精品解析：山东省济南市莱芜区教研共同体2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末考试八年级 数 学 模 拟 试 题 注意事项： 本试题共8页，全卷满分150分．考试用时120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器。考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，每小题4分，共40分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. 4 C. D. 3. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ③有一组邻边相等 B. ②对角线互相垂直 C. ④有一个角是直角 D. ①一条对角线与其中一边相等 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A. 2.5 B. C. D. 3 5. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 若a≠b，且则的值为（ ） A. B. 1 C. .4 D. 3 8. 为实数，，那么的值为（ ） A. 1 B. 或1 C. D. 4或 9. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接．以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．有下列结论： ①已知是比例三角形，，，那么； ②在中，点在上，且，，那么是比例三角形； ③如图，在四边形中，已知，平分，，，那么是比例三角形； ④已知直线与轴、轴交于点，点，那么是比例三角形． 其中，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分．请填在答题卡上） 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 _____． 12. 如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是______． 13. 如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点，若，，则的长为______ ． 14. 如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________． 15. 将边长分别为1，，，的正方形的面积分别记为，，，令，，，，则的值为________． 16. 如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 __________． 三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答题要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F．求证：． 20. 秦九韶（年年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积． （1）在三角形中，，用上面的公式计算三角形的面积； （2）一个三角形的三边长分别为，求的值． 21. 如图，在中，，点D，E分别为边，的中点，点F在延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长． 22. 如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，． （1）求证：； （2）当时，求的值． 23. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 24. 阅读下列材料： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： （1）指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； （2）通过化简，比较和的大小关系； （3）已知，． ①求a的值； ②结合①的结果，解方程：． 25. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． （1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； （2）延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 26. 如图1，点G在正方形的对角线上，于E，于F． （1）证明与推断： ①求证：四边形是正方形； ②推断：___________； （2）探究与证明： 将正方形绕点C顺时针方向旋转角（），如图2，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3，延长交于点H，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期末考试八年级 数 学 模 拟 试 题 注意事项： 本试题共8页，全卷满分150分．考试用时120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器。考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，每小题4分，共40分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴ ∴． 故选：C． 2. 计算的结果是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方逆运算，二次根式的混合运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 利用积的乘方运算法则进行化简运算即可． 【详解】解： 原式 故选：D． 3. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ③有一组邻边相等 B. ②对角线互相垂直 C. ④有一个角是直角 D. ①一条对角线与其中一边相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形判定，菱形的判定，以及矩形的判定，熟练掌握相关四边形的判定是解题的关键．根据相关判定对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、③有一组邻边相等的矩形是正方形，条件正确，不符合题意． B、②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，条件正确，不符合题意． C、④有一个角是直角的菱形是正方形，条件正确，不符合题意． D、①一条对角线与其中一边相等的平行四边形不一定是矩形，条件错误，符合题意． 故选：D． 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A. 2.5 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形中，对角线分得到的两个角的度数之比是，，且，得，，由，得，，由，得，得，得，即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵对角线分得到的两个角的度数之比是， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 5. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 6. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元一次方程、解一元一次不等式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题分时和时两种情况求解即可． 【详解】解：当时，方程有实数根； 当时，∵关于x的方程有实数根， ∴，解得， 故选：D． 7. 若a≠b，且则的值为（ ） A. B. 1 C. .4 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】解：由得： ∴ 又由可以将a，b看做是方程 的两个根 ∴a+b=4，ab=1 ∴ 故答案为B. 【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解． 8. 为实数，，那么的值为（ ） A. 1 B. 或1 C. D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】将原方程中的换元即转化为分式方程,化简得一元二次方程，解方程即可，注意验根． 【详解】解：设，则方程可变形为： 解得， 经检验：都是的根， 即或者 当时，即所以 所以：． 故选A． 【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程，换元思想是解题的关键． 9. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接．以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，推出，设，则，根据相似三角形的性质得到，得到，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 直线垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 10. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．有下列结论： ①已知是比例三角形，，，那么； ②在中，点在上，且，，那么是比例三角形； ③如图，在四边形中，已知，平分，，，那么是比例三角形； ④已知直线与轴、轴交于点，点，那么是比例三角形． 其中，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】①应该有3种情况；②证明，即可得证；③证明，得到，进而求解，得到，即可得证；④由解析式求坐标，确定三边长度，即可得证． 【详解】解：①∵是比例三角形， ∴若，那么；若，那么；若，那么，故①错误； ②如图，∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是比例三角形，故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是比例三角形，故③正确； ④由直线，可以求出点、点，那么，，，三角形任意一条边的平方都等于另外两条边的乘积，则是比例三角形，故④正确； 综上所述，正确的序号有②③④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分．请填在答题卡上） 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题关键是正确理解定义．根据同类二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：3． 12. 如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查矩形的折叠问题、相似三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键．连接，先求出，再证明平分，证明，则，代入数值即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形为矩形， ，，， 为中点， ， 由翻折知，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点，若，，则的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，先利用等角的余角相等得到，结合，则可判断，然后利用相似三角形的性质得到，则利用比例的性质可求出的长． 【详解】解：四边形为矩形， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 故答案为：． 14. 如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴， 设，则，则 ∴ 即 ∴ ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 又, ∴， ∴ 在中， 即 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 将边长分别为1，，，的正方形的面积分别记为，，，令，，，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，正确计算出结果是关键．根据正方形的面积，得出，以此类推得出；结合，代入数值计算即可． 【详解】解：依题意， ， 以此类推： 则 ∴ ， ． 故答案为：． 16. 如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】设与交于O，根据平行四边形的性质得到，当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，根据菱形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，于是得到答案． 【详解】解：设与交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 由“点到直线的距离垂线段最短”可知， 当时，的值最小， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， 在中， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、含直角三角形的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答题要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的化简，零指数幂运算法则，有理数的乘方运算法则，二次根式的化简是解题的关键．根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 化简得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 19. 如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形性质和判定，根据题意可得，再利用全等三角形判定，继而得到本题答案． 【详解】略 20. 秦九韶（年年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积． （1）在三角形中，，用上面的公式计算三角形的面积； （2）一个三角形的三边长分别为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据“海伦一秦九韶公式” 即可解答； （）将，代入得到，再利用即可解答． 【小问1详解】 解：∵三角形中，， ∴“海伦一秦九韶公式”中的，， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，明确题意熟练掌握海伦一秦九韶公式是解题的关键． 21. 如图，在中，，点D，E分别为边，的中点，点F在延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 解： 点D，E分别为边，的中点， ，， 又， ，， 又， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，，再证明即可得到结论； （2）证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由，可得，，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 四边形是平行四边形， ，点D，E分别为边，的中点， ，，， 又，， ，， ． 答：四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角形斜边上的中线的性质，平行四边形的判定与性质，熟记基础图形的性质是解本题的关键． 22. 如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，． （1）求证：； （2）当时，求的值． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ． （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，由进一步得，即可证明； （2）先求出．由得到，代入数值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． ， ， ， ． 23. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价降低y元， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∵， ∴为了尽量减少库存，售价应降低20元． 24. 阅读下列材料： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： （1）指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； （2）通过化简，比较和的大小关系； （3）已知，． ①求a的值； ②结合①的结果，解方程：． 【答案】（1）， （2） （3）①2；② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，掌握二次根式的混合运算、平方差公式，分母有理化是解题关键． （1）阅读材料可直接得出结果； （2）先把分母有理化，然后比较大小即可； （3）①将已知两等式相乘可得出关于a的方程，然后解方程即可； ②两等式相加可得出，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是， ； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①知：， 又， 两等式相加，得， ∴， 解得． 25. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． （1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； （2）延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 【答案】（1）解：． 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即． 在和中 ， ∴， ∴； （2）①； ②，理由如下： 过点A作于点G，连接AF，如下图． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∵是等边三角形，点F为线段BC中点， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解； （2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形， 由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴； ②略． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键． 26. 如图1，点G在正方形的对角线上，于E，于F． （1）证明与推断： ①求证：四边形是正方形； ②推断：___________； （2）探究与证明： 将正方形绕点C顺时针方向旋转角（），如图2，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3，延长交于点H，若，，求的长． 【答案】（1）①正方形；② （2） ， 理由如下：如图，连接， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】(1)①由，，结合可得四边形是矩形，再由，即可得证； ②由正方形性质知、，据此可得，，利用平行线分线段成比例定理可得； (2)连接，只需证即可得； (3)证得，设，知，由得、、，由可得a的值，即可求得的值． 【小问1详解】 ①证明∵四边形是正方形， ，， ，， ， ∴四边形是矩形，， ， ∴四边形是正方形； ②解：， 理由如下： 由①知四边形是正方形， ，， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，点B、E、F三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 则由，得， ，则， ， ∴由得， 解得：，即． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $