2024年高二下学期期末数学押题卷02-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

2024年高二下学期期末数学押题卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知离散型随机变量的分布列如下表，则其数学期望（    ） 1 2 4 0.2 0.6 A．1 B．0.2 C．2.8 D．3 2．近年来，农村电商借助互联网，使特色农副产品走向全国，送到世界各地，打破农副产品有“供”无“销”的局面，助力百姓增收致富．已知某农村电商每月直播带货销售收入（单位：万元）与月份具有线性相关关系，根据2023年前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程为，则下列结论正确的是（    ） A．相关系数，销售收入与月份的相关性较强 B．经验回归直线过点 C．根据经验回归方程可得第6个月的销售收入为14.1万元 D．关于两个变量，所表示的成对数据构成的点都在直线上 3．已知函数，且满足，则（    ） A．函数在处有极大值 B．函数在区间上是减函数 C．函数有两个极值点 D．函数在区间上是增函数 4．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 5．小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 6．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前45项的和为（    ）    A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 7．有5名学生报名参加宣传、环境治理、卫生劝导、秩序维护4个项目的志愿者，每位学生限报1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，且学生甲只能参加卫生劝导和秩序维护中的一个项目，则不同的分配方案共有（    ） A．80种 B．100种 C．120种 D．140种 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题中，正确的有（    ） A．将一组数据中的每个数据都加上同一个正常数后，方差变大 B．已知随机变量服从二项分布，若，则 C．设随机变量服从正态分布，若，则 D．从装有大小､形状都相同的5个红球和3个白球的袋子中一次抽出2个球，取到白球的个数记为，则 10．已知数列满足，，则（    ） A． B．是的前项和，则 C．当为偶数时 D．的通项公式是 11．已知函数，则（    ） A．对任意，有恒成立 B．当时，函数有2个零点 C．存在实数，使得方程有3个实数解 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有 种 13．，恒成立，则实数a的取值范围是 . 14．A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲､乙､丙､丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题（都是四个选项）两种： (1)甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测.已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是.问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率； (2)甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项､两个选项､二个选项的概率分别为.已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望. 16．一袋中有3个白球和4个黑球.从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为. (1)求的数学期望； (2)设，，求（用和k表示）. 17．某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名（假设排名不重复），前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一只球队.假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负 (1)若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少? (2)若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响.若乙队每局比赛获胜的概率为，设比赛结束时乙队获胜的局数为X，求X的概率分布列与均值. 18．已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，满足是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前20项和. 19．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若不等式恒成立，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二下学期期末数学押题卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知离散型随机变量的分布列如下表，则其数学期望（    ） 1 2 4 0.2 0.6 A．1 B．0.2 C．2.8 D．3 【答案】D 【分析】根据表中数据可求解，进而又期望的公式即可求解. 【详解】由表可知：， 所以， 故选:D 2．近年来，农村电商借助互联网，使特色农副产品走向全国，送到世界各地，打破农副产品有“供”无“销”的局面，助力百姓增收致富．已知某农村电商每月直播带货销售收入（单位：万元）与月份具有线性相关关系，根据2023年前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程为，则下列结论正确的是（    ） A．相关系数，销售收入与月份的相关性较强 B．经验回归直线过点 C．根据经验回归方程可得第6个月的销售收入为14.1万元 D．关于两个变量，所表示的成对数据构成的点都在直线上 【答案】B 【分析】根据经验回归方程的性质和定义逐个判定即可. 【详解】对于A，由回归方程为可知，回归系数为，不是相关系数，故A错； 对于B，由前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程，故， ，所以过点，故B正确； 对于C，根据经验回归方程可得第6个月的销售收入的预测值为14.1万元，并不是实际值，故C错误； 对于D，并不是所有关于两个变量，所表示的成对数据构成的点都在直线上，故D错误； 故选：B 3．已知函数，且满足，则（    ） A．函数在处有极大值 B．函数在区间上是减函数 C．函数有两个极值点 D．函数在区间上是增函数 【答案】D 【分析】先由求出，然后利用导数求出函数的单调区间和极值，再分析判断即可 【详解】的定义域为， 由，得， 因为，所以，得， 所以，， 由，得或，由，得或， 所以在和上递增，在和上递减， 所以在时取得极大值，在时取得极小值， 所以AB错误， 令，则（）， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增，无极值点， 所以C错误，D正确， 故选：D 4．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】因为，， 将化为标准正态分布，则， 因为，所以，故A错误； 又，，故B正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误. 故选：B． 5．小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式结合计数原理求解即可. 【详解】将这颗骰子连续抛掷三次，三次向上的点数一共有种情况， 设三次点数都不相同为事件，符合事件的点数情况有； 设事件是三次点数之和不大于8， 则事件同时发生的点数情况有种； 则已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为 故选：D. 6．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前45项的和为（    ）    A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】根据“杨辉三角”的特点可知次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行，从而得到第行去掉所有为的项的各项之和为：；根据每一行去掉所有为的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第行结束，数列共有项，则第项为，从而加和可得结果. 【详解】由题意可知，次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行 则“杨辉三角”第行各项之和为： 第行去掉所有为的项的各项之和为： 从第行开始每一行去掉所有为的项的数字个数为： 则：，即至第行结束，数列共有项 第项为第行最后个不为的数，即为： 前项的和为： 故选：A 7．有5名学生报名参加宣传、环境治理、卫生劝导、秩序维护4个项目的志愿者，每位学生限报1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，且学生甲只能参加卫生劝导和秩序维护中的一个项目，则不同的分配方案共有（    ） A．80种 B．100种 C．120种 D．140种 【答案】C 【分析】采用先分后排的方法可求出结果. 【详解】先将5个元素分成4组，有种，再安排含甲的一组，有种， 再安排其余3组，有种， 所以不同的分配方案共有种. 故选：C 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，构造函数，通过求导讨论的单调性，再构造函数，通过求导讨论的单调性，得到，从而得到，从而判断出；再由，，求出，比较和的大小，从而判断出，即可得到. 【详解】因为，， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以， 即，，即 所以，所以； 由，得， 由，得， 所以， 因为， 所以，所以， 所以，即，所以， 综上所述. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题中，正确的有（    ） A．将一组数据中的每个数据都加上同一个正常数后，方差变大 B．已知随机变量服从二项分布，若，则 C．设随机变量服从正态分布，若，则 D．从装有大小､形状都相同的5个红球和3个白球的袋子中一次抽出2个球，取到白球的个数记为，则 【答案】BC 【分析】对于A，利用方差的性质判断，对于B，利用二项分布的期望公式和方差公式判断，对于C，利用正态分布的对称性求解，对于D，直接求解判断 【详解】解：对于A，根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以A错误， 对于B，因为随机变量服从二项分布，，所以，解得，所以B正确， 对于C，因为随机变量服从正态分布，，所以，所以，所以C正确， 对于D，由题意可得。所以D错误， 故选：BC 10．已知数列满足，，则（    ） A． B．是的前项和，则 C．当为偶数时 D．的通项公式是 【答案】AD 【分析】利用并项求和法可判断B选项；推导出，分为奇数、偶数两种情况求出数列的通项公式，可判断ACD选项. 【详解】数列满足，， 因为，，所以， ，B错； 由题意，①，②， 由②①得，，由，，所以， 当为奇数时，设， 则， 当为偶数时，设， 则， 综上所述，对任意的，，C错D对； ，A对. 故选：AD. 11．已知函数，则（    ） A．对任意，有恒成立 B．当时，函数有2个零点 C．存在实数，使得方程有3个实数解 D．若，则 【答案】ACD 【分析】判断函数值情况，利用导数判断函数单调性，作出函数图象，由此可判断A，B；数形结合，判断C；构造函数，判断其单调性，结合单调性证明不等式，判断D. 【详解】由可知定义域为， 当或时，；当时，，且； 又， 令，则或，令，则或， 即在上单调递增，在上单调递减， 故在时取极大值，在时取极小值； 当x从1的左侧趋近于1时，趋近于负无穷小，当x从1的右侧趋近于1时，趋近于正无穷大，当时，增加的幅度越来越块，即图像较陡， 由此可作出函数的图象如图：    由图象可知，对任意，有恒成立，A正确； 当时，直线与的图象将会有一个交点， 即函数有1个零点，B错误； 由图象，设l为的过原点且和的部分图象相切的切线，斜率设为， 当直线的斜率时，即存在直线与的图象有3个交点， 即存在实数，使得方程有3个实数解，C正确； 由结合图象可知， 设，由于在上单调递减，在上单调递增， 故为单调减函数， 即，即，即， 由于在上单调递增，故，D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题综合考查导数的应用，涉及面较广，难度较大，解答时要注意判断函数值情况，并利用导数判断函数的单调性，从而作出函数图象，数形结合，解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有 种 【答案】72 【分析】先对部分种植，再对部分种植，对部分种植进行分类：①若与相同，②若与不同进行讨论即可 【详解】先对部分种植，有4种不同的种植方法； 再对部分种植，又3种不同的种植方法； 对部分种植进行分类： ①若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种）， ②若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有1种不同的种植方法， 共有（种）， 综上所述，共有72种种植方法． 故答案为：72. 【点睛】本题考查排列与组合的应用，属于涂色类的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题 13．，恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况，结合二次不等式的恒成立问题运算求解. 【详解】因为，整理得， 当时，则不恒成立，不合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲､乙､丙､丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为 . 【答案】/0.4 【分析】求出A教师志愿者被安排到甲学校的排法，然后再求出在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可求解． 【详解】A教师志愿者被安排到甲学校， 若甲学校只有一个人，则有种安排方法， 若甲学校有2个人，则有种安排方法， A教师志愿者被安排到甲学校共有60种安排方法， 在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的安排方法有24种， 所以在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的概率是， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题（都是四个选项）两种： (1)甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测.已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是.问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率； (2)甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项､两个选项､二个选项的概率分别为.已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“甲会该单项选择题”，根据独立事件和互斥事件的概率公式，求得，结合条件概率的公式，即可求解. （2）由题意得到所有可能的取值为，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“甲会该单项选择题”， 因为， 所以， 甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，会这道单项选择题的概率是. （2）解：由题意知：所有可能的取值为， 设事件表示甲选择了个选项，事件表示选择的选项是正确的， 所以， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 2 5 所以期望为. 16．一袋中有3个白球和4个黑球.从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为. (1)求的数学期望； (2)设，，求（用和k表示）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意分析可知的可能取值为，结合独立事件概率乘法公式求分布列，进而可求期望； （2）分和两种情况，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）当时，取出的是白球的概率为，取出的是黑球的概率为， 由题意可知：的可能取值为，则有： ， 所以的分布列为 3 4 5 的数学期望. （2）①当时，即第n次操作后袋中有3个白球，黑球4个， 所以； 当时，第次操作后袋中有个白球的可能性有两种： 第n次操作后袋中有个白球，黑球个， 第次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为； ②第n次操作后袋中有个白球，黑球个， 第次取出来的是黑球，这种情况发生的概率为； 故； 综上所述：. 17．某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名（假设排名不重复），前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一只球队.假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负 (1)若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少? (2)若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响.若乙队每局比赛获胜的概率为，设比赛结束时乙队获胜的局数为X，求X的概率分布列与均值. 【答案】(1)0.276； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件及全概率公式计算作答. （2）求出的可能值及对应的概率值，列出分布列并求出期望作答. 【详解】（1）依题意，记丁队进入复赛的事件为，丁队进入复赛需参加两场比赛，第一场战胜丙队，记为事件， 第二场战胜甲乙比赛中的败者，记为事件，甲队战胜乙队记为事件， 则，， 因此， 所以. （2）依题意，的可能值为， ，， ，， 所以的概率分布列为： 0 1 2 3 数学期望为. 18．已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，满足是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前20项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，利用，求出值即可得到的通项公式；再由题意得，结合可求出值，进一步可得的通项公式； （2）由，利用等比数列求和公式，结合分组求和即可求出． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 因为，所以，解得，所以， 由题意知：，因为，所以， 解得，所以； （2）由（1）得， . 19．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若不等式恒成立，证明：． 【答案】(1)的单调递减区间为，无单调递增区间 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的符号可得结果； （2）转化为，再构造函数，利用导数求出其最大值证不等式成立. 【详解】（1）当时，． 所以， 故的单调递减区间为，无单调递增区间． （2）由恒成立， 可知恒成立，即， 令， 不妨设，则， ， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故， 所以． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，总有成立，故； （2）若，总有成立，故； （3）若，使得成立，故； （4）若，使得，故. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$