22.2二次函数与一元二次方程同步练习 2024-2025学年 人教版数学九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程人教版初中数学九年级上册同步练习 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：；；若、是抛物线上的两点，则有；若，为方程的两个根，且；以上说法正确的有(    ) A. B. C. D. 2.抛物线与坐标轴的交点个数为(    ) A. B. C. D. 3.已知二次函数其中是自变量的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与轴有公共点，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.若对于一切实数，不等式恒成立，则的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 5.抛物线与轴交点的个数是(    ) A. B. C. D. 6.若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或或 7.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.二次函数的、的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是(    ) A. 当时，随的增大而增大 B. 当时， C. 顶点坐标为 D. 是方程的一个根 9.如图是二次函数的部分图象，由图象可知关于的不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 或 10.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 11.如图，二次函数为常数，的图象关于直线对称，抛物线与轴交于，两点若，则下列四个结论错误的是(    ) A. B. C. D. 对于任意实数，都有 12.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线，若点的坐标为，则下列结论正确的是：(    ) A. B. C. 若关于的一元二次方程的两根为，则 D. 点，在抛物线上，当时 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.若二次函数的图象与轴交于，两点，则的值为          ． 14.已知二次函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是          ． 15.若关于的方程的两实数根分别为，，则，，，的大小关系为          ． 16.若关于的方程的两实数根分别为，，则，，，的大小关系为          ． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数． 请把已知的二次函数化成的形式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象； 如果，是中图象上的两点，且，那么，的大小关系为          用“”连接； 利用中的图象表示出方程的根，画在中的图象上即可，要求保留画图痕迹． 18.本小题分 已知二次函数为常数． 求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； 当取什么值时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方？ 19.本小题分 如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点． 求点、、坐标； 若直线经过、两点，直接写出不等式的解集． 20.本小题分 如图所示，抛物线的图象与轴相交于和两点，交轴于点． 求抛物线的解析式； 连接，点是线段上一点，过点作轴与抛物线交于点，若直线将的面积分成相等的两部分，求点的坐标； 当直线将的面积分成相等的两部分，求的面积． 21.本小题分 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： 写出方程的两个根； 写出不等式的解集； 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 22.本小题分 已知二次函数． 直接写出此二次函数图象的顶点坐标； 画出此二次函数的图象，利用图象求出方程的根； 设此二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，求的面积． 23.本小题分 已知二次函数为常数． 若该二次函数的图象经过点，求的值； 求证：无论取何值，二次函数的图象与轴必有两个交点； 若平行于轴的直线与该二次函数的图象交于点，，且点，的横坐标之和大于，求的取值范围． 24.本小题分 已知二次函数是常数． 求证：不论为何值，该函数的图象与轴有两个公共点； 若该抛物线与轴的两个交点分别为，，且，求的值． 25.本小题分 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： 写出方程的两个根； 写出不等式的解集； 写出随的增大而减小的自变量的取值范围； 若方程有两个不相等的实数根，写出的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点坐标． 利用抛物线的开口方向、对称轴的位置、抛物线与轴交点的位置即可判断，，的符号；根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点坐标可算出另一个交点的坐标为，则当时，根据函数图象即可判断；利用二次函数的性质即可判断，的大小关系；把，看作二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图象即可判断，的取值范围． 【解答】 解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴正半轴， ， ，故错误； 抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， ，故正确； 抛物线开口向下， 离对称轴越近的点，函数值越大， ， ，故正确； ，为方程的两个根， 把，看作二次函数与直线的交点的横坐标， ，故正确； 说法正确的有． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 先计算自变量为对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再求解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断． 【解答】 解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为； 当时，即，解得，则抛物线与轴的交点坐标为． 所以抛物线与坐标轴有个交点． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：由二次函数的图象与轴有公共点， ，即， 由抛物线的对称轴，抛物线经过不同两点，， ，即，， 代入得，，即，因此， ， ， 故选：． 求出抛物线的对称轴，再由抛物线的图象经过不同两点，，也可以得到对称轴为，可得，再根据二次函数的图象与轴有公共点，得到，进而求出、的值． 本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键． 4.【答案】  【解析】解：若，则，显然成立． 若，若不等式的解是一切实数，则抛物线的开口向下，与轴无交点， ， 解得：， 综上，的取值范围是． 故选：． 分和两种情况分类讨论，若，根据二次函数的性质解决问题． 本题主要考查了抛物线与轴的交点，一元二次不等式与二次函数的关系，注意分类讨论是正确解答的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了抛物线与轴的交点，以及一元二次方程的解法令，求出对应的的值，即为抛物线与轴交点的横坐标． 令抛物线解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与轴有两个交点． 【解答】 解：令，得到，即， 分解因式得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点分别为，， 综上，抛物线与轴的交点个数为． 故选B． 6.【答案】  【解析】当时，是一次函数，图象与轴只有一个交点，符合题意；当时，函数为二次函数．函数的图象与轴只有一个交点，，解得，综上所述，的值为或或． 7.【答案】  【解析】解：如图， 关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标， 的图象的对称轴为直线， ， ， ． 当时，，当时，，时，， 一元二次方程为实数在的范围内有解， 直线在直线和直线之间，包括直线， 8.【答案】  【解析】求出二次函数的解析式为，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，选项不符合题意；得出时，随的增大而增大，选项不符合题意；当时，，选项符合题意；由抛物线的对称性得出时，，选项不符合题意． 【解答】解：由题意得： 解得： 二次函数的解析式为， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，选项不合题意； 时，随的增大而增大， 时，随的增大而增大，正确，选项不符合题意； 当时，，错误，选项符合题意； 时，， 是方程的一个根，正确，选项不符合题意； 故选：． 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以不正确； 抛物线与轴有两个交点， ，所以不正确； ， ， 所以正确； 时，， ， 所以不正确． 故选：． 利用抛物线开口方向得，利用对称轴方程得，利用抛物线与轴的交点位置得，则可对进行判断；根据抛物线与轴交点个数可对进行判断；利用可对进行判断；利用对称性可对进行判断． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握数形结合思想的应用，二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性是解题的关键． 根据二次函数的对称性，即可判断；由开口方向和对称轴即可判断；根据抛物线与轴的交点和时的函数的取值，即可判断；根据抛物线的最低点，当时，取得最小值，可得，从而得到，即可判断． 【解答】 解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，且， ，故A正确； 二次函数的图象关于直线对称， 其对称轴为直线，即， ， ． 由图象可知该抛物线开口向上， ， ，故B错误； 抛物线与轴有两个交点， ． 由图象结合题意可知当时，， ， ． ， ， ， ，故C正确； 由图象可知，当时，取得最小值，最小值为， 所以当取任意实数，对应的， ，故D正确； 故选B． 12.【答案】  【解析】【分析】 此题考查二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键．根据对称轴为得到，即可判断选项；根据当时，，即可判断选项；根据已知可得、即可判断选项；根据当时，随着的增大而增大即可判断选项．【解答】 解：抛物线的对称轴为直线，则，则，即，故选项错误，不符合题意； B.抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，当时，，故选项错误，不符合题意； C.抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为，可得点，即关于的一元二次方程的两根、，，故选项正确； D.抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，随着的增大而增大， 点，在抛物线上，当时，故选项错误，不符合题意； 故选C． 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】且  【解析】略 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与直线的交点问题．利用数形结合的思想，根据题意得到二次函数与直线的交点的横坐标分别为、，加上二次函数与轴的两交点的坐标为，，抛物线开口向上，于是可得到． 【解答】 解：方程的两实数根即为抛物线与直线的两交点的横坐标，分别画出抛物线与直线的大致图象，观察图象可得． 故答案为． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与直线的交点问题．利用数形结合的思想，根据题意得到二次函数与直线的交点的横坐标分别为、，加上二次函数与轴的两交点的坐标为，，抛物线开口向上，于是可得到． 【解答】 解：方程的两实数根即为抛物线与直线的两交点的横坐标，分别画出抛物线与直线的大致图象，观察图象可得． 故答案为． 17.【答案】【小题】   图象如图所示 【小题】 【小题】 如图，，为方程的两根   【解析】 略  略  见答案 18.【答案】解：证明：当时，， 解得：，． 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程有两个不相等的实数根． 不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； 当时，， 该函数的图象与轴交点的纵坐标为， 当，即时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方．  【解析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：由方程有解证出该函数的图象与轴总有公共点；利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与轴交点的纵坐标． 代入求出的值，分和两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； 利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与轴交点的纵坐标，令其大于即可求出结论． 19.【答案】解：令，则， 解得或， 点坐标为，点坐标为， 令，， 点坐标为． 由图象可得，当时，抛物线在直线上方， 的解集为．  【解析】令可得点，坐标，令可得点坐标． 通过观察图象，之间的部分抛物线在直线上方，从而求解． 本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 20.【答案】解：设抛物线的解析式为， 抛物线图象经过， ，解得， ， 即抛物线的解析式为； 设点的坐标为， 则点的坐标为， 直线将的面积分成相等的两部分， 是线段的中点， 点的坐标是， 又直线过点和， 直线的解析式为， 又点在直线上， ，解得，此时，点与点重合，舍去， 点的坐标是； 当直线将的面积分成相等的两部分时，是线段的中点， ， 当时，， ， ， 即的面积为．  【解析】根据点、、点可以求得该抛物线的解析式； 根据题意和中的函数解析式，可以得到，再根据直线将的面积分成相等的两部分，即可得到点的坐标； 根据题意和中的结果，可以求得的面积． 本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21.【答案】【小题】 ， 【小题】 或 【小题】   【解析】 略  略  略 22.【答案】【小题】 【小题】 如图所示  ， 【小题】 不妨设点在点的左边．由，易得，令，则   【解析】 略  略  见答案 23.【答案】【小题】 把代入，得，解得 【小题】 令，则，，无论取何值，二次函数的图象与轴必有两个交点 【小题】 设平行于轴的直线为直线与该二次函数的图象交于点，，，即设，是方程的两根，则，是直线与抛物线的交点，的横坐标．，解得的取值范围是   【解析】 见答案  见答案  见答案 24.【答案】【小题】 令，则，不论为何值，该函数的图象与轴有两个公共点 【小题】 令，则，，，解得，，的值为或   【解析】 见答案  见答案 25.【答案】【小题】 ，  【小题】   【小题】   【小题】 ．   【解析】 略  略  略  略 学科网（北京）股份有限公司 $$