学生版） 【高考考点透视】 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. （2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. （3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 2022年甲卷第12题，5分 2020年新高考II卷第11题，5分 从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题. 【要点归纳】 1、指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【解题方法总结】 1、指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3) 指数函数与的图象关于轴对称． 【重难题型精练】 【题型精练一：指数的运算】 典型例题：（2024·广东·模拟预测）若，则 ． 变式训练1：已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 变式训练2：计算： (1)； (2) 变式训练3：（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（    ） A． B． C． D． 变式训练4：（多选题）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练5：计算： ． 变式训练6：化简求值. (1) (2) 变式训练7：（2024上·广东茂名·高一统考期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 变式训练8：（多选题）（2024上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式训练9：（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【题型精练二：指数函数的图像与性质】 典型例题：（多选）下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 变式训练1：（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（    ） A．B．C． D． 变式训练2：（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 变式训练3：（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 变式训练4：当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为 . 变式训练4：（2024高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 变式训练5：（多选）（2024上·江苏常州·高一统考期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 变式训练6：函数（且）的图象经过的定点坐标为 . 变式训练7：（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）函数且的定点为 . 变式训练8：（2024·高三·河北·期末）已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 . 变式训练9：已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为 . 【题型精练三：指数函数与不等式】 典型例题：已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 变式训练1：（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式训练2：（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 变式训练3：已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式训练4：（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（    ） A． B． C． D． 变式训练5：（2024·江苏·高三开学考试）设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 变式训练6：（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式训练7：（2024·全国·高三专题练习）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 变式训练8：设，则关于x的不等式的解集是 . 变式训练9：（2024·上海一模）不等式的解集为______． 变式训练10：（2024·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 . 变式训练11：（2024上·河北邯郸·高一统考期末）已知函数，则的解集为 ． 【题型精练四：指数函数的定义域与值域】 典型例题：定义区间（）的长度为．已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（    ） A． B．1 C． D．2 变式训练1：（2024上·山东威海·高一统考期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式训练2：函数的值域是（    ） A． B． C． D． 变式训练3：（2023下·广东广州·高一校考期中）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 变式训练4：已知函数．若函数的最大值为1，则实数（    ） A． B． C． D． 变式训练5：（2024上·北京·高三阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练6：若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练7：（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 变式训练8：（2024·福建校联考期中）函数 在时的值域是 ． 变式训练9：（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则的值域为 ． 变式训练10：已知奇函数在上的最大值为，则 ． 变式训练11：（2024·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______． 变式训练12：已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______． 变式训练13：（2024高三上·陕西·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)求在上的值域. 【题型精练五：指数函数的综合问题】 典型例题：已知方程有实根；函数为增函数，则p是q的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 变式训练1：若函数为上的增函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式训练2：（多选题）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（    ） A．当，则这期间人口数呈下降趋势 B．当，则这期间人口数呈摆动变化 C．当时，的最小值为3 D．当时，的最小值为3 变式训练3：（2024·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 变式训练4：（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 变式训练5：（2024·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 变式训练6（2024下·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知且 ，若函数在上单调递增，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式训练7：已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 . 变式训练8：指数函数在其定义域内是减函数，则实数的取值范围是_______. 变式训练9：（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 变式训练10：（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 指数与指数函数 【五大核心题型】（讲义）（解析版） 【高考考点透视】 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. （2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. （3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 2022年甲卷第12题，5分 2020年新高考II卷第11题，5分 从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题. 【要点归纳】 1、指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【解题方法总结】 1、指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3) 指数函数与的图象关于轴对称． 【重难题型精练】 【题型精练一：指数的运算】 典型例题：（2024·广东·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】分和两种情况分类计算. 【解析】当时，， 当时，. 故答案为： 变式训练1：已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果. 【解析】因为， 所以， 又由立方差公式，， 故选：A． 变式训练2：计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的运算法则化简求值； （2）根据对数的运算法则和对数的性质化简求值． 【解析】（1）； （2） ． 变式训练3：（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 变式训练4：（多选题）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由，所以A正确； 由，所以B正确； 由， 因为，，所以，所以C错误； 由，所以D正确． 故选：ABD． 变式训练5：计算： ． 【答案】24 【分析】由指数幂运算和对数运算可求. 【解析】． 故答案为：24 变式训练6：化简求值. (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算公式，即可化解求值； （2）利用对数运算法则和运算公式，化解求值. 【详解】（1） ； （2） . 变式训练7：（2024上·广东茂名·高一统考期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 变式训练8：（多选题）（2024上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】CD 【分析】先由等式得到，再应用基本不等式求得的范围，结合选项判断即可. 【详解】由得：，解得，即， 由于，，当且仅当（即）时取得等号. 故选：CD. 变式训练9：（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解. （2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解. 【解析】（1）由题意，所以. （2）由题意， 所以. 【题型精练二：指数函数的图像与性质】 典型例题：（多选）下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可. 【解析】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合； 对于B，且，故符合. 故选：BC 变式训练1：（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（    ） A．B．C． D． 【答案】ABD 【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.当时，，图象A满足； 当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足； 当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足； 图象C过点，此时，故C不成立. 故选：ABD 变式训练2：（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 变式训练3：（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数图象过原点，所以， 得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交， 所以，则， 所以. 故选：C 变式训练4：当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，得当时不等式恒成立，即，令，，分类讨论和两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于a的不等式，解不等式得解由题意，得当时不等式恒成立，即， 令，，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象， 当时，如图所示， 由图可知，，恒成立，故不满足题意； 当时，如图所示， 由图可知，要，恒成立， 需，即，解得，故 综上可知： a的取值范围是. 变式训练4：（2024高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】由图象可得，指数函数为减函数， 对数函数为增函数， 所以， 即. 故选：B 变式训练5：（多选）（2024上·江苏常州·高一统考期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据图象的性质可得：，即可求解. 【详解】函数（其中且）的图象在第一、三、四象限， 根据图象的性质可得：， 即， 故选：BD. 变式训练6：函数（且）的图象经过的定点坐标为 . 【答案】 【分析】由指数型函数的定点问题，令，即可得定点坐标． 【解析】由函数（且）， 令，得， 所以， 所以函数（且）的图象经过的定点坐标为. 故答案为：. 变式训练7：（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）函数且的定点为 . 【答案】 【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标． 【解析】因为且，令，得到，此时， 所以函数的定点为， 故答案为：. 变式训练8：（2024·高三·河北·期末）已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 . 【答案】 【解析】对于函数，且，令，则， 则函数且的图象恒过定点， 则，且， 故， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为， 故答案为; 变式训练9：已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为 . 【答案】 【分析】首先确定函数的周期，再利用周期，求和的解析式，再解不等式. 【解析】由知，函数是周期函数，周期为4， ，得， 所以当时，， 设， , 则，得，即， 当， ， 则，得，即， 综上可知不等式的解集为. 故答案为： 【题型精练三：指数函数与不等式】 典型例题：已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图象，结合图象即可判断. 【解析】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图象，如图所示： 由图象知，当时，，所以选项正确； 作出直线，当时，若，则，所以选项正确； 当时，若，则，所以选项正确． 所以不可能成立的是， 故选：． 变式训练1：（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 变式训练2：（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，因为，， 所以，所以. 故选：D. 变式训练3：已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，解得， 令，解得：， 令，解得：， 令，则， 因为，所以，，则有， 即恒成立，所以在上单调递增， 则有， 所以， ， 所以. 故选：D 变式训练4：（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，求导得， 当时，，则在上单调递减， 则，即，而，于是， 所以. 故选：D 变式训练5：（2024·江苏·高三开学考试）设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】借助指数函数性质分类讨论即可得. 【详解】由函数为指数函数，故且， 当时，函数单调递增，有，不符合题意，故舍去； 当时，函数单调递减，有，符合题意，故正确. 故选：A. 变式训练6：（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断. 【解析】因为，，所以； 又因为，则， 即，所以，即； 所以． 故选：A． 变式训练7：（2024·全国·高三专题练习）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，为增函数， 且，与图象不符， 若，为减函数， 且，与图象相符，所以， 当时，， 结合图象可知，此时，所，则，所以， 故选:C. 变式训练8：设，则关于x的不等式的解集是 . 【答案】 【解析】因为，且，则根据指数函数的单调性可知，，解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 变式训练9：（2024·上海一模）不等式的解集为______． 【答案】 【解析】函数在R上单调递增，则， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 变式训练10：（2024·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 . 【答案】 【解析】函数且的图象过定点， 则，所以， 由，得， 则 令，则， 则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 变式训练11：（2024上·河北邯郸·高一统考期末）已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为，即可求解. 【解析】由函数，可得其定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 可得在上单调递增， 根据偶函数的性质，不等式，即为， 可得，整理得，解得， 所以的解集为． 故答案为：． 【题型精练四：指数函数的定义域与值域】 典型例题：定义区间（）的长度为．已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】作出函数在值域为上的图象，由图象可得出长度最小和最大的区间，由此可得结论． 【详解】如图是函数在值域为[1，2]上的图象．使函数的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为或[0，1]， 长度最大的区间为，从而由定义可知区间的长度的最大值与最小值的差为． 故选：B 变式训练1：（2024上·山东威海·高一统考期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【解析】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 变式训练2：函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性即可得解. 【解析】因为是定义域在上的增函数． 所以当时，，， 所以的值域为． 故选：C. 变式训练3：（2023下·广东广州·高一校考期中）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案. 【详解】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得. 综上所述，或. 故选：C. 变式训练4：已知函数．若函数的最大值为1，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由指数函数的单调性以及二次函数的性质得出. 【详解】，令， 则，当时，，解得. 故选：B 变式训练5：（2024上·北京·高三阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可. 【详解】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值； 当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得. 故选：A 变式训练6：若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性可得最大值和最小值，列方程可得结果. 【详解】∵在R上单调递增，∴在 上单调递增， ∴当x=2时，取得最小值为4；当x=a时，取得最大值为 ， ∴，解得：a=3. 故选：C. 变式训练7：（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解. 【详解】函数为上的奇函数，当时，， 则当时，，有，显然， 不等式转化或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 变式训练8：（2024·福建校联考期中）函数 在时的值域是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得. 【详解】当时，，函数， 显然当，即时，，当，即时，， 所以所求值域是. 故答案为： 变式训练9：（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则的值域为 ． 【答案】 【解析】由题意可知时，，当且仅当时取得等号， 时，，当且仅当时取得等号， 故. 故答案为：. 变式训练10：已知奇函数在上的最大值为，则 ． 【答案】2或 【解析】因为是奇函数，所以， 解得，即． 当时，函数在上单调递增，则，解得． 当时，函数在上单调递减，则，解得． 故答案为：2或 变式训练11：（2024·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______． 【答案】 【解析】令，∵，∴， ∴， 又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即， . 故答案为：. 变式训练12：已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】∵的定义域为R， ∴0对任意x∈R恒成立， 即恒成立， 即对任意恒成立， ，则． 故答案为． 变式训练13：（2024高三上·陕西·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据，利用函数是奇函数求解； （2）根据指数函数的单调性易证是上的减函数求解. 【解析】（1）解：因为， 所以. 因为是奇函数， 所以，即， 即， 解得. （2）由（1）可知， 易知在上单调递增且，在上单调递减， 所以是上的减函数. 因为，， 所以在上的值域为. 【题型精练五：指数函数的综合问题】 典型例题：已知方程有实根；函数为增函数，则p是q的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】化简命题，根据集合的包含关系可判断. 【解析】方程有实根，故， 函数为增函数，故， 真包含于 , p是q的必要不充分条件． 故选：B 变式训练1：若函数为上的增函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数分段处理的原则，结合一次函数与指数函数单调性的特点即可求解. 【详解】因为函数为上的增函数， 所以，解得, 所以实数的取值范围为. 故选：B. 变式训练2：（多选题）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（    ） A．当，则这期间人口数呈下降趋势 B．当，则这期间人口数呈摆动变化 C．当时，的最小值为3 D．当时，的最小值为3 【答案】AC 【解析】，由指数函数的性质可知：是关于n的单调递减函数， 即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确； ，所以，所以， ，所以的最小值为3，故C正确； ，所以，所以， ，所以的最小值为2，故D不正确； 变式训练3：（2024·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】令，∵，∴， ∵恒成立，∴恒成立， ∵，当且仅当时，即时，表达式取得最小值， ∴， 故答案为． 变式训练4：（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，当时，， 得，又，所以方程无解； 当时，， 得，即，解得， 所以. 故选：D 变式训练5：（2024·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况. 【详解】由已知，则，则， 可知函数为周期函数，最小正周期， 又当时，， 可知函数的图象如图所示，且的值域为， 关于的方程至少有两解， 可得函数与函数的图象至少有两个交点， 如图所示，      可知当时，，解得，即， 当时，，解得，即， 综上所述， 故选：C. 变式训练6（2024下·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知且 ，若函数在上单调递增，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若满足条件，则每一段上都为增函数，且在分界点处的函数值前一段的函数值不大于后一段的函数值，求解即可. 【详解】函数在上单调递增， ，， 实数的取值范围为， 故选：D. 变式训练7：已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，， ∴当时，， 当时，为增函数， 所以时，取得最大值， ∵对，使得， ∴， ∴，解得. 故答案为：. 变式训练8：指数函数在其定义域内是减函数，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据指数函数的性质和题意可得：，解之即可求解. 【详解】因为指数函数在其定义域内是减函数， 所以，解之可得：， 则实数的取值范围是， 故答案为：. 变式训练9：（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】作出函数的图象，如图所示． 由，得， 解得或． 由图象易知，直线与的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实数根， 因为方程有7个不同的实数根， 所以直线与的图象有4个交点， 故，解得，故实数的取值范围是． 故答案为： 变式训练10：（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可； （2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得． 【详解】（1）设，因为，则， 则，， 当时，，， ∴时，，即当时，. （2）由（1）知，， 其图象的对称轴为． ①当时，在上单调递增，所以； ②当时，， ③当时，在上单调递减，所以. 综上， 学科网（北京）股份有限公司 $$