2024年高二下学期期末数学押题卷03-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

2024年高二下学期期末数学押题卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 3．设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A． B． C．253 D．126 5．四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识.每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．30种 C．36种 D．72种 6．已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 7．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为 C． D．有两个零点，且 11．下列说法中正确的是（    ） 附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A．已知离散型随机变量，则 B．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158 C．若，则事件与相互独立 D．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据的独立性检验可得：变量与独立，这个结论错误的概率不超过0.05 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随机变量服从正态分布，若，则 ． 13．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是 . 14．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 (1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ (2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为， (1)求的通项公式及； (2)设，为数列的前项和，求. 17．已知函数 . (1)讨论的单调性； (2)已知函数， 若 恒成立，求的取值范围. 18．研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差x（℃） 4 7 8 9 14 12 新增就诊人数y（位） 参考数据：，． (1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值； (2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）． 参考公式：，． 19．“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二下学期期末数学押题卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小 【详解】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关， 囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1， 所以， 故选：A 2．在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解. 【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，， 剔除两对数据后的平均数分别为，， 因为， 所以，， 则， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：C. 3．设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推关系求出，根据与其前项和的关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式即可求解. 【详解】由，，得,即，解得. 因为，所以， 两式相减得，即. 又，，所以， 所以是首项为2，公比为3的等比数列， ∴，． 故选:D. 4．若，则的值为（    ） A． B． C．253 D．126 【答案】C 【分析】先令，求得，再利用通项公式求得求解. 【详解】解：令， 得， ， ∴. 故选：C. 5．四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识.每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．30种 C．36种 D．72种 【答案】C 【分析】将四名志愿者分成三个组，其中一组为2人，再由排列组合知识求解. 【详解】不同的安排方法共有种. 故选：C 6．已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】C 【分析】根据进行求解. 【详解】设高三（1）班有51名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生组成的集合为A， 参加径赛项目的学生组成的集合为， 由题意集合A有17个元素，有22个元素，中有9个元素， 其中， 所以有个元素. 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：C. 7．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由已知可得为上的增函数，从而可得恒成立，参变分离可求的取值范围. 【详解】根据 可知， 令， 可得为上的增函数， 所以恒成立，分离参数得， 而当时，， 当且仅当，即时取等号，故最大值为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 8．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， 所以设爬行后小虫一共向前爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB，的分布列为 … … … … 所以，所以A正确， 因为 ， 所以 ，所以B正确， 对于C，因为， 所以，所以，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据题意得到相应概率，从而得解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 10．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为 C． D．有两个零点，且 【答案】BCD 【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D． 【详解】由题意，， 对于选项A，易知且，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C正确， 对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增， 因为， ， 所以，使得， 又因为，则，结合选项C，得， 即也是的零点，则，，故，故选项D正确， 故选：BCD. 11．下列说法中正确的是（    ） 附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A．已知离散型随机变量，则 B．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158 C．若，则事件与相互独立 D．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据的独立性检验可得：变量与独立，这个结论错误的概率不超过0.05 【答案】BC 【分析】A选项，根据二项分布的方差公式和方差的性质进行计算； B选项，根据百分位数的定义进行计算； C选项，根据对立事件的概率和事件独立的条件进行判断； D选项，根据独立性检验的标准进行判断. 【详解】对于A：根据二项分布的方差公式，可得， ∴，∴A错误； 对于B：，根据百分位数的定义， 这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B正确； 对于C：∵，∴，∴， 根据事件独立性的定义可知，事件与相互独立，∴C正确； 对于D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知， 依据的独立性检验，可得变量与相互独立， 即认为变量与不相互独立，犯错误的概率大于0.05小于0.1，∴D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随机变量服从正态分布，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合，即可求解. 【详解】随机变量服从正态分布，可得正态分布曲线关于对称， 因为，可得， 所以. 故答案为：. 13．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是 . 【答案】/ 【分析】根据，可得，再根据组合数的性质，计算即可得出答案. 【详解】根据题意可得， 因为 ， 即，所以. 故答案为：. 14．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为 . 【答案】 【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，再利用全概率公式求解即可. 【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为， 则有，， 记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为， 而，，两两互斥，和为，，，， 记第二次抽到3号球的事件为B， ． 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 (1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ (2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)能 (2) 【分析】（1）计算出，与的临界值比较，得出结论； （2）根据条件概率的计算公式，利用样本数据，估计的值. 【详解】（1）零假设为：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得 ， 根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关. （2）表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据，则有，， 所以， 则估计的值为. 16．已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为， (1)求的通项公式及； (2)设，为数列的前项和，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义求等差数列的公差，再用裂项求和法求. （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）因为在，之间插入项，使这个数成公差为的等差数列， 所以， 所以. （2）易知，所以， 两式相减得 ， 所以. 17．已知函数 . (1)讨论的单调性； (2)已知函数， 若 恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，分类讨论、两种情况下的单调性即可； （2）将问题转化为在上恒成立，利用导数讨论函数的单调性可得，即可求解. 【详解】（1）由题意，， 当时，，在R上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） ， 令，则， 即在上恒成立， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，即实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3、数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 18．研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差x（℃） 4 7 8 9 14 12 新增就诊人数y（位） 参考数据：，． (1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值； (2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）． 参考公式：，． 【答案】(1) (2)33人 【分析】（1）根据题意由求解； （2）根据样本相关系数，求得，再利用公式求得即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴，∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， 解得． ∴， ∴，当时，， ∴可以估计，昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数为33人． 19．“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$