11.1 三角形的稳定性（第3课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 第三课时 三角形的稳定性 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解三角形的稳定性.（重点） 2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的应用. （难点） 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架（图1），其中的道理是什么？ 盖房子时，在窗框安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条（图2），为什么要这样做呢？ 图1 图2 情景导入 将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗? 情景导入 动手做一做 1. 将三根木条用钉子钉成一个三角形木架. 2. 将四根木条用钉子钉成一个四边形木架. 三角形的稳定性 新知探究 我们来探究下面的问题. （1）如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 　 （2）如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ （3）如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？ 　　三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变． 就是说三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性． 理解“稳定性” “只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”. 这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”. 总结归纳 　　你能举例说明三角形的稳定性在实际生活中的应用吗？ 　　三角形的稳定性的应用举例： （1）窗框在安装好之前斜钉一根木条，分成两个三角形，由于三角形具有稳定性，斜钉一根木条的窗框在安装好之前不会变形； 1.三角形稳定性的实际应用 三角形的稳定性有广泛的应用，如图表示其中一些例子.你能再举一 些例子吗？ 钢架桥 起重机 四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？ 2.四边形不稳定性的应用 四边形的不稳定性有广泛的应用 活动晾衣架 伸缩门 遮阳棚 1. 牧民阿其木家用于圈羊的木栅门，由于年久失修已经变成如图甲，为什么会变形？　 2. 为了恢复成原样图乙，而且要保持形状不变，他该怎么做呢？ (甲) (乙) 练一练 若要使四边形木架不变形，至少要钉上一根木条，把它分成两个三角形使它保持形状，那么要使五边形，六边形木架，七边形木架保持稳定该怎么办呢? 方法总结：为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条将多边形固定成由一个一个的三角形组成的形式. 典例剖析 具有稳定性 不具有稳定性 不具有稳定性 具有稳定性 具有稳定性 不具有稳定性 下列图形中哪些具有稳定性. 课本练习 答：图中共有 6 个三角形，分别是 △ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC 和 △AEC． 1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形. 习题11.1 复习巩固 解：有 2 种选法． 四根木条每三根组成一组可组成四组，分别为 10，7，5；10，7，3；10，5，3；7，5，3. 其中 7 + 5＞10，7 + 3 = 10，5 + 3＜10，5 + 3＞7， 所以第二组、第三组不能构成三角形，只有第一组、第四组能构成三角形． 2.长为10，7，5，3的四根木条,选其中三根组成三角形,有几种选法？为什么？ 复习巩固 解：如图所示，AD，AE，AF 分别为 △ABC 中过顶点 A 的中线、角平分线和高． D E （F） D E F D E F 3.对于下面每个三角形,过顶点A画出中线、角平分线和高. 复习巩固 4.如图,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高.填空： (1)BE=______= _______; (2)∠BAD=_________= _________; (3)∠AFB=________= 90°； (4)S△ABC=_________. CE BC ∠CAD ∠BAC ∠AFC BC·AF 复习巩固 5.选择题. 下列图形中有稳定性的是( ) (A)正方形 (B)长方形 (C)直角三角形 (D)平行四边形 C 复习巩固 解：分以下两种情况： （1）当长为 6 cm 的边为腰时，则另一腰长为 6 cm，底边长为 20 – 6×2 = 8 (cm)．因为 6 + 6 ＞ 8，所以此时符合三角形的三边关系； （2）当长为 6 cm 的边为底边时，等腰三角形的腰长为 (20 – 6)÷2 = 7 (cm)．因为 6 + 7 ＞ 7，所以此时也符合三角形的三边关系． 综上可知，其他两边的长为 6 cm，8 cm ，或 7 cm，7 cm． 6.一个等腰三角形的一边长为6 cm,周长为20 cm,求其他两边的长. 综合运用 解:（1）∵等腰三角形的一边长等于 5，一边长等于 6，∴其三边长为 5，5，6，或 6，6，5．∵ 5 + 5 ＞ 6，6 + 5 ＞ 6，∴两种情况都符合三角形的三边关系，故三角形的周长为 5 + 5 + 6 = 16 ，或 6 + 6 + 5 = 17． （2）∵等腰三角形的一边长等于 4，一边长等于 9，∴其三边长为 4，4，9，或 4，9，9．∵ 4 + 4 ＜ 9，4 + 9 ＞ 9，∴只有三边长为 4，9，9 时符合三角形的三边关系，故三角形的周长为 4 + 9 + 9 = 22． 7.(1)已知等腰三角形的一边长等于5,一边长等于6,求它的周长; (2)已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,求它的周长. 综合运用 解：依题意知，S△ABC = BC · AD = AB · CE， ∴ BC · AD = AB · CE，即 4AD = 2CE． ∴ AD ∶CE = 1 ∶2． 8.如图,在△ABC中,AB=2,BC=4.△ABC的高AD与CE的比是多 少?(提示:利用三角形的面积公式.) 综合运用 解：∠1=∠2．理由如下： ∵ AD 平分∠BAC， ∴ ∠BAD = ∠DAC． ∵ DE // AC，DF // AB， ∴ ∠DAC = ∠1，∠BAD = ∠2． ∴ ∠1 = ∠2． 9.如图,AD是△ABC的角平分线.DE∥AC,DE交AB于点E,DF∥ AB,DF交AC于点F.图中∠1与∠2有什么关系?为什么? 拓广探索 答：要使四边形木架不变形，至少要再钉上 1 根木条；要使五边形木架不变形，至少要再钉上 2 根木条；要使六边形木架不变形，至少要再钉上 3 根木条． 10.要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少要再钉上几根 木条?五边形木架和六边形木架呢? 拓广探索 A 唯一确定 具有 没有 分层练习-基础 A 分层练习-基础 B 分层练习-基础 4.填空: （1）有下列图形：①正方形；②长方形；③直角三角形；④平行四边形.其中具有稳定性的是_______.（填序号） （2）铁栅门和多功能挂衣架能够伸缩自如，是利用四边形的____________. （3）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要钉上_____根木条. 不稳定性 2 ③ 分层练习-基础 5.下列图形具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． A 分层练习-基础 6.下列图中具有稳定性有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 分层练习-基础 7.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说 法正确的是（ ） A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的 B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值 C.稳定性和不稳定性均有利用价值 D.以上说法都不对 C 分层练习-基础 C 三角形具 有稳定性 不稳定性 分层练习-巩固 分层练习-巩固 11. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ） A.两点之间线段最短 B.三角形两边之和大于第三边 C.长方形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 D B A E F C D 分层练习-巩固 12.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了（ ） A. 节省材料，节约成本 B. 保持对称 C. 利用三角形的稳定性 D. 美观漂亮 C 分层练习-巩固 13.如图，用钉子把木棒AB、BC 和CD 分别在端点B、C 处连接起来，用橡皮筋把AD 连接起来，设橡皮筋AD 的长是x， （1）若AB =5，CD =3，BC =11，试求x 的最大值和最小值； （2）在（1）的条件下要围成一个四边形， 你能求出x的取值范围吗? （3）AB、BC、CD 能围成一个三角形吗？ 分层练习-拓展 解：（1）x最大值 = AB + BC + CD = 19. x最小值 =BC – AB – CD = 3； （2）3 < x < 19； （3）不能. 分层练习-拓展 分层练习-拓展 1.下列图形中具有稳定性的是(　　)   A．①②③④　　 B．①③　 C．②④　 　 D．①②③ B 课堂反馈 三角形的稳定性 应用 稳定性 三角形 独有性质 四边形具有不稳定性 课堂小结 1．(河北中考)下列图形具有稳定性的是(　　) 三角形的稳定性 三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就 ，这个性质叫三角形的稳定性．三角形是 稳定性的图形，而四边形 稳定性． 2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是(　　) A．三角形的稳定性　 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 3．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是(　　) A．0根　　 B．1根 C．2根　　 D．3根 8．如图所示的图形中具有稳定性的有(　　) A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 9．造房子的屋顶常用三角形结构，从数学角度来看，是应用了 ，而活动衣架则应用了四边形的 ． 10．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗，说说你的理由． 解：小明的做法正确．因为△ADE具有稳定的结构，则A、C两点间距离不变，AC与AB、BC又构成三角形结构，从而保证四边形ABCD不变形． 14．探究：如图，用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长是x. (1)若AB＝5，CD＝3，BC＝11，试求x的最大值和最小值； (2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗？ 解：(1)最大值为19，最小值为3； (2)3＜x＜19. $$