第13讲 函数的应用（一）（6大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第13讲 函数的应用（一）（6大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 一次函数模型的应用 题型二 二次函数模型的应用 题型三 分段函数模型的应用 题型四 利用对钩函数求最值或值域 题型五 利用对钩函数解决恒成立（能成立）问题 题型六 函数与方程的综合应用 知识点01．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 知识点02 一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 知识点03 二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 知识点04 ．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 知识点05 分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 知识点06 “对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【典型例题一 一次函数模型的应用】 1、（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程(km)与时间(min)的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当时，与的关系式为 2、（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校联考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（    ） A． B． C． D． 3、（2023·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是和，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点的横坐标为 __． 【典型例题二 二次函数模型的应用】 1．（23-24高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 2．（23-24高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·广西桂林·期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 4．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是 5．（23-24高一上·江西上饶·期末）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 【典型例题三 分段函数模型的应用】 1．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   2．（22-23高一上·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 3．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计 元. 5．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 【典型例题四 利用对钩函数求最值或值域】 1、（2023春·江苏镇江·高二统考期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 2、（2023·福建福州·高一校联考期中）定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有， 则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界． (1)写出一个定义在R上且，的函数解析式； (2)若函数在(0，1)上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围； (3)某同学在研究函数单调性时发现该函数在与具有单调性， ①请直接写出函数在与的单调性； ②若函数定义域为，是函数的下界，请利用①的结论，求的最大值. 3、（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设，是的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合到集合的“保序同构函数”. (1)写出集合到集合 且的一个保序同构函数（不需要证明）； (2)求证：不存在从整数集的到有理数集的保序同构函数； (3)已知存在正实数和使得函数是集合到集合的保序同构函数，求实数的取值范围和的最大值（用表示）. 【典型例题五 利用对钩函数解决恒成立（能成立）问题】 1、（2023·高一单元测试）已知函数 ． (1)写出函数的定义域及奇偶性； (2)请判断函数在上的单调性，并用定义证明在上的单调性； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 2、（2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）对于函数,存在实数,使,成立,则称为关于参数的不动点. (1)当,时,求关于参数1的不动点; (2)当,时,函数在上存在两个关于参数的相异的不动点,试求参数的取值范围; 3、（2023·广西玉林·高一统考期中）已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【典型例题六 函数与方程的综合应用】 1．（22-23高三上·安徽·期末）已知函数，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2022·全国·模拟预测）函数的值域（    ） A． B． C． D． 3．（2022高二下·浙江宁波·学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 4．（22-23高一上·四川内江·期中）已知函数满足， 若函数与图像的交点为，则它们的纵坐标之和等于 ． 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【变式训练1 一次函数模型的应用】 1、（2023·高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用(千元)､乙厂的总费用(千元)与印制证书数量(千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（    ） A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B．甲厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为 C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元 D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为 2、（2023·高一课时练习）若等腰三角形的周长为20，底边长是关于腰长的函数，则它的解析式为__________________. 【变式训练2 二次函数模型的应用】 1．（23-24高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 2．（23-24高一上·河南新乡·期末）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 3．（23-24高一上·全国·课后作业）某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量 (件)与售价 (元/件)之间的关系满足一次函数：x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为 元/件. 4．（23-24高一·全国·课后作业）统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表. 季度 1 2 3 4 每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95 某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为 . 5．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【变式训练3 分段函数模型的应用】 1．（22-23高三上·浙江·开学考试）某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价. 高峰时间段用电价格表： 高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 低谷时间段用电价格表： 低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付电费为（    ）元 A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过的，按每立方米元收费；用水超过的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 元. 5．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【变式训练4 利用对钩函数求最值或值域】 1、（2023·高一课时练习）现在网络购物方便快捷，得益于快递行业的快速发展，根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足，其中． (1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值； (2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益． 2、（2022秋·广东深圳·高一深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用为常数万元，计划生产并销售某种文化产品万件生产量与销售量相等已知生产该产品需投入成本费用万元不含促销费用，产品的促销价格定为元/件. (1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（注：利润销售额投入成本促销费用） (2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？ 【变式训练5 利用对钩函数解决恒成立（能成立）问题】 1、（2023·浙江·高一浙江省龙游中学校联考期中）设函数. (1)若的解集与不等式的解集相同，求函数的解析式； (2)令，当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式在区间上无解，试求､均为整数的所有的实数对. 2、（2023·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考期中）1.已知． (1)如果方程在有两个根，求实数的取值范围； (2)如果，成立，求实数的取值范围． 3、（2023·江苏连云港·高一校考期中）已知函数 (1)当时，求函数的值域； (2)解关于的不等式 (3)若对于任意的，均成立，求的取值范围． 【变式训练6 函数与方程的综合应用】 1．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于点A，B，点C为上一动点，过点C作于点D，过点D作轴，交y轴于点E，在直线上找一点F，使得，连接，当的值最小时，求点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西新余·期末）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ． 4．（23-24高三上·北京·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，． ；若对任意，都有，则的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. (1)分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 1．（22-23高一上·河北石家庄·期中）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．（2023·北京房山·一模）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 4．（23-24高一下·浙江衢州·阶段练习）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某段时间共加号汽油两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油元，第二种方式是每次加油升.我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（    ） A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．不确定 5．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 6．（23-24高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为： . 7．（23-24高一·全国·课后作业）若直线经过和两点，则不等式组的解集为 ． 8．（23-24高一·浙江杭州·期末）某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 ． 9．（23-24高一上·北京海淀·期中）若，，使得，则实数 ． 10．（22-23高三上·上海徐汇·期中）设是上的奇函数，，当 时, ,则当时，的图象与x轴所围成图形的面积= ． 11．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，其中是常数，． (1)判断函数的奇偶性，请说明理由； (2)若对任意，均有，求所有满足条件的实数的值． 12．（2024·全国·模拟预测）已知函数．    (1)画出的图象； (2)求不等式的解集． 13．（23-24高一上·河南·期中）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米． (1)求y关于x的函数； (2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明； (3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？ 14．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 15．（23-24高一上·山东青岛·期中）新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． (1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （销售利润=销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 16．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数（）在区间上的最大值比最小值大3，且. (1)求，的值； (2)当时，函数的图象恒在函数的图象下方，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 函数的应用（一）（6大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 一次函数模型的应用 题型二 二次函数模型的应用 题型三 分段函数模型的应用 题型四 利用对钩函数求最值或值域 题型五 利用对钩函数解决恒成立（能成立）问题 题型六 函数与方程的综合应用 知识点01．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 知识点02 一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 知识点03 二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 知识点04 ．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 知识点05 分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 知识点06 “对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【典型例题一 一次函数模型的应用】 1、（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程(km)与时间(min)的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当时，与的关系式为 【答案】BD 【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误； 由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确. 故选：BD 2、（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校联考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元, 则当时,元,不符合题意; 当时,,令,解得,符合题意； 当时,,不符合题意. 综上所述: 此户居民本月用水量为15. 故选：C. 3、（2023·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是和，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点的横坐标为 __． 【答案】6 【详解】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx， 为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，∴，解得m＝6，故点A的横坐标为6． 故答案为：6． 【典型例题二 二次函数模型的应用】 1．（23-24高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【详解】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 2．（23-24高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 3．（22-23高一上·广西桂林·期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 【答案】 【分析】根据总利润销售量每个利润．设售价为元，总利润为元， 则销售量为，每个利润为，表示总利润，然后根据函数性质求最大值． 【详解】设售价为元，总利润为元， 则， 当时，最大，最大的利润元； 即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元． 故答案为: . 4．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是 【答案】10 【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可. 【详解】由题意，设该厂月获利为元，则： ， 当工厂日获利不少于1 000元时，即， 即， 解得：. 故该厂日产量最少生产风衣的件数是10. 故答案为：10 5．（23-24高一上·江西上饶·期末）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元） 【分析】（1）由已知条件，根据销售收入和成本计算利润； （2）由利润的函数解析式，结合函数性质和基本不等式，求最大值. 【详解】（1）由题意可得， 所以. （2）当时，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为， 故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）. 【典型例题三 分段函数模型的应用】 1．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先分点P在AB上时，点P在BC上时，点P在CD上时求得函数，再利用函数的性质来判断． 【详解】点P在AB上时,； 点P在BC上时， ； 点P在CD上时，； 所以 画出分段函数的大致图象，如图所示． 故选：A． 2．（22-23高一上·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 【答案】B 【分析】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【详解】解：当时，设，则，解得 于是 设车流量为q，则 当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有； 当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当； 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B． 3．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，函数有最大值，所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量小于， 当当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于， 故答案为： 4．（23-24高一上·全国·课后作业）端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计 元. 【答案】 【分析】由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，元现金可送元购物券，，可获得元购物券，，又可获得元购物券，故可得结论. 【详解】由题意可知，，元现金可送元购物券， 把元购物券当作现金加上元现金可送元购物券， 再把元购物券当作现金加上元现金可获送元购物券， 所以最多可获赠购物券(元). 故答案为： 【点睛】本题考查合情推理，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题. 5．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元 【分析】（1）根据已知条件，分，两种情况讨论，即可求解． （2）当时，通过二次函数的配方法可得，取得最大值，当时，结合均值不等式公式可得，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）当时 ， 当时， ， 所以. （2）当时 ， 当时，取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当时，取得最大值， 综上，当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元． 【典型例题四 利用对钩函数求最值或值域】 1、（2023春·江苏镇江·高二统考期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 【答案】最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 【详解】设汽车以行驶时，开车时间为小时，则代驾费用为， 油耗为， 则总费用， ， 由对勾函数的性质知，函数在单调递减，在上单调递增， 因为，所以当时，取到最小值， 最小值为. 最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 2、（2023·福建福州·高一校联考期中）定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有， 则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界． (1)写出一个定义在R上且，的函数解析式； (2)若函数在(0，1)上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围； (3)某同学在研究函数单调性时发现该函数在与具有单调性， ①请直接写出函数在与的单调性； ②若函数定义域为，是函数的下界，请利用①的结论，求的最大值. 【答案】(1)（答案不唯一，如） (2) (3)①为减函数，为增函数；②   【详解】（1），的值域为，的一个上界为，的一个下界为. 答案不唯一，如，的值域为，的一个上界为，的一个下界为. （2）依题得对任意，恒成立， ，，令在为单调递减 ， ，， 实数的取值范围为. （3）①由对勾函数的性质知，在为减函数， 为增函数 ②，由①知，在为减函数，在 为增函数， 当即时，由①知为减函数， ，m是的一个下界，，                 当即，由①知为增函数， ，m是的一个下界，                         当即，， 当且仅当时等号成立， m是的一个下界， .              综上所述： , 3、（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设，是的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合到集合的“保序同构函数”. (1)写出集合到集合 且的一个保序同构函数（不需要证明）； (2)求证：不存在从整数集的到有理数集的保序同构函数； (3)已知存在正实数和使得函数是集合到集合的保序同构函数，求实数的取值范围和的最大值（用表示）. 【答案】(1) (2)见解析 (3)，的最大值为 【详解】（1） （2）假设存在一个从集合到集合的“保序同构函数”， 由“保序同构函数”的定义可知，集合和集合中的元素必须是一一对应的， 不妨设整数0和1在中的像分别为和， 根据保序性，因为， 所以， 又也是有理数，但是没有确定的原像， 因为0和1之间没有另外的整数了， 故假设不成立，故不存在从集合到集合的“保序同构函数”； （3）， 若是集合到集合的保序同构函数，则在单调递增，且 当 时，即，函数单调递增，且，则单调递减，这与 均为单调递增函数，则单调递增相矛盾，故不成立，舍去， 当时，由对勾函数性质可知：当时，单调递增，当 时，单调递减，且当时，取最小值 ，因此在单调递增， 所以是到集合的保序同构函数，则 ，此时 当时， ，不满足是到集合的保序同构函数， 综上，，的最大值为 【典型例题五 利用对钩函数解决恒成立（能成立）问题】 1、（2023·高一单元测试）已知函数 ． (1)写出函数的定义域及奇偶性； (2)请判断函数在上的单调性，并用定义证明在上的单调性； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为，奇函数 (2)单调递减，证明见解析 (3) (1) 函数的定义域为， 因为，所以为奇函数； (2) 在内单调递减． 下面证明：任取且， ， 因为，所以，所以 因为，即． 因此，函数在上是单调减函数； (3) 由得恒成立． 由知，函数在为减函数    当取得最小值 因此，实数a的取值范围是． 2、（2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）对于函数,存在实数,使,成立,则称为关于参数的不动点. (1)当,时,求关于参数1的不动点; (2)当,时,函数在上存在两个关于参数的相异的不动点,试求参数的取值范围; 【答案】(1)和3 (2) (3) 【详解】（1）当时, 令,可得即 解得或 当时,关于参数1的不动点为和3 （2）由已知得在,上有两个不同解, 即在,上有两个不同解, 令, 所以, 解得:． 3、（2023·广西玉林·高一统考期中）已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (1)由， ∴，∴. (2)由 ， 即：， 又因为：，∴， 令，则：， 又在为减函数，在为增函数. ∴，∴，即：. 【典型例题六 函数与方程的综合应用】 1．（22-23高三上·安徽·期末）已知函数，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由可得的周期为6，则根据周期可转化为，再由可得，将代入函数即可求解. 【详解】因为当时，， 所以， 即， 所以， 所以． 故选：D． 2．（2022·全国·模拟预测）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化简为，求出的值域，进而可求得的值域. 【详解】解：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D． 3．（2022高二下·浙江宁波·学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 【答案】 【分析】根据题意可得函数，利用基本不等式求解. 【详解】由题意及，可得，即， ∴． 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元）， 当且仅当，即（厘米）时达到最小值． 故答案为: . 4．（22-23高一上·四川内江·期中）已知函数满足， 若函数与图像的交点为，则它们的纵坐标之和等于 ． 【答案】4044 【分析】由函数则函数关于点对称，知函数关于点对称，又也关于点对称，关于点对称性即可求出纵坐标之和. 【详解】函数满足知， 函数关于点对称， 又也关于点对称 故函数与图像的交点也关于点对称 所以成对出现，且关于点对称 所以 故答案为：4044. 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【答案】(1)这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； (2)当运转3年时，这批机器的年平均利润最大 【分析】（1）配方得到最值，得到答案； （2）设出年平均利润为，表达出，利用基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）， 因为，且，所以当时，取得最大值， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； （2）设年平均利润为， 因为，且，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大. 【变式训练1 一次函数模型的应用】 1、（2023·高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用(千元)､乙厂的总费用(千元)与印制证书数量(千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（    ） A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B．甲厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为 C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元 D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为 【答案】ABCD 【详解】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确； 设甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为， 代入点，可得，解得， 所以甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，故B正确； 当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确； 设当时，设与之间的函数关系式为 代入点，可得，解得， 所以当时，与之间的函数关系式为，故D正确. 故选：ABCD. 2、（2023·高一课时练习）若等腰三角形的周长为20，底边长是关于腰长的函数，则它的解析式为__________________. 【答案】 【详解】由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x. ∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10. 又∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即，解得x>5， ∴5<x<10， 故所求函数的解析式为. 故答案为： 【变式训练2 二次函数模型的应用】 1．（23-24高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【答案】D 【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【详解】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 2．（23-24高一上·河南新乡·期末）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 【答案】B 【分析】先建立二次函数模型，再由二次函数的性质求解 【详解】设灯具商店每月的利润为z元， 则， ， 故选：B 3．（23-24高一上·全国·课后作业）某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量 (件)与售价 (元/件)之间的关系满足一次函数：x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为 元/件. 【答案】 【分析】由题意可得：设每天的销售利润为元，则 即可得每天获得最大的销售利润时该商品的售价. 【详解】设每天获得的销售利润为元， 则， 所以当时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为元/件. 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，涉及二次函数求最值，属于基础题. 4．（23-24高一·全国·课后作业）统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表. 季度 1 2 3 4 每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95 某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为 . 【答案】20 【分析】根据题意，求得表中各售价差的平方和的表达式，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，设 ， 由二次函数的性质，可得当时，取得最小值， 即实数的值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 5．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【答案】(1) (2)第三年 【分析】（1）根据题意，即可得出函数； （2）由，得出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. （2）当时，开始盈利， 即，整理可得， 解得. 又，所以，即从第三年开始盈利. 【变式训练3 分段函数模型的应用】 1．（22-23高三上·浙江·开学考试）某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价. 高峰时间段用电价格表： 高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 低谷时间段用电价格表： 低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付电费为（    ）元 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表中数据分段求解电费即可. 【详解】高峰时段电费为元， 低谷时段电费为元， 共计元. 故选：D 2．（23-24高一·全国·课后作业）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过的，按每立方米元收费；用水超过的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出用水量与电费发函数关系，再解方程. 【详解】设该职工用水时，缴纳的水费为元，由题意得， 则，解得. 答：该职工这个月实际用水为. 故选：A 【点睛】解应用题关键是找出变量之间的关系，列方程求解未知量. 3．（23-24高一·全国·课后作业）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是 . 【答案】200 【分析】根据题意，列出分段函数，分段求最值，即可得到结论． 【详解】解：由题意， 时，， 时，； 时，， 天时，总利润最大为10000元 故答案为：200． 【点睛】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题． 4．（23-24高一·全国·课后作业）某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 元. 【答案】60 【解析】设涨价x元，销售的利润为y元，从而可得，配方即可求得. 【详解】设涨价x元，销售的利润为y元， 则， 当，即销售单价为60元时，y取得最大值. 故答案为：60 【点睛】本题考查了二次函数的模型，同时考查了二次函数的最值，属于基础题. 5．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】(1) (2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）根据题意得， 当时，， 当时，， 故 （2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时． 当时，，当且仅当时，等号成立． 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片． 【变式训练4 利用对钩函数求最值或值域】 1、（2023·高一课时练习）现在网络购物方便快捷，得益于快递行业的快速发展，根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足，其中． (1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值； (2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益． 【答案】(1)4 (2)7分钟时，280（元） 【详解】（1）当时，，不满足题意，舍去， 当时，，即． 解得（舍）或． 且，． 所以发车时间间隔为4分钟． （2）由题意可得 当时，（元） 当时，（元） 所以发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280（元）． 2、（2022秋·广东深圳·高一深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用为常数万元，计划生产并销售某种文化产品万件生产量与销售量相等已知生产该产品需投入成本费用万元不含促销费用，产品的促销价格定为元/件. (1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（注：利润销售额投入成本促销费用） (2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元；当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元. 【详解】（1）由题意得，； （2）由（1）得，， ， ，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的性质可知： 当时，在上单调递增， ∴当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 综上所述，当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元； 当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元. 【变式训练5 利用对钩函数解决恒成立（能成立）问题】 1、（2023·浙江·高一浙江省龙游中学校联考期中）设函数. (1)若的解集与不等式的解集相同，求函数的解析式； (2)令，当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式在区间上无解，试求､均为整数的所有的实数对. 【答案】(1) (2) (3)， (1)解： 的解集是 的两个根为2和3，则解得， 故 (2)解：令，则 当时，恒成立，即恒成立，由 故， 因为对勾函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减，， 所以. (3)解：若不等式在区间上无解，则必须满足 即得， 函数图象的对称轴在区间上 还需满足，即 于是，又， 当时，不存在； 当时，同理得或4；当时，c不存在 综上可知：满足条件的实数对有，. 2、（2023·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考期中）1.已知． (1)如果方程在有两个根，求实数的取值范围； (2)如果，成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (1)的对称轴为 要想方程在有两个根，需要满足 解得： (2)，成立， 即在上有解，只需大于的最小值，其中为对勾函数，在上单调递增，在上单调递减，又，，所以最小值为 故，解得：，实数的取值范围为 3、（2023·江苏连云港·高一校考期中）已知函数 (1)当时，求函数的值域； (2)解关于的不等式 (3)若对于任意的，均成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)具体见解析； (3). 【详解】（1），所以函数的值域为. （2）由题意，， 若a=0，则不等式的解集为； 若a>0，则不等式的解集为； 若a<0，则不等式的解集为. （3）问题等价于对x∈[2，+∞)恒成立，即对x∈[2，+∞)恒成立. 设，图象如图： 所以，的最小值为. 于是，. 【变式训练6 函数与方程的综合应用】 1．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于点A，B，点C为上一动点，过点C作于点D，过点D作轴，交y轴于点E，在直线上找一点F，使得，连接，当的值最小时，求点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数形结合，这里面有两个等腰直角三角形，再结合几何意义就能找到最小值点. 【详解】 解：过点D作于点M，延长交y轴于N，如图所示： ∵一次函数与坐标轴交于点， 于，设，则， 延长交y轴于N， ， 当时，则，此时，取到最小值， ，∴此时，解得， 是的中点，轴，， 故选：B． 2．（23-24高一上·江西新余·期末）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化为一元二次方程在给定的区间上有解，求参数的取值范围. 【详解】设为奇函数，且当时，，则时，. 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据“隐对称点”的概念，把函数位于轴左侧的图象关于原点对称后，必与函数位于轴右侧的图象有公共点，从而转化为二次函数在给定区间上有零点的问题解决是该问题的关键.属于中档题. 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ． 【答案】 【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案. 【详解】函数，在上单调递增，所以， 当时，在区间上单调递增，， 所以，解得， 又因为，所以，解得； 当时，在区间上单调递增，其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，在上单调增， 其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，， 此时，无解； 所以的取值范围是， 故答案为：. 4．（23-24高三上·北京·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，． ；若对任意，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】结合函数满足的性质以及当时，，即可求得；利用函数的性质推得其解析式，作出其大致图象，数形结合，求解不等式，即可确定的取值范围. 【详解】由题意得； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ， 故由得， 由此作出函数的大致图象如图：    当时，令，解得或， 结合图象解不等式，可得或， 由于对任意，都有，故， 故答案为：， 5．（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. (1)分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每台型挖掘机一小时挖土30立方米，每台型挖据机一小时挖土15立方米 (2)型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元 【分析】（1）设每台A型，B型挖据机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意列出方程组，解答即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． 【详解】（1）设每台型，型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米，根据题意，得 ，解得. 所以，每台型挖掘机一小时挖土30立方米， 每台型挖据机一小时挖土15立方米. （2）设型挖掘机有台，总费用为元，则型挖据机有台.根据题意，得， 因为，解得， 又因为，解得， 所以. 所以，共有三种调配方案. 方案一：当时，，即型挖据机7台，型挖掘机5台； 案二：当时，，即型挖掘机8台，型挖掘机4台； 方案三：当时，，即型挖掘机9台，型挖掘机3台. ，由一次函数的性质可知，随的减小而减小， 当时，， 此时型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元. 1．（22-23高一上·河北石家庄·期中）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用函数奇偶性定义易得函数奇偶性，对于函数单调性判断，可以通过函数图象进行判断，或者等价转化简化函数解析式，再进行判断. 【详解】 对于项，为奇函数，不符合题意，故A项错误； 对于B项，为偶函数，在上单调递减，不符合题意，故B项错误； 对于C项，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意，故C项正确； 对于D项，为奇函数，不符合题意，故D项错误. 故选：C． 2．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由一次函数的图象可得：，，然后判断二次函数的图象即可. 【详解】由一次函数的图象可知：，， 所以二次函数的图象开口向下， 且对称轴为：， 故选：D. 3．（2023·北京房山·一模）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，两边同时取自然对数并整理， 得，， 则，则给氧时间至少还需要小时 故选： B 4．（23-24高一下·浙江衢州·阶段练习）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某段时间共加号汽油两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油元，第二种方式是每次加油升.我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（    ） A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．不确定 【答案】A 【分析】设第一次的油价为，第二次的油价为，且，计算出两种加油方式的平均油价，比较大小后可得出结论. 【详解】设第一次的油价为，第二次的油价为，且, 第一种加油方式的平均油价为， 第二种加油方式的平均油价为， 因为，则， 因此，更经济的加油方式为第一种. 故选：A. 5．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 6．（23-24高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为： . 【答案】， 【分析】根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长，从而便可得到总造价与的解析式. 【详解】根据条件，该蓄水池的总造价元，池底一边的长度米，底面另一边长为米, ∴长方体的底面积为16，侧面积为，由题意得： ，, 故答案为：，. 7．（23-24高一·全国·课后作业）若直线经过和两点，则不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】将A、B两点坐标代入直线方程，求出k、b的值，再将k、b的值代入不等式组，解得即可. 【详解】因为直线经过和两点，所以 解得则不等式组可化为，解得 . 故答案为： 8．（23-24高一·浙江杭州·期末）某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 ． 【答案】. 【解析】设每件售价元时，售出件，用待定系数法即可求解，注意函数的定义域. 【详解】解：设每件售价元时，售出件，设， 因为，所以①， 因为，所以②， 解由①②组成的方程组得，，所以. 由. 故答案为：. 9．（23-24高一上·北京海淀·期中）若，，使得，则实数 ． 【答案】 【分析】由，转化为，再根据的取值范围可确定的取值范围，然后结合，分别讨论的范围，列出不等式组即可求解. 【详解】由，得，则该函数在和上均为单调递减函数， 又因为， 则当时，有，又，则有：，解得：； 当时，有，由，显然，所以不符合题意； 当时，有，又，则此时为的子集，显然不成立，故此时没有实数解； 当时，有，由，显然，所以不符合题意； 当时，有，又，得：，此时没有实数解； 综上所述，实数. 故答案为：. 10．（22-23高三上·上海徐汇·期中）设是上的奇函数，，当 时, ,则当时，的图象与x轴所围成图形的面积= ． 【答案】4 【分析】由可得 是以 4 为周期的周期函数,再结合奇函数的性质即可推导出函数 的图象关于直线 对称，结合函数图像即可得出结论. 【详解】由 得, 所以 是以 4 为周期的周期函数, 由 是奇函数且 , 得 , 即 . 故知函数 的图象关于直线 对称. 又当 时, , 且 的图象关于原点成中心对称, 则 的图象如图所示：    当 时, 的图象与轴围成的图形面积为 , 则  . 故答案为：4. 11．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，其中是常数，． (1)判断函数的奇偶性，请说明理由； (2)若对任意，均有，求所有满足条件的实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用以及求得的值，从而得到函数为奇函数或偶函数时的取值； （2）先求出，把原不等式转化，然后对的值进行分类讨论，再分离参数，从而可确定实数的值. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为，关于原点对称， 因为，， ， 由，得，即， 所以，解得； 由，得，即， 所以，解得； 所以当时，函数为奇函数；当时，函数为偶函数；当且时，函数为非奇非偶函数. （2）因为， 所以可转化为，即， 又因为，所以，则： 当时，，则由可得， 又因为当时，，所以，即； 当时，则由可得，故； 当时，，则由可得， 又因为当时，，所以，即； 综上所述，若对任意，均有，则满足条件的实数的值为. 12．（2024·全国·模拟预测）已知函数．    (1)画出的图象； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】根据绝对值的定义去绝对值，然后画出函数的图象，解绝对值不等式即可； 【详解】（1）由题知，，① 作出 的图象如图所示．②    （2）由题知， 或或，③ 解得，原不等式的解集为 13．（23-24高一上·河南·期中）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米． (1)求y关于x的函数； (2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明； (3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？ 【答案】(1) (2)判断在其定义域单调递减;证明见解析 (3)设计展牌的长为6和宽为2 【分析】（1）注意函数的定义域即可； （2）利用定义法证明单调性即可； （3）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）宽为x米、长为y米的长方形展牌，所以面积为：， ， 其中,, 故即. （2）判断在其定义域单调递减， 任取则， 因为所以， 所以在其定义域单调递减. （3）展牌的周长即. 当且仅当，时，等号成立. 此时. 所以设计展牌的长为6和宽为2，才能使展牌的周长最小，最小值为16. 14．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一； （2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值. 【详解】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 . 所以年利润. （2）由（1）当时， （百辆）时（万元）， 当时， 当且仅当（百辆）时，等号成立， 因为2820万元万元, 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 15．（23-24高一上·山东青岛·期中）新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． (1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （销售利润=销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【答案】(1)； (2)当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元 【分析】（1）分、分别求解即可； （2）根据、及二次函数、基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，． 所以； （2）解：当时，， 当时，y取得最大值，最大值为500万元； 当时，， 当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为560万元． 综上，当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元 16．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数（）在区间上的最大值比最小值大3，且. (1)求，的值； (2)当时，函数的图象恒在函数的图象下方，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质，得到可得在上单调递减，求得函数的最大值和最小值，列出方程，求得，进而求得的值，得到答案； （2）根据题意，转化为在上恒成立，设，设函数，结合二次函数的性质，得到函数最大值，即可求解. 【详解】（1）解：由， 所以表示开口向上，且对称轴的抛物线， 可得函数在上单调递减， 所以， 又由，可得，解得， 所以，可得，即. （2）解：由题意，可得在上恒成立， 即在上恒成立， 设，设，开口向上，对称轴， 所以，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$