2024年高二下学期期末数学押题卷04-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

2024年高二下学期期末数学押题卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前年的数据为，    ，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为（    ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 2．甲、乙、丙3人准备前往A，B，C，D这4个景点游玩，其中甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，若每个人都至少选择1个景点但不超过3个景点游玩，则3人可组成的不同的游玩组合有（    ） A．735种 B．686种 C．540种 D．465种 3．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 4．篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．25 B．40 C．45 D．80 6．已知红箱内有5个红球和3个白球，白箱内有3个红球和5个白球，所有小球形状大小完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去.记第次取出的球是白球的概率为，则（    ） A． B． C． D． 7．的展开式中常数项为（    ） A．544 B．559 C．495 D．79 8．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校计划在校本课程中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（    ） A．课程“礼”不排在第一天和最后一天的不同排法共有480种 B．课程“射”必须排在课程“数”前面的不同排法共有360种 C．课程“乐”、“射”相邻的不同排法共有120种 D．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有144种 10．下列说法正确的是（ ） A．已知随机变量，若，则 B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C．已知，则 D．从一批含有10件正品､4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）． A．若在R上单调递增，则 B．若，则过点能作两条直线与曲线相切 C．若有两个极值点，，且，则a的取值范围为 D．若，且的解集为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则的最小值为 . 13．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学不排在下午，体育不排在上午第一、二节和下午第一节，艺术不排在上午，不同排法种数为 （用数字作答）. 14．某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知数列是等差数列，其前n和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)数列满足求数列的前项和. 16．某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 (1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ (2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17．某高校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为； (1)记甲同学前两天去东阅览室的总天数为X，求X的分布列及数学期望； (2)如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由． 18．2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源，除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外，可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发，现对近10年的年技术创新投入和每件产品成本（，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图，    并计算得：，，，，. (1)根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程； (2)已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?（注：年利润年销售额年投入成本） 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 19．已知函数． (1)讨论的单调性; (2)设函数，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二下学期期末数学押题卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前年的数据为，    ，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为（    ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】D 【分析】根据样本中心点求得，进而求得预测值. 【详解】，， 所以，所以， 当时，亿元. 故选：D 2．甲、乙、丙3人准备前往A，B，C，D这4个景点游玩，其中甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，若每个人都至少选择1个景点但不超过3个景点游玩，则3人可组成的不同的游玩组合有（    ） A．735种 B．686种 C．540种 D．465种 【答案】B 【分析】先确定甲乙的选择，再确定丙的选择利用分步计数原理和组合知识可求答案. 【详解】因为甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩， 所以两人可以从B，C，D这3个景点中，选择1个，2个或3个去游玩， 两人的选择方法均为：（种）； 而丙的选择方法有：（种）； 所以3人可组成的不同的游玩组合有：（种）. 故选：B. 3．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【分析】根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案． 【详解】由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为， 又由，则，则， 则， 故选：A． 4．篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据给定条件，列出分布列，再利用期望、方差定义计算作答. 【详解】依题意，的分布列为： 0 1 0.2 0.8 因此. 故选：D 5．已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．25 B．40 C．45 D．80 【答案】B 【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故选：B 6．已知红箱内有5个红球和3个白球，白箱内有3个红球和5个白球，所有小球形状大小完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去.记第次取出的球是白球的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知第次取出白球，包括“第取出是红球”和“第次取出是白球”两种情况，然后根据独立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意可知在红箱内取到红球的概率为，取到白球的概率为，在白箱内取到红球的概率为，取到白球的概率为， 第次取出白球，包括“第取出是红球”和“第次取出是白球”两种情况， 第次取出的球是白球的概率为，则第次取出的球是红球的概率为， 所以， 故选：A 7．的展开式中常数项为（    ） A．544 B．559 C．495 D．79 【答案】B 【分析】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号中每个括号提供哪些项，分三种情况解决即可. 【详解】展开式中的常数项分三种情况： 第一种，六个括号都提供，此时得到； 第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号提供，此时得到； 第三种，六个括号中两个括号提供，四个括号提供，此时得到， 所以展开式的常数项为， 故选：B. 8．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围. 【详解】设，， 所以函数在上为增函数． 由的定义域为可知，得， 将不等式整理得，即， 可得在上恒成立，即在上恒成立； 令，其中，所以 ，令，得． 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，即 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校计划在校本课程中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（    ） A．课程“礼”不排在第一天和最后一天的不同排法共有480种 B．课程“射”必须排在课程“数”前面的不同排法共有360种 C．课程“乐”、“射”相邻的不同排法共有120种 D．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有144种 【答案】ABD 【分析】根据特殊元素优先安排的方法，即可判断A；根据顺序一定问题的排法，即可判断B；根据捆绑法和插空法，即可判断CD. 【详解】A.“礼”不排在第一天和最后一天，则排在中间4天中的1天，所以不同排法有，故A正确； B.顺序一定问题，不同的排法种数为，故B正确； C.相邻问题，采用捆绑法，不同的排法种数为，故C错误； D.不相邻问题，采用插空法，不同的排法种数为，故D正确. 故选：ABD 10．下列说法正确的是（ ） A．已知随机变量，若，则 B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C．已知，则 D．从一批含有10件正品､4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 【答案】BC 【分析】对于A，利用二项分布的数学期望和方差的公式即可判断；对于B，根据古典概型的概率公式及排列组合知识即可判断；对于C，利用排列数和组合数的计算即可判断；对于D，利用超几何分布的概率即可判断. 【详解】对于A：根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，故A错误； 对于B：两位男生和两位女生随机排成一列共有（种）排法；两位女生不相邻的排法有（种），故两位女生不相邻的概率是，故B正确； 对于C：由，得，解得，故C确； 对于D：设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布， 所以，故D错误． 故选：． 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）． A．若在R上单调递增，则 B．若，则过点能作两条直线与曲线相切 C．若有两个极值点，，且，则a的取值范围为 D．若，且的解集为，则 【答案】AC 【分析】A.由导数和单调性的关系，转化为恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解；B.首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程，转化为关于切点的方程有2个实数根，利用导数以及零点存在性定理，即可判断；C.转化为导函数有2个零点，利用数形结合，即可求解；D.首先求解不等式，再将转化为关于的式子，即可求解. 【详解】对于A，对求导得：， 因为函数在R上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，记，则， 因为，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此，函数在处取得最大值，所以，即，故选项A正确； 对于B，时，，， 设图象上一点，则， 故过点的切线方程为， 将代入上式得，整理得， 构造函数，则， 构造函数，则， 令得，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以函数单调递增， 又，， 即方程在区间仅有一解，从而在R上也仅有一解， 所以过点只能作一条直线与曲线相切，B选项错误； 对于C，因为函数有两个极值点，， 所以有两个零点，，即方程有两个解为，， 记，因为， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此，函数在处取得最大值， 方程有两个解为，等价于与图像有两个不同公共点， 所以，所以，C选项正确； 对于D，由，得，等价于，即， 当时，，，又，故，所以， 当时，，无解， 故的解集为， 此时， 当时，，，从而D错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：本题前3个选项都是利用导数解决函数问题，尤其是BC选项，属于函数零点问题，B选项转化为判断零点各数，C选项是已知零点个数，求参数的取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据正态曲线的对称性求得，再由，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：因为随机变量，且， 所以，则， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 13．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学不排在下午，体育不排在上午第一、二节和下午第一节，艺术不排在上午，不同排法种数为 （用数字作答）. 【答案】96 【分析】可分体育排在下午和上午两类情况，结合特殊元素优先法进行排列计算即可． 【详解】可分体育排在下午和上午两类情况： ①若体育排在上午：先排体育，有2种方法，后排数学，有3种方法，再排艺术，有2种方法，最后再排其它3科，有种方法, 故体育排在上午的不同排法种数为； ②若体育排在下午：先排体育，有1种方法，后排艺术，有1种方法，最后再排其它4科，有种方法, 故体育排在下午的不同排法种数为； 故不同排法种数为. 故答案为: 96. 14．某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为 . 【答案】 【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算可得. 【详解】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件， 设学生答对试题为事件，则，，， ，，， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知数列是等差数列，其前n和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)数列满足求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量相关运算直接得到的通项公式，结合已知等式令得到第二个等式，两式相减并验证的情况得到的通项公式； （2）先写出通项公式，再结合裂项相消法、等比公式求和公式，运用分组求和的方法求解答案. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d， 因为，， 所以，即， 解得，所以 ① 当时，②，   可得，，，所以，    当时，适合， 所以 （2）由（1）可得，n为奇数时，， n为偶数时，.      16．某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 (1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ (2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)能 (2) 【分析】（1）计算出，与的临界值比较，得出结论； （2）根据条件概率的计算公式，利用样本数据，估计的值. 【详解】（1）零假设为：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得 ， 根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关. （2）表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据，则有，， 所以， 则估计的值为. 17．某高校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为； (1)记甲同学前两天去东阅览室的总天数为X，求X的分布列及数学期望； (2)如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析， (2)第一天去西阅览室的可能性更大，理由见解析 【分析】（1）设“第i天去东阅览室”，“第j天去西阅览室”， 则与对立，与对立，由题意得，，然后根据独立事件的乘法公式耱出相应的概率，从而可求得X的分布列及数学期望， （2）先利用全概率公式求出甲同学第二天去西阅览室的概率，然后利用条件概率公式求出甲同学第二天去西阅览室的条件下，第一天分别去两个阅览室的概率，比较可得答案. 【详解】（1）设“第i天去东阅览室”，“第j天去西阅览室”， 则与对立，与对立 由题意得， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 所以 （2）由全概率公式得 所以 所以  所以 所以如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去西阅览室的可能性更大 18．2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源，除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外，可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发，现对近10年的年技术创新投入和每件产品成本（，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图，    并计算得：，，，，. (1)根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程； (2)已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?（注：年利润年销售额年投入成本） 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】(1) (2)当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值 【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程； （2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值． 【详解】（1）令，则y关于u的线性回归方程为，   由题意可得，   ，   则，      所以，y关于x的回归方程为. （2）由可得，     年利润，   当时，年利润M取得最大值，此时，   所以，当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值 19．已知函数． (1)讨论的单调性; (2)设函数，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】(1)求导，用导数研究函数的单调性； （2）恒成立问题，分离参数得到，令，则. 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，，函数在上单调递减； ②当时，令，得， 函数在上单调递增； 令，得， 函数在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数单调递增区间为， 单调递减区间为． （2）因为函数，对任意，不等式恒成立， 等价于对任意，恒成立． 令， 则， 令，则 若，则，在上单调递增， 若，则，在上单调递减， 所以． 又因为，， 所以有两个实根，且，． 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数有两个极小值点为． 因为是的根，所以，即， 所以函数的一个极小值为 ． 同理，函数的另一个极小值为， 所以， 所以若对任意，不等式恒成立，则． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$