第12讲 幂函数（2大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第12讲 幂函数（2大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断函数是否是幂函数 题型二 求幂函数的定义域 题型三 求幂函数的值 题型四 求幂函数解析式 题型五 根据函数是幂函数求参数值 题型六 幂函数有关的复合函数 题型七 幂函数图象的判断及应用 题型八 判断一般幂函数的单调性 题型九 判断五种常见幂函数的奇偶性 题型十 幂函数的单调性 题型十一 由幂函数的单调性解不等式 题型十二 由幂函数的单调性比较大小 知识点01一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 知识点02：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 【典型例题一 判断函数是否是幂函数】 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24高一·全国·课后作业）判断正误． （1）是幂函数．( ) （2）函数是幂函数．( ) 4．（2021高一·上海·专题练习）下列函数中的幂函数有 ． ①y＝x0；②y＝(x＋1)3；③y＝2x； ④y＝x－1；⑤y＝x4＋1. 5．（2023高一·全国·专题练习）判断下列函数是不是幂函数？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【典型例题二 求幂函数的定义域】 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一·全国·课后作业）函数的定义域为 ． 4．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知幂函数的定义域为，则实数 ． 5．（22-23高一·全国·课后作业）若幂函数的图象经过点，求的定义域. 【典型例题三 求幂函数的值】 1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 2．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高一上·北京·期中）已知点在幂函数的图象上，则 4．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则 ． 5．（22-23高一·全国·课堂例题）设是幂函数，已知，求，． 【典型例题四 求幂函数解析式】 1．（23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 4．（23-24高一下·广西·开学考试）已知是幂函数，则 . 5．（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式; (2)设函数在上是单调函数，求实数的取值组成的集合. 【典型例题五 根据函数是幂函数求参数值】 1．（23-24高一下·河南·开学考试）已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 2．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知幂函数，若函数的图象过点，则（    ） A．0 B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）幂函数在上单调递增，则 ． 4．（23-24高一下·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 5．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的值域． 【典型例题六 幂函数有关的复合函数】 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为 . 4．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数，若a>0，则f（x）的定义域是 ；若f（x）在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . 5．（23-24高一上·海南·期末）函数. （1）求函数的定义域； （2）解不等式. 【典型例题七 幂函数图象的判断及应用】 1．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过原点，则 . 4．（2023高一上·上海·专题练习）数在第一象限的图象如图所示，若，则 ． 5．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知幂函数，的图象分别过点，． (1)求函数，的解析式； (2)写出不等式的解集．（不需要说明理由，直接写结果） 【典型例题八 判断一般幂函数的单调性】 1．（23-24高一下·浙江·期中）下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在R上单调递增 D．函数在上单调递增 3．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 . 4．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知幂函数在单调递减，则的值为 ． 5．（23-24高一上·新疆喀什·阶段练习）已知幂函数经过 (1)试求函数的解析式； (2)写出函数的单调区间． 【典型例题九 判断五种常见幂函数的奇偶性】 1．（23-24高二下·浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一上·福建南平·期末）已知幂函数．若是奇函数，则的值为 ． 4．（23-24高一上·辽宁大连·期末）写出一个幂函数的解析式，使之同时具有以下三个性质：①定义域为；②是偶函数；③当时，．则函数的解析式为 ． 5．（23-24高一上·青海西宁·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是单调递增函数． (1)求m的值及的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【典型例题十 幂函数的单调性】 1．（23-24高一上·山东威海·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南漯河·期末）已知幂函数在上为减函数，则等于（    ） A．3 B．4 C． D．或4 3．（2024高三·全国·专题练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 . 4．（23-24高一上·江西抚州·期末）幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 ． 5．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【典型例题十一 由幂函数的单调性解不等式】 1．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆·期中）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 4．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增 (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【典型例题十二 由幂函数的单调性比较大小】 1．（2022高三·全国·专题练习）已知实数满足等式，给出下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤，其中可能成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知实数，若则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）写出一个具有性质①②③的幂函数 ． ①是奇函数；②在上单调递增；③． 4．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）如果，，那么 ；如果，，那么 ；当时， ，其中，. 5．（2023高一上·上海·专题练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. 【变式训练1 判断函数是否是幂函数】 1．（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）幂函数是指形如 的函数.其中为奇数时，幂函数为 （填奇偶性），为偶数时，幂函数为 （填奇偶性）.在第一象限中， （用与0的比较填空），则函数单调递增； （用与0的比较填空），则函数单调递减.幂函数必过定点 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）判一判：判断下列函数是否为幂函数. （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【变式训练2 求幂函数的定义域】 1．（23-24高一上·四川成都·期中）若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（22-23高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【变式训练3 求幂函数的值】 1．（23-24高一上·浙江台州·期末）若幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知幂函数的图象过点，则 ， ． 3．（23-24高一上·江西·期中）已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式训练4 求幂函数解析式】 1．（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 3．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 【变式训练5 根据函数是幂函数求参数值】 1．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）若幂函数的图象不经过原点，则实数的值是 ． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 【变式训练6 幂函数有关的复合函数】 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）求函数的定义域，并指出其单调区间. 【变式训练7 幂函数图象的判断及应用】 1．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 3．（22-23高一·全国·课堂例题）若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，求当为何值时，有： (1)； (2)； (3)． 【变式训练8 判断一般幂函数的单调性】 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏镇江·期末）幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式 . 3．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知幂函数 (1)求的解析式； (2)若图象不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间. 【变式训练9 判断五种常见幂函数的奇偶性】 1．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则（    ） A．时，是偶函数 B．时，的值域为 C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数 2．（23-24高一上·黑龙江·期末）已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则α的取值集合是 . 3．（23-24高一上·云南·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求的值和函数的解析式； (2)解关于的不等式. 【变式训练10 幂函数的单调性】 1．（22-23高一上·全国·阶段练习）已知幂函数上单调递增，则（   ） A．0 B．2 C．或 D．或2 2．（23-24高一上·山西运城·期末）已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为 ． 3．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并证明. 【变式训练11 由幂函数的单调性解不等式】 1．（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 3．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式训练12 由幂函数的单调性比较大小】 1．（23-24高三上·陕西汉中·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知，则的大小关系为 . 3．（23-24高一上·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小. (1)与； (2)与. 1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）函数的大致图像是（   ） A．B．C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C．0 D．3 5．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 7．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若幂函数的图象经过点，则 ． 8．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 9．（23-24高二下·全国·期末）已知满足和，当时，，则 10．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）若函数的定义域为，且，则实数的值为 11．（22-23高一上·广东·阶段练习）已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 12．（23-24高一上·山东日照·期末）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 15．（23-24高一上·天津·期末）若函数为幂函数，且在单调递减． (1)求实数的值； (2)若函数，且， （ⅰ）写出函数的单调性，无需证明； （ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 幂函数（2大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断函数是否是幂函数 题型二 求幂函数的定义域 题型三 求幂函数的值 题型四 求幂函数解析式 题型五 根据函数是幂函数求参数值 题型六 幂函数有关的复合函数 题型七 幂函数图象的判断及应用 题型八 判断一般幂函数的单调性 题型九 判断五种常见幂函数的奇偶性 题型十 幂函数的单调性 题型十一 由幂函数的单调性解不等式 题型十二 由幂函数的单调性比较大小 知识点01一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 知识点02：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 【典型例题一 判断函数是否是幂函数】 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 3．（23-24高一·全国·课后作业）判断正误． （1）是幂函数．( ) （2）函数是幂函数．( ) 【答案】 错误 正确 【详解】（1）可以改写成，其中的系数为，所以它不是幂函数． （2）中，底数是自变量，指数位置为常数，所以它是幂函数． 4．（2021高一·上海·专题练习）下列函数中的幂函数有 ． ①y＝x0；②y＝(x＋1)3；③y＝2x； ④y＝x－1；⑤y＝x4＋1. 【答案】①④ 【分析】利用幂函数的定义分析判断得解. 【详解】形如的函数叫幂函数. 所以由幂函数的定义可知，①④是幂函数；②③⑤不是幂函数． 故答案为：①④ 5．（2023高一·全国·专题练习）判断下列函数是不是幂函数？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 (5)不是 (6)不是 【分析】根据幂函数的定义判断． 【详解】（1）是幂函数， （2）不是幂函数， （3）不是幂函数； （4）是幂函数， （5）不是幂函数， （6）不是幂函数， 【典型例题二 求幂函数的定义域】 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】因为，则，可得， 故函数的定义域为. 故选：D. 3．（22-23高一·全国·课后作业）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义域的知识确定正确答案. 【详解】解：由于， 所以，，解得 所以函数的定义域是. 故答案为： 4．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知幂函数的定义域为，则实数 ． 【答案】1 【分析】由幂函数的定义列出方程，求出或，通过检验定义域可知满足要求. 【详解】由题意得到，解得：或， 当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意． 故． 故答案为：1 5．（22-23高一·全国·课后作业）若幂函数的图象经过点，求的定义域. 【答案】 【分析】设，根据幂函数的图象经过点求出，可得函数的解析式，根据解析式可得定义域. 【详解】因为为幂函数，所以设． 又的图象经过点，可得， 解得，所以． 故f(x)的定义域为． 【典型例题三 求幂函数的值】 1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可. 【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故选：C 2．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出，得到解析式，代入求值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，即， 所以，. 故选：A. 3．（23-24高一上·北京·期中）已知点在幂函数的图象上，则 【答案】3 【分析】利用待定系数法可求解析式，从而可求函数值. 【详解】设，故，故，故， 故， 故答案为：. 4．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值. 【详解】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点 ∴ ∴ ∴该函数的解析式为， ∴. 故答案为： 5．（22-23高一·全国·课堂例题）设是幂函数，已知，求，． 【答案】， 【分析】设函数解析式，代入求出解析式，可求，. 【详解】设幂函数． 由已知条件得． 故，， 于是，． 【典型例题四 求幂函数解析式】 1．（23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用幂函数的定义求得的解析式，再利用其定义即可得解. 【详解】依题意，设幂函数为，则，故，则， 所以的定义域为，故满足，解得. 故选：B. 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 【答案】B 【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解的值. 【详解】由题意可知，，解得：或， 当时，，函数在上是减函数，成立， 当时，，函数在上是增函数，不成立， 所以. 故选：B 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【答案】16 【分析】设，根据 【详解】设，由可得可得. 故，则. 故答案为：16 4．（23-24高一下·广西·开学考试）已知是幂函数，则 . 【答案】4 【分析】利用幂函数解析式的特点及函数值的定义即可求解. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为, 故. 故答案为：. 5．（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式; (2)设函数在上是单调函数，求实数的取值组成的集合. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点坐标代入函数解得答案. （2）确定，函数图象的对称轴为，根据单调性得到或，解得答案. 【详解】（1）的图象过点，所以，则， 函数的解析式为. （2），所以函数图象的对称轴为， 若函数在上是单调函数，则或，即或， 所以实数的取值组成的集合为或. 【典型例题五 根据函数是幂函数求参数值】 1．（23-24高一下·河南·开学考试）已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】 由幂函数的定义得出结果即可. 【详解】由题知，解得，且，解得. 故选：D 2．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知幂函数，若函数的图象过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】把给定点的坐标代入幂函数解析式求解即得. 【详解】幂函数的图象过点，则，即，解得， 故选：C 3．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）幂函数在上单调递增，则 ． 【答案】 【分析】 利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】由幂函数在上单调递增，得，所以. 故答案为： 4．（23-24高一下·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由幂函数定义求出，结合函数单调性和定义域去“”即可求解. 【详解】因为为幂函数，所以，则， 故的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由，可得，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）首先得到解析式，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，，函数图象关于轴对称，符合题意； 当时，，函数图象关于原点对称，不符合题意； 综上可得，. （2）因为，， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以， 即在区间上的值域为. 【典型例题六 幂函数有关的复合函数】 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 2．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 3．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 4．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数，若a>0，则f（x）的定义域是 ；若f（x）在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】（1）由当a>0且a≠1，再由负数不能开偶次方根，有3-ax≥0求解. （2）先看分母，当a-1>0，即a>1时，要使“f（x）在上是减函数”，则分子是减函数，且成立：当a-1<0，即a<1时，要“使f（x）在上是减函数”则分子是增函数，且-a>0成立，两种情况的结果最后取并集. 【详解】解：（1）当a>0且a≠1时，由3-ax≥0得， 即此时函数f（x）的定义域是； （2）当a-1>0，即a>1时，要使f（x）在上是减函数，则需3-a×1≥0，此时， 当a-1<0，即a<1时，要使f（x）在上是减函数，则需-a>0，此时a<0， 综上所述，所求实数a的取值范围是. 故答案为：（1）；（2） 5．（23-24高一上·海南·期末）函数. （1）求函数的定义域； （2）解不等式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据函数有意义的条件求解即可； （2）根据复合函数单调性得在上单调递增，再结合得，进而解不等式即可得答案. 【详解】解：（1）要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为 （2）由于函数在上单调递增，在上单调递增， 所以结合复合函数的单调性得在上单调递增， 由于， 所以等价于，解得 所以不等式的解集为 【典型例题七 幂函数图象的判断及应用】 1．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AC选项为偶函数，B选项满足要求，D选项不满足单调性. 【详解】A选项，的定义域为， 故，故为偶函数，A错误； B选项，画出的图象，满足既是奇函数又在上单调递减，B正确； C选项，的定义域为R，且， 故为偶函数，C错误； D选项，在上单调递增，D错误. 故选：B 2．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数，又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：函数的定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 3．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过原点，则 . 【答案】2 【分析】由幂函数的概念求出或，再利用幂函数的图象性质进行验证即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，其图像不过原点，应舍去， 当， 其图像过原点． 故答案为：2. 4．（2023高一上·上海·专题练习）数在第一象限的图象如图所示，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据幂函数的图象与性质，结合题意，即可求解. 【详解】由幂函数的图象可得，函数在单调递增，且增长趋势越来越缓慢， 又由，则只有满足条件． 故答案为：． 5．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知幂函数，的图象分别过点，． (1)求函数，的解析式； (2)写出不等式的解集．（不需要说明理由，直接写结果） 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）根据幂函数的解析式，代入点，可得答案； （2）根据（1）作图，结合图象，可得答案. 【详解】（1）设，，由条件，得 ，即， ，即． （2）在同一坐标系中，作出函数，的图象， 观察得到不等式的解集是． 【典型例题八 判断一般幂函数的单调性】 1．（23-24高一下·浙江·期中）下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数与反比例函数的定义及性质逐一判断即可. 【详解】由于函数的定义域为，不符合已知条件，故A不符合题意； 根据幂函数的性质得函数在单调递减，故B不符合题意； 根据幂函数的性质得函数在单调递增，故C符合题意； 由于是向左平移1个单位得到，所以在单调递增，故D不符合题意， 故选：C. 2．（2024·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在R上单调递增 D．函数在上单调递增 【答案】C 【分析】根据已知设，由二次函数的性质确定AB错误；由幂函数的性质判断C正确；由反比例函数的形式确定D错误. 【详解】因为是奇函数，且在区间上单调递增， 所以在上也为单调递增函数， 对于A：不妨令，， 所以在单调递减，在单调递增，故A错误； 对于B：不妨令，， 所以在单调递增，在单调递减，故B错误； 对于C：，其定义域为， 又，所以是奇函数， 取，则，，故 所以，则函数在为递增函数； 所以函数在也为递增函数，且当时，， 所以在R上单调递增，故C正确； 对于D：不妨令，， 由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，故D错误； 故选：C. 3．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用幂函数过的点求出的解析式，再利用单调性解不等式即可. 【详解】设幂函数，依题意，，即，因此，解得， 所以函数的解析式为； 显然函数在上单调递减，且， 于是不等式为：，解得，即或， 所以不等式的解集为. 故答案为：； 4．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知幂函数在单调递减，则的值为 ． 【答案】-1 【分析】由为幂函数，则，又在单调递减，得. 【详解】为幂函数，则，解得或， 时，；时，， 又在单调递减，则，. 故答案为：-1 5．（23-24高一上·新疆喀什·阶段练习）已知幂函数经过 (1)试求函数的解析式； (2)写出函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 【分析】（1）设出解析式，代入点的坐标，即可求出答案； （2）求出函数的定义域，根据定义法即可得出函数的单调区间. 【详解】（1）设， 由已知可得， 所以，. （2）由（1）知，，定义域为R， ， 则 . 因为，所以. 又， 所以，，即， 所以，在R上单调递增， 所以，的单调递增区间为，无单调递减区间. 【典型例题九 判断五种常见幂函数的奇偶性】 1．（23-24高二下·浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据幂函数的单调性，确定得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解. 【详解】因为幂函数，在区间上是减函数， 所以，解得：， 因为，得， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 所以. 故选：A 2．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】时，不满足单调性，或时，不满足奇偶性，当或时，满足要求，得到答案. 【详解】当时，在上单调递减，不合要求， 当时，，故为偶函数，不合要求， 当时，的定义域为，不是奇函数，不合要求， 当时，，为奇函数， 且在上单调递增，满足要求， 当时，，故为奇函数， 且在上单调递增，满足要求. 故选：B 3．（23-24高一上·福建南平·期末）已知幂函数．若是奇函数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】由幂函数的定义结合奇函数的定义即可求解. 【详解】由题意，解得或，又是奇函数， 当时，不满足题意；当时，满足题意. 故答案为：3. 4．（23-24高一上·辽宁大连·期末）写出一个幂函数的解析式，使之同时具有以下三个性质：①定义域为；②是偶函数；③当时，．则函数的解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意①定义域为；②是偶函数；故不妨取，是正整数，且容易验证，此时满足③当时，，故令，即可得满足题意的一个幂函数的解析式. 【详解】由题意当时，定义域为，且是偶函数（直接由解析式看出）， 当时，，，故满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 5．（23-24高一上·青海西宁·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是单调递增函数． (1)求m的值及的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数单调性得到，结合，得到，进而得到； （2）转化为对任意恒成立，参变分离得到，求出答案. 【详解】（1）在上单调递增， 所以，解得， 因为，所以， 当时，，关于y轴对称，满足要求； （2）， 由题意得对任意恒成立， 即，即， 其中，当且仅当时，等号成立， 故，即的取值范围为. 【典型例题十 幂函数的单调性】 1．（23-24高一上·山东威海·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数的定义即可得解. 【详解】由题意得幂函数在上单调递增， 所以，解得或（舍）. 故选：D. 2．（23-24高一上·河南漯河·期末）已知幂函数在上为减函数，则等于（    ） A．3 B．4 C． D．或4 【答案】C 【分析】由题意可得且，从而可求出的值. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或， 因为幂函数在上为减函数， 所以，得， 所以， 故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 . 【答案】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·江西抚州·期末）幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义求解参数，再利用单调性取舍即可. 【详解】为幂函数，或 又在区间上单调递增， 故答案为： 5．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解； （2）利用的单调性与定义域即可得解. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是增函数，故， ，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又，的定义域为， ，解得， 的取值范围是． 【典型例题十一 由幂函数的单调性解不等式】 1．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件求出的知，分析函数在上的单调性，由可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由已知条件可得，解得，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得. 故选：B. 2．（23-24高一上·新疆·期中）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入，解得，再利用幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知，，解得，， 故，其定义域为， 所以在上单调递减， 因为， 所以为偶函数， 所以， 所以由，得， 所以，所以或，解得，或． 故的取值范围为． 故选：D． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知求出幂函数的解析式，得出单调性后求解不等式． 【详解】由已知，所以， 又是正整数，故解得，即，函数定义域是， 易知是增函数， 所以由得， 解得， 故答案为：． 4．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义及单调性，求出参数，再借助单调性解不等式即得. 【详解】幂函数在上单调递减，则，解得， 不等式化为，显然函数在R上单调递增， 因此，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增 (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)且； (2)或. 【分析】（1）由幂函数的区间单调性有求参数范围，结合及对称性确定参数值，并写出解析式； （2）由偶函数的区间单调性有，两边平方并解一元二次不等式求参数范围. 【详解】（1）由幂函数在上单调递增知，又， 当或，为奇函数，关于原点对称，不合题设； 当，为偶函数，关于轴对称，符合； 综上，且. （2）由偶函数在上单调递增，则在上单调递减， 由，则， 所以，可得或. 【典型例题十二 由幂函数的单调性比较大小】 1．（2022高三·全国·专题练习）已知实数满足等式，给出下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤，其中可能成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】在同一坐标系中画出函数和的图象，由图得答案. 【详解】在同一坐标系中画出函数和的图象 如图所示： 由图可知在处；在处；在处； 在处；在两曲线的三个交点处均满足，所以①②⑤正确. 故选:C. 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知实数，若则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质，举特例可判断各个选项. 【详解】对于A，，即，，，，故A错误； 对于B，，即，，，而，故B错误； 对于C，由幂函数在R上是增函数，当时，有，故C正确； 对于D，，即，，，故D错误. 故选：C. 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）写出一个具有性质①②③的幂函数 ． ①是奇函数；②在上单调递增；③． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用幂函数的图象和性质，判断满足性质①②③的幂函数. 【详解】由幂函数的性质可知，同时满足性质①②③. 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）如果，，那么 ；如果，，那么 ；当时， ，其中，. 【答案】 【分析】由不等式性质判断前两空的大小关系；由幂函数的单调性判断最后一空的大小. 【详解】由，，同向相加符号不变，即； 由，则，又，故； 由，又且，在上递增，故. 故答案为： 5．（2023高一上·上海·专题练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）根据题意，结合幂函数的单调性，即可求解； （2）根据题意，结合函数的单调性，即可求解. （2）（1）解：由幂函数在定义域为单调递减函数， 因为，所以. （2）解：由幂函数的定义域为， 且在为单调递减函数，又由， 所以函数为奇函数，所以在为递减函数， 又因为，所以. 【变式训练1 判断函数是否是幂函数】 1．（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用幂函数定义直接判断作答. 【详解】函数是幂函数， 函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数， 所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）幂函数是指形如 的函数.其中为奇数时，幂函数为 （填奇偶性），为偶数时，幂函数为 （填奇偶性）.在第一象限中， （用与0的比较填空），则函数单调递增； （用与0的比较填空），则函数单调递减.幂函数必过定点 . 【答案】 奇函数 偶函数 【分析】利用幂函数的概念及性质解答即可. 【详解】略 3．（23-24高一·全国·课后作业）判一判：判断下列函数是否为幂函数. （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【答案】只有（3），（6）为幂函数 【分析】由幂函数的定义可知（1）（2）（4）（5）不是幂函数，只有（3）（6）为幂函数. 【详解】形如的函数叫幂函数. （1），当时，不是幂函数，所以该函数不是幂函数； （2），和幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （3），和幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数； （4），和幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （5），和幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （6），和幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数. 故只有（3），（6）为幂函数. 【点睛】本题主要考查幂函数的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 【变式训练2 求幂函数的定义域】 1．（23-24高一上·四川成都·期中）若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】函数，代入图像经过的点，求得的值，分析函数性质，选择函数图像. 【详解】设幂函数，因为图像经过点， 所以，解得，则此幂函数的表达式为． 幂函数，函数定义域为，在上单调递减， ，函数为偶函数，图像关于轴对称， 只有D选项符合. 故选：D 2．（22-23高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】利用给定的变量范围求解抽象函数定义域即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，解得，所以函数的定义域为． 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，结合函数定义域定义计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 【变式训练3 求幂函数的值】 1．（23-24高一上·浙江台州·期末）若幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点可求出解析式，即可求出答案. 【详解】由幂函数的图象过点，所以， 解得，故，所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京·期中）已知幂函数的图象过点，则 ， ． 【答案】 【分析】利用图象上的点求出幂函数解析式，再求函数值. 【详解】幂函数的图象过点，设， 则有，解得， 所以，. 故答案为：；. 3．（23-24高一上·江西·期中）已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，得到的值即可求出函数解析式，最后求函数值即可； （2）根据函数的定义域和单调性，得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）将代入可得，解得，故，所以； （2）因为在上单调递增，且， 所以，解得，即实数a的取值范围是. 【变式训练4 求幂函数解析式】 1．（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设幂函数，将点的坐标代入即可. 【详解】设幂函数，将点代入得，所以, 所以幂函数的解析式为. 故选：B. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【答案】 【分析】设，再代入求解即可. 【详解】设，由图像过点可得，解得. 故答案为： 3．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出函数解析式，代入点的坐标，求出函数解析式； （2）写出函数，利用换元法求解函数的值域即可. 【详解】（1）设，，， 则， 解得， 则，； （2）由（1）知，， 令，，则， 记， 当时，， 当或1时，， 故在上的值域为. 【变式训练5 根据函数是幂函数求参数值】 1．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可. 【详解】由题意有，可得，其定义域为R， 且，则函数为奇函数， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）若幂函数的图象不经过原点，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】由幂函数定义得，结合指数小于等于0即可求解. 【详解】由题可知，解得，舍去. 故答案为： 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求出m的值即可； （2）由（1）求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或． 当时，，则， ，则函数图象不关于轴对称，故舍去， 当时，则，定义域为，关于原点对称， 且，则此时为偶函数，图象关于轴对称， 故． （2） ， 因为， ， 故在上的值域为． 【变式训练6 幂函数有关的复合函数】 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：，则或， 所以函数的定义域为， 令，此函数在上递减，在上递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间是 故选：D. 2．（23-24高二下·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域. 【详解】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为． 故答案为： 3．（23-24高一·全国·课后作业）求函数的定义域，并指出其单调区间. 【答案】，增区间为，减区间为. 【解析】根据指数幂的运算公式化简函数的解析式，然后求出函数的定义域，然后利用函数的单调性的性质求出单调区间. 【详解】解：的定义域为，增区间为，减区间为. 【点睛】本题考查了函数的定义域和单调性，考查了函数单调性的性质，属于基础题. 【变式训练7 幂函数图象的判断及应用】 1．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的性质判断的大小即可得解. 【详解】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 3．（22-23高一·全国·课堂例题）若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，求当为何值时，有： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)当或时， (2)当或时， (3)当，且时， 【分析】（1）（2）（3）先利用待定系数法求出两幂函数的解析，然后在同一个坐标系作出两函数的图象，利用图象求解即可 【详解】（1）设，由点在幂函数的图象上，得， ∴，则， 令，由点在幂函数的图象上，得， ∴，则． 在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，如图所示．    观察图象可得，当或时，； （2）观察（1）中的图象可得，当或时， （3）观察（1）中的图象可得, 当，且时， 【变式训练8 判断一般幂函数的单调性】 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【详解】由题意结合图象可知. 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏镇江·期末）幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数满足的性质，即可写出答案. 【详解】由题意知幂函数满足性质：对定义域中任意的，有， 则函数为偶函数； 又函数满足对中任意的，都有， 可知函数为上的单调递减函数， 故满足题目中要求， 故答案为： 3．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知幂函数 (1)求的解析式； (2)若图象不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间. 【答案】(1)或 (2)减区间为和，无增区间. 【分析】（1）根据幂函数的定义计算的值，即可求出解析式； （2）根据幂函数图象特征确定幂函数，然后根据反比例函数性质得到单调区间； 【详解】（1）由题意可知，解得或， 当时，；当时，； 综上，或 （2）因为图象不经过坐标原点，所以， 由反比例函数性质知，函数的单调递减区间为和，无增区间. 【变式训练9 判断五种常见幂函数的奇偶性】 1．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则（    ） A．时，是偶函数 B．时，的值域为 C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A，当时定义域为， 且，所以为偶函数，故A正确； 对于B，当时，，则的值域为，故B错误； 对于C，当时，定义域为，函数不过点，故C错误； 对于D，当时，在上单调递增，故D错误； 故选：A 2．（23-24高一上·黑龙江·期末）已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则α的取值集合是 . 【答案】 【分析】首先由幂函数为单调递减函数，确定为负数，再分别代入的取值，判断函数是否为偶函数，即可确定的取值. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以， 当时，，定义域为， 又，故为偶函数，满足要求， 当时，，定义域为，又， 故为奇函数，舍去； 当时，，定义域为，故不为偶函数，舍去. 故答案为： 3．（23-24高一上·云南·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求的值和函数的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数单调性得到不等式，求出或2，结合函数的奇偶性得到的值和函数的解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性得到，结合定义域，求出不等式的解集. 【详解】（1）∵函数在上递减， ∴即， 又，∴或2， 又函数图象关于轴对称，故函数为偶函数， 当时，，此时为奇函数，舍去， 当时，，此时为偶函数，满足要求， ∴函数的解析式为. （2）不等式，函数是偶函数， 故不等式等价于. 因为函数在区间为减函数， 所以，两边平方得， 即，解得， 又因为，，即，， 所以. 【变式训练10 幂函数的单调性】 1．（22-23高一上·全国·阶段练习）已知幂函数上单调递增，则（   ） A．0 B．2 C．或 D．或2 【答案】A 【分析】根据幂函数定义以及其单调性，结合解析式，即可求得参数值. 【详解】因为幂函数上单调递增， 所以且，解得. 故选：A 2．（23-24高一上·山西运城·期末）已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为 ． 【答案】0 【分析】根据函数为幂函数可得，再结合幂函数的性质，即可确定m的值，即得答案. 【详解】因为函数为幂函数， 故，解得或， 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在上单调递减，不符合题意； 故实数m的值为0， 故答案为：0 3．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求； (2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断. 【详解】（1）由幂函数的概念可知，解得或， 又因为幂函数在单调递增，故，即； （2）为偶函数， 证明如下：定义域为R，， 故为偶函数. 【变式训练11 由幂函数的单调性解不等式】 1．（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得其为奇函数，且在上单调递增，可转化为，根据单调性即可求解. 【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得， 所以. 因为，所以为奇函数，且在上单调递增， 所以可化为， 可得，解得，所以的取值范围为. 故选:C. 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，分析该函数的定义域、奇偶性与单调性，根据可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】构造函数，该函数的定义域为， 且，即函数为奇函数， 因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数， 所以，函数为上的增函数， 由可得，可得，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性即可求得. （2）构造函数，根据其单调性即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以，即， 则（舍去），所以. （2）因为，，则， 因为在上单调递增，所以，则， 所以实数的取值范围为. 【变式训练12 由幂函数的单调性比较大小】 1．（23-24高三上·陕西汉中·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用不等式的性质和幂函数单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以，即， 又因为，，所以，所以，即， 综述： . 故选：B. 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知，则的大小关系为 . 【答案】 【分析】先对a，b，c分别进行平方，然后比较平方后的大小关系，从而得到a，b，c的大小关系. 【详解】由题意可得，，，可以比较得出 ，，又，，，由幂函数在 的单调性可知， 故答案为： 3．（23-24高一上·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据幂函数的单调性比较大小 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增，且， 所以， （2）因为幂函数在上单调递减，且， 所以. 1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 故选：A. 2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的特点即可求解. 【详解】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像. 故选：A. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】把的取值逐个代入检验可得答案. 【详解】当时，若恒成立，则，即， 由于，所以恒成立，此时符合题意； 当时，若恒成立，则，即， 由于，所以恒成立，此时符合题意； 当时，若恒成立，则，即， 由于，所以不成立，此时不符合题意； 当时，若，则，不满足，不合题意. 故选：C 4．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义与性质即可得解. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是减函数，则，即， 所以，此时，易知其为偶函数，符合题意. 故选：B. 5．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式组），解得即可. 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，解得. 故选：A 6．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 【答案】 （区间开闭均可） 【分析】根据偶函数的性质求出的值，再求出函数的定义域，由复合函数的单调性求出的单调递增区间. 【详解】因为函数是偶函数， 则，即，所以恒成立， 所以； 所以，则定义域为，又在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：；（区间开闭均可） 7．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】先由题意解出值，进而解出即可. 【详解】因为的图象经过点，则，则， 所以，所以. 故答案为：. 8．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 【答案】 【分析】结合幂函数定义与单调递增性质计算即可得. 【详解】由函数为幂函数且在内单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 9．（23-24高二下·全国·期末）已知满足和，当时，，则 【答案】 【分析】根据函数的周期性和奇偶性直接计算即可。 【详解】由知函数是周期函数，且周期为4， 所以，又，所以， 当时，，得，故. 故答案为： 10．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）若函数的定义域为，且，则实数的值为 【答案】1 【分析】利用函数的定义域求出的取值集合，再利用偶函数的特性求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，解得， 而，则，由，得函数为偶函数，因此， 所以实数的值为1. 故答案为：1 11．（22-23高一上·广东·阶段练习）已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合性质求出即可得解. （2）根据给定条件，利用偶函数的性质计算即得. 【详解】（1）由为幂函数，得，得或， 而为偶函数，则， 所以的解析式为. （2）由为偶函数且，得，即或， 所以或. 12．（23-24高一上·山东日照·期末）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式； （2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； （2），对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的概念与性质直接列式求解; （2）分离参数，利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 则，解得，故 （2）由（1）可知，对任意的恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，，因此，实数的取值范围是. 14．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)为奇函数，理由见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义求出可得答案； （2）为奇函数，利用奇函数的定义判断可得答案. 【详解】（1）依题意可得， 解得，所以； （2）为奇函数． 理由如下： 的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为奇函数． 15．（23-24高一上·天津·期末）若函数为幂函数，且在单调递减． (1)求实数的值； (2)若函数，且， （ⅰ）写出函数的单调性，无需证明； （ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)（ⅰ）在区间单调递增；（ⅱ） 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）（ⅰ）根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； （ⅱ）利用（ⅰ）的结论求解抽象不等式即得. 【详解】（1）由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1． （2）（ⅰ），在区间单调递增.证明如下： 任取，则， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. （ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增，又由可得： 则，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$