1.4 两条直线的交点 （同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第一章 直线与方程 1.4 两条直线的交点 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 情景导入 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等． O x y B O x y B 1.两条直线的交点 新知探究 直线x+y-2=0与直线x-y+3=0的位置关系是什么？ 垂直 垂足的坐标能否求出？如何求呢？ （1）已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？ 将点代入直线，成立则点在直线上，不成立则点不在直线上 （2）已知：2x+3y-7=0，：5x-y-9=0，在同一坐标系中画出两直线，并判断下列各点分别在哪条直线上？ A（1，-4），B（2，1），C（5，-1） （3）由题（2）可以看出点B与直线, 有什么关系？ （4）请试着总结求两条直线交点的一般方法. 答：点B是直线的交点；B的坐标同时满足直线的方程 答：将两条直线的方程联立，即可求出同时在两条直线上的点的座标 　　设两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将两条直线的方程联立 得到方程组:  　　 若方程组有唯一解,则两条直线相交,以此解为坐标的点就是两直线的交点. 两条直线的交点 概念归纳 2.两直线的交点和方程组解的个数问题 新知探究 例1、解下列方程组，并分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两条直线，观察它们的位置关系 3x＋2y－7＝0 2x－y＝7 y＝－2x＋3 4x＋2y＋4＝0 （3）无解 （1）有且只有一个解 （2）有无数多个解 平行！ 重合！ 相交！交点坐标为（3，-1） 思考：两直线的位置关系和方程组的解之间有什么联系？ 两条直线的位置与相应方程组的解的个数之间的关系 方程组 的解数 直线的公共点的个数 直线的位置关系 一组 一个 相交 无数组 无数个 重 合 无解 零个 平行 概念归纳 注意点： (1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． (2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 概念归纳 ①共点（中心）直线系 ②平行直线系 （1）直线方程以斜截式形式给出，如：则与之平行的直线可设为： （2）直线方程以一般式形式给出，如： 则与之平行的直线可设为： 3.有关直线系方程 ③垂直直线系 （1）直线方程以斜截式形式给出，如：则与之垂直的直线可设为： （2）直线方程以一般式形式给出，如：则与之垂直的直线可设为： ④经过两条相交直线交点的直线系 经过直线和直线的交点的所有直线可设为： 1.直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围． 【思路探究】　先求出两直线的交点，根据第四象限点的特点，横坐标为正、纵坐标为负，解不等式组求出字母m的取值范围． 典例剖析 1.直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交 点在第四象限，求m的取值范围． 4、纳税制度 新知探究 纳税是每个公民应尽的义务和责任，市场交易时购买者同样也纳税。 例如：我们以100元的价格买入一件商品，那么其中有5元是我们所纳的税额，因此供应方得到了 100-5=95元 5、政府补贴 新知探究 政府补贴就是国家为了调节市场的供应量和需求量的比例而拿出一部分资金对市场进行宏观调控的一种手段。 例如:我们每天必须的食盐，如果我们从市场上购得食盐的价格为2元/斤，那么销售方除了我们付的2元之外，还将从国家那里得到大约0.5元的政府补贴，即供应方得到了 2+0.5=2.5元 课本例1　分别判断下列直线l1与l2是否相交．若相交，求出它们交点的坐标： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0, l2：y＝－2x＋3. 解　(1)因为方程组的解为 所以直线l1和l2相交，且交点坐标为(3，－1)． (2)因为方程组有无数组解，所以直线l1和l2重合． (3)因为方程组无解，所以l1∥l2. 课本例题 典例剖析 AD 概念归纳 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系． (2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足其他直线． 练一练 C 典例剖析 概念归纳 练一练 1.直接法:求出两直线的交点,作为待求直线上的已知点,再根据已知条件求出待求直线的 方程. 2.待定系数法:设经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0) 的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为任意实数),然后根据条件求λ. 　　注意该设法中直线的方程可表示除l2外所有过两直线交点的直线. 1 .求过两条直线交点的直线方程的方法  高频考点 已知两直线l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0的交点为P.求: (1)过点P与Q(1,4)的直线方程; (2)过点P且与直线x-3y-1=0平行的直线方程. 思路点拨    思路一(直接法):(1)先求点P坐标,再由两点式方程求直线方程;(2)由直线平行, 则斜率相等得斜率,再由点斜式求直线方程. 思路二(待定系数法):(1)设出过交点的直线方程,求出参数即可;(2)由平行关系列出关于参 数的方程,求出参数即可. 典例 典例剖析 解析    解法一(直接法):(1)由 解得 即P(2,2). 所以所求直线方程为 = ,即2x+y-6=0. (2)由(1)知点P(2,2),因为直线x-3y-1=0的斜率为 , 所以所求直线方程为y-2= (x-2),即x-3y+4=0. 解法二(待定系数法):(1)设过直线l1和l2交点的直线方程为x+2y-6+m(x-2y+2)=0,即(m+1)x+(2- 2m)y+(2m-6)=0①. 把(1,4)代入①,化简得3-5m=0,解得m= ,所以过点P与Q的直线方程为 x+ y- =0,即2x+y- 6=0. (2)由(1)知过直线l1和l2交点的直线方程为(m+1)x+(2-2m)y+(2m-6)=0,则由两直线平行,得-3(m +1)=2-2m,得m=-5,所以所求直线的方程为-4x+12y-16=0,即x-3y+4=0. 1.将直线方程转化为y-y0=k(x-x0)的形式,则直线必过定点(x0,y0). 2.应用分离参数的方法,将直线方程转化为a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0,由 求 出定点坐标. 3.应用特殊值法,给方程中的参数赋两个特殊值,可得关于x,y的两个方程,将其联立并求解, 则解出的x,y的值分别为所求定点的横、纵坐标. 2.求解直线过定点问题的常用方法 方法技巧 已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程,求证:无论k取何实数,直线l都过定点,并求出这 个定点的坐标. 解析    解法一: 原方程整理得(x+y)+k(x-y-2)=0,无论k取何实数,直线l都过定点,且定点坐标 即为方程组 的解,解此方程组得  ∴无论k取何实数,直线l都过定点(1,-1). 解法二:由直线l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k,变形为(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1),即(k+1)(x-1)+(1- k)(y+1)=0. 直线l的方程为过定点(x0,y0)的直线系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0的形式,所以直线l必过定点,定点 坐标为方程组 的解,解此方程组得  ∴无论k取何实数,直线l都过定点(1,-1). 典例 典例剖析 解法三: 对于方程(k+1)x-(k-1)y-2k=0,令k=0,得x+y=0;令k=1,得2x-2=0. 解方程组 得 即两直线的交点为(1,-1).将(1,-1)代入已知直线方程的左边,得 (k+1)-(k-1)·(-1)-2k=0.这表明无论k取何实数,直线l都过定点(1,-1). 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 C 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 BCD 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 　　设两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将两条直线的方程联立 得到方程组:  　　 若方程组有唯一解,则两条直线相交,以此解为坐标的点就是两直线的交点. 两条直线的交点 课堂小结 两条直线的位置与相应方程组的解的个数之间的关系 方程组 的解数 直线的公共点的个数 直线的位置关系 一组 一个 相交 无数组 无数个 重 合 无解 零个 平行 课堂小结 ①共点（中心）直线系 ②平行直线系 （1）直线方程以斜截式形式给出，如：则与之平行的直线可设为： （2）直线方程以一般式形式给出，如： 则与之平行的直线可设为： 有关直线系方程 课堂小结 ③垂直直线系 （1）直线方程以斜截式形式给出，如：则与之垂直的直线可设为： （2）直线方程以一般式形式给出，如：则与之垂直的直线可设为： ④经过两条相交直线交点的直线系 经过直线和直线的交点的所有直线可设为： 课堂小结 例1　(1)(多选)下列选项中，正确的有(　　) A．直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1,3) B．直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2,1) C．直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2,2) D．直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 解析　方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1,3)，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误； 方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误； 方程组的解为方程组的解为方程组的解也为 所以三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D正确． (2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　) A．－24 B．24 C．6 D．±6 答案　A 解析　联立解得因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，所以y＝＝0，解得k＝－24. 若将本例(1)中选项D改为“三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点”，求m的值． 解　解方程组得所以这两条直线的交点坐标为. 由题意知点在直线mx＋2y＋7＝0上， 将代入，得4m＋2×＋7＝0， 解得m＝－. (1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由得 所以交点为. (2)若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．k＞－ B．k＜2 C．－＜k＜2 D．k＜－或k＞2 解析　方法一　由题意知，直线l1过定点P(－1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2. 方法二　由直线l1，l2有交点，得k≠－2. 由得 又交点在第一象限内，所以解得－＜k＜2. 例2　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 解　方法一　解方程组 得所以两直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3， 即15x＋5y＋16＝0. 方法二　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以有 得λ＝. 代入(*)式，得x＋y＋＝0， 即15x＋5y＋16＝0. 本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ 解　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－， 所以所求直线方程为5x－15y－18＝0. 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 解　由方程组 解得 即l1与l2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点， ∴其斜率k＝＝－1. 故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0. 1．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是(　　) A．(－9，－10) B．(－9,10) C．(9,10) D．(9，－10) 答案　B 解析　解方程组得 故两条直线的交点坐标为(－9,10)． 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3,1) D．(－2,1) 答案　C 解析　直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令解得 ∴直线l恒过定点(－3,1)． 3．若关于x的二元一次方程组有无穷多组解，则m＝________. 答案　－2 解析　二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由4×1＝m·m，解得m＝2或m＝－2.经检验，m的值为－2. 4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________. 答案　－ 解析　解方程组得 又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，∴k＝－. 答案　B 解析　解方程组得 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3,2) B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 2．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A．12 B．10 C．－8 D．－6 答案　B 解析　∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)． ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0，得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 3．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A．－24 B．6 C．±6 D．24 答案　C 解析　因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)， 所以消去b，可得k＝±6. 答案　A 解析　lAC：＋＝1，即3x＋2y－6＝0.由得 因为S△ABC＝，所以×a×＝，得a＝或a＝－(舍去)． 4．△ABC的三个顶点分别为A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，那么实数a的值等于(　　) A. B．1＋ C．1＋ D．2－ 5．过直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y＋1＝0的交点，且过原点的直线方程为(　　) A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0 C．x－2y＝0 D．x＋2y＝0 答案　D 解析　联立解得 所以直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y＋1＝0的交点坐标为(－2,1)． 所以过点P(－2,1)且过原点(0,0)的直线的斜率k＝－. 所以所求直线方程为y－0＝－(x－0)，即x＋2y＝0. 6．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　) A．{θ|0°<θ<60°} B．{θ|30°<θ<60°} C．{θ|30°<θ<90°} D．{θ|60°<θ<90°} 　解析由题意可知k≠－1， 联立解得x＝，y＝， ∴两直线的交点坐标为. ∵两直线的交点在第一象限， ∴ 解得k>. 又直线l的倾斜角为θ，则tan θ>， ∴30°<θ<90°. 7．直线l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为________． 答案　9 解析　联立解得 所以直线l1与直线l2的交点坐标为(－2,6)． 令x＝0，则直线l1与y轴的交点坐标为(0,12)， 直线l2与y轴的交点坐标为(0,3)． 则三角形的三个顶点坐标分别为(－2,6)，(0,12)，(0,3)， 故所求三角形的面积为×9×2＝9. 8．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝______. 答案　－2 解析　由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5. 又点(1，m)在直线ax＋2y－1＝0上， 所以a＋2m－1＝0， 所以m＝－2. 9．求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程． 解　由方程组解得 所以直线l1和l2的交点坐标为. 又因为所求直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y＋＝×， 即27x＋54y＋37＝0. 10．若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围． 解　联立两直线的方程 解得 ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴解得 即－<k<－. 则k的取值范围为. 11．已知a，b满足2a＋b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由2a＋b＝1，得b＝1－2a，代入直线方程ax＋3y＋b＝0中，得ax＋3y＋1－2a＝0，即a(x－2)＋3y＋1＝0，令解得所以该直线必过定点. 12．经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，并且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为(　　) A．2x＋3y－7＝0 B．2x＋3y＋1＝0 C．3x－2y－8＝0 D．3x－2y－4＝0 答案　A 解析　联立得所以两直线交点坐标为(2,1)， 所求直线方程为y－1＝－(x－2)，整理得2x＋3y－7＝0. 13．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________________． 答案　x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 解析　设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0， 即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0. 令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝. 由＝， 得λ＝或λ＝. 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 14．已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为____________． 答案　(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析　如图所示， 直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率， 设线段AB与y轴交于点C， 由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时， a大于或等于DB的斜率，即a≥＝1，即a≥1. 当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率， 即a≤＝－3，即a≤－3. 综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 15．(多选)已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为(　　) A．1 B. C．－2 D．－1 答案　BCD 解析　由直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，可得 ①若l1∥l3，则＝3，即a＝； ②若l2∥l3，则＝－，即a＝－2； ③若三直线经过同一个点，则直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的交点(1,2)在l3：x－ay－3＝0上， 即1－2a－3＝0，解得a＝－1. 综上，a的值可能为，－2，－1. 16.如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 解　设B(x0，y0)， 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得 解得即B(6,4)． 同理可求得C点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC的方程为＝， 即4x－y－20＝0. $$